初中数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程精品巩固练习

这是一份初中数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程精品巩固练习，文件包含专题215二次函数与一元二次方程解析版docx、专题215二次函数与一元二次方程原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题21.5二次函数与一元二次方程
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021•海珠区一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】求出抛物线的表达式y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，进而求解．
【解析】设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，
则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，
解得x＝0或2，
故选：A．
2．（2021•增城区一模）直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【分析】由直线y＝x+2m经过第一、三、四象限可得，2m＜0，再由△＝22﹣4（1﹣m）＝4m＜0，可判断抛物线与x轴无交点．
【解析】∵直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，
∴2m＜0，
又由抛物线y＝x2+2x+1﹣m的解析式可知，△＝22﹣4（1﹣m）＝4m＜0，
∴抛物线与x轴无交点．
故选：A．
3．（2021•杭州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：C．
4．（2021•碑林区校级一模）若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．25 D．4
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，得出b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，由AB＝4，即可得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）﹣4x1x2＝16，即可得出4n＝16，解得n＝4．
【解析】∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
设A、B的交点的横坐标为x1、x2，
∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，
∵AB＝4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）﹣4x1x2＝16，
∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，
∴4n＝16，
∴n＝4，
故选：D．
5．（2021•绥宁县一模）二次函数y＝x2+2kx+k2﹣1（k为常数）与x轴的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．0 D．无法确定
【分析】先求出△的取值范围，根据△的取值范围即可求出函数图象与x轴交点的个数．
【解析】∵△＝（2k）2﹣4（k2﹣1）＝4＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点．
故选：B．
6．（2020秋•桐城市期末）已知二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a≠0的常数）的图象顶点为P，下列说法正确的是（　　）
A．点P只能在第三象限 B．点P只能在第四象限
C．点P在x轴上方 D．点P在直线y＝﹣1的下方
【分析】根据二次函数的顶点坐标计算可判断求解．
【解析】设二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a为常数）的图象顶点P（m，n），
∴m=-a+22，n=4a-(a+2)24=-a2+44，
∵a2＞0，
∴a2+4＞4，
∴n=-a2+44＜-1，
即点P在直线y＝﹣1的下方，
故选：D．
7．（2020秋•东安县期末）关于函数y＝x2﹣4x+4的图象与x轴的交点个数，下列说法正确的是（　　）
A．两个相同的交点 B．两个不同的交点
C．没有交点 D．无法判断
【分析】由△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，即可求解．
【解析】∵△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
故图象与x轴有一个交点，
故选：A．
8．（2020秋•庐江县期末）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】先求出m2﹣m的值，再代入代数式进行计算即可．
【解析】∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2021＝1+2021＝2022．
故选：C．
9．（2020秋•龙凤区期末）已知关于x的二次函数y＝2x2+（m+2）x+m的图象与x轴交于A，B两点，且满足AB＝4，m的值（　　）
A．﹣3或6 B．10或﹣6 C．﹣6或6 D．﹣6
【分析】2x2+（m+2）x+m可分解为（x+1）（2x+m），从而可确定出方程的一个解为x＝﹣1，由AB＝4，可求得m的值，从而可确定出方程的另一个根为x＝3或x＝﹣5，即可求解．
【解析】令y＝0得：2x2+（m+2）x+m＝0．
∴（x+1）（2x+m）＝0．
∴x1＝﹣1，x2=-12m．
∵AB＝4．
∴-12m+1＝±4．
解得：m＝10或m＝﹣6．
故选：B．
10．（2020秋•盐城期末）二次函数y＝x2+mx+n的对称轴为x＝﹣1，点（﹣5，y1），（﹣3，y2）在此函数的图象上，则有（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y2＞y1 D．以上均有可能
【分析】根据题目中二次函数的对称轴、二次函数的性质，可以判断出y1、y2大小关系，从而可以解答本题．
【解析】∵二次函数y＝x2+mx+n的对称轴为x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∵点（﹣5，y1）（﹣3，y2）在此函数的图象上，
∴y1＞y2，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•顺义区二模）二次函数y＝x2+c的图象与x轴无交点，写出一个满足条件的实数c的值为　1（答案不唯一）　．
【分析】与x轴的交点个数跟抛物线y＝0时，一元二次方程根的个数有关．△＜0，则无实数根．
【解析】二次函数y＝x2+c的图象与x轴无交点．
则令y＝0，0＝x2+c，
△＝0﹣4×1×c＜0，
c＞0，
此答案不唯一．只要c＞0即可，
故答案为：1（答案不唯一）．
12．（2021•丰台区二模）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是　0＜m＜1　．
【分析】根据函数解析式求出二次函数与x轴两个交点的坐标，根据坐标大于1且小于2确定m的取值范围即可．
【解析】令y＝x2﹣（m+1）x＝0，
解得：x＝0，x'＝m+1，
∴抛物线与x轴的两个交点为（0，0）和（m+1，0），
∵其中一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴1＜m+1＜2，
即0＜m＜1，
故答案为：0＜m＜1．
13．（2020秋•渝中区期末）已知抛物线y＝x2﹣2x+n与x轴只有一个公共点，则n＝　1　．
【分析】由△＝（﹣2）2﹣4×1×n＝0，即可求解．
【解析】由题意得：△＝（﹣2）2﹣4×1×n＝0，
解得n＝1，
故答案为1．
14．（2020秋•西林县期末）如图，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两点，那么方程ax2+bx+c＝0的解是　x＝2或4　．

【分析】由函数的图象知，抛物线和x轴的交点坐标为（2，0）、（4，0），即可求解．
【解析】由函数的图象知，抛物线和x轴的交点坐标为（2，0）、（4，0），
故ax2+bx+c＝0的解是x＝2或4，
故答案为x＝2或4．
15．（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴的交点A的坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝　-163　．

【分析】利用抛物线的对称性得到B点坐标为（﹣3n，0），利用交点式得到y＝a（x﹣n）（x+3n），即y＝ax2+2anx﹣3an2，所以﹣3an2＝﹣4，由于顶点D的坐标为（﹣n，t），所以计算自变量为﹣n的函数值得到t的值．
【解析】∵m+n＝0，
∴m＝﹣n，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣n，
∵A点坐标为（n，0），
∴B点坐标为（﹣3n，0），
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣n）（x+3n），
即y＝ax2+2anx﹣3an2，
∴﹣3an2＝﹣4，
∴an2=43，
当x＝﹣n时，t＝an2﹣2an2﹣3an2＝﹣4an2＝﹣4×43=-163．
故答案为-163．
16．（2021•朝阳区一模）如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为　0＜x＜3　．

【分析】先求出点A，点B坐标，结合图象可求解．
【解析】∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点A，交x轴正半轴于点B，
∴点A（0，3），
当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点B（3，0），
∴等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为0＜x＜3，
故答案为0＜x＜3．
17．（2020秋•东台市期末）如图，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是　0＜t≤4　．

【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和4对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜4时有公共点时，t的范围即可．
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=-m2×(-1)=2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝4时，y＝﹣x2+4x＝﹣16+16＝0，
当x＝2时，y＝4，
在1＜x＜4时有公共点时
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜4时有公共点时，0＜t≤4，
故答案为0＜t≤4．
18．（2020秋•平谷区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为　（﹣2，0）　．

【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），
∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，
∴点Q的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围．
【分析】（1）由b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，即可求解；
（2）求出函数图像与x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0），因为函数图像与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1，进而求解．
【解析】（1）因为b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
所以方程x2+2mx+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
所以该函数图像与x轴总有两个公共点；

（2）当y＝0时，x2+2mx+m2﹣1＝0．解这个方程，得x1＝﹣m+1，x2＝﹣m﹣1．
函数图像与x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0），
因为函数图像与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1，
所以﹣m+1＞0且﹣m﹣1＜0，
解得﹣1＜m＜1．
20．（2021•郧西县模拟）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0．
（1）m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1交x轴于A，B两点，且AB＝3，求m的值．
【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系找出x1+x2＝1﹣2m，x1•x2＝m2﹣1，进而求解．
【解析】（1）∵关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根x1和x2．
∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝﹣4m+5＞0，
∴m＜54；

（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，
则x1+x2＝1﹣2m，x1•x2＝m2﹣1，
而AB＝|x1﹣x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(1-2m)2-4(m2-1)=3，
解得m＝﹣1．
21．（2020秋•奎文区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）．
（1）若其图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）求其图象与直线y＝m+5交点的横坐标．
【分析】（1）根据题意得，△＝b2﹣4ac＝16﹣4m＞0，即可求解；
（2）根据题意得，x2﹣4x+m＝m+5，即可求解．
【解析】（1）根据题意得，△＝b2﹣4ac＝16﹣4m＞0，
∴m＜4；

（2）根据题意得，x2﹣4x+m＝m+5，
解得，x1＝5，x2＝﹣1，
∴图象与直线y＝m+5交点的横坐标为5或﹣1．
22．（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入解析式求出m，求出点C坐标，根据点B与点C关于y轴对称求点B坐标．
（2）根据图象交点坐标求解．
【解析】（1）将（﹣1，0）代入y＝（x+2）2+m得0＝1+m，
解得m＝﹣1，
∴y＝（x+2）2﹣1，
当x＝0时，y＝3，
∴点C坐标为（0，3），
∵点B与点C关于轴对称，对称轴为直线x＝﹣2，
∴点B坐标为（﹣4，3）．
（2）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标（﹣4，3），
由图象可知，（x+2）2+m≥kx+b时，x≤﹣4或x≥﹣1．
23．（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后令y＝0，解一元二次方程即可求得A、B的坐标；
（2）求得D点的坐标，然后根据图象即可求得．
【解析】（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4，
把点C（0，3）代入，得3＝a+4，解得a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
当y＝0时，解得x＝1或x＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；
（2）∵点C，D是抛物线上的一对对称点，C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，
∴D（﹣2，3），
由图象可知，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围x＜﹣2或x＞1．
24．（2020秋•薛城区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=-12x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）根据图象直接写出-12x2+bx+c＞4时自变量x的取值范围；
（3）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．

【分析】（1）由正方形的性质可求得B、C的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值，则可求得抛物线的解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）把抛物线解析式化为顶点式可求得D点坐标，再由S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD可求得四边形ABDC的面积．
【解析】（1）∵正方形OABC的边长为4，
∴OC＝BC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，4），B（4，4），
∵抛物线y=-12x2+bx+c经过B，C两点，
∴c=4-8+4b+c=4，解得b=2c=4，
∴抛物线解析式为y=-12x2+2x+4；
（2）由图象可知，-12x2+bx+c＞4时自变量x的取值范围是0＜x＜4；
（3）∵y=-12x2+2x+4=-12（x﹣2）2+6，
∴D（2，6），
∴D到BC的距离为6﹣4＝2，
∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD=12×4×4+12×4×2＝12．