初中数学沪科版九年级上册21.5 反比例函数优秀习题

这是一份初中数学沪科版九年级上册21.5 反比例函数优秀习题，文件包含专题2114反比例函数的k值与面积问题重难点培优解析版docx、专题2114反比例函数的k值与面积问题重难点培优原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题21.14反比例函数的k值与面积问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•太湖县期末）如图，P是双曲线上一点，且图中的阴影部分的面积为3，则此反比例函数的解析式为（　　）

A．y=6x B．y=-6x C．y=3x D．y=-3x
【分析】此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，阴影部分的面积为点P向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即S=|k|2．
【解析】由题意得：点P是反比例函数图象上一点，S=|k|2=3．
又由于反比例函数图象位于二、四象限，k＜0，
则k＝﹣6，故反比例函数的解析式为y=-6x．
故选：B．
2．（2020秋•商河县期末）如图，已知双曲线y=kx（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2．则k＝（　　）

A．2 B．12 C．1 D．4
【分析】设B点坐标为（a，b），由矩形OABC的边AB的中点为F，则F点的坐标为（a，b2），根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义得到S△OAF＝S△OEC=12|k|=12a•b2，则ab＝2k，利用S矩形＝S四边形OEBF+S△OAF+S△OEC得到ab＝2+12k+12k，所以2k＝k+2，再解一次方程即可．
【解析】设B点坐标为（a，b），
∵矩形OABC的边AB的中点为F，
∴F点的坐标为（a，b2），
∴S△OAF＝S△OEC=12|k|=12a•b2，
∴ab＝2k，
∵S矩形＝S四边形OEBF+S△OAF+S△OEC，
∴ab＝2+12k+12k，
∴2k＝k+2，
∴k＝2．
故选：A．
3．（2020秋•樊城区期末）如图，已知点P在反比例函数y=kx上，PA⊥x轴，垂足为点A，且△AOP的面积为4，则k的值为（　　）

A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
【分析】根据反比例函数k的几何意义，可得12|k|＝4，再根据k＜0，求出k的值．
【解析】∵点P在反比例函数y=kx上，PA⊥x轴，且△AOP的面积为4，
∴12|k|＝4，
∴k＝8或k＝﹣8，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：C．
4．（2019秋•赛罕区期末）如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，ABOB=2，反比例函数y=kx在第一象限的图象分别交OA、AB于点C、D，且S△BOD＝2，则C的坐标为（　　）

A．（2，4） B．（2，22） C．（1，2） D．（22，2）
【分析】由ABOB=2，可知点A的纵坐标是横坐标的2倍，因此可知点A在直线y＝2x上，由S△BOD＝2，可以确定反比例函数的关系式，两个函数的关系式联立求出交点坐标即可．
【解析】∵∠ABO＝90°，ABOB=2，
设OB＝a，则AB＝2a，
∴A（a，2a）
∴直线OA的关系式为y＝2x，
∵S△BOD＝2，
∴12|k|＝2，k＞0，
∴k＝4，
∴反比例函数的关系式为y=4x，
由题意得，
y=2xy=4x，解得：x1=2y1=22，x2=-2y2=-22（舍去）
∴C（2，22），
故选：B．
5．（2016春•常州期末）如图，△OAB中，∠ABO＝90°，点A位于第一象限，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，若双曲线y=kx（x＞0）与△OAB的边AO、AB分别交于点C、D，点C为AO的中点，连接OD、CD．若S△OBD＝3，则S△OCD为（　　）

A．3 B．4 C．92 D．6
【分析】根据反比例函数关系式与面积的关系得S△COE＝S△BOD＝3，由C是OA的中点得S△ACD＝S△COD，由CE∥AB，可知△COE∽△AOB，由面积比是相似比的平方得S△COES△AOB=14，求出△ABC的面积，从而求出△AOD的面积，得出结论．
【解析】过C作CE⊥OB于E，
∵点C、D在双曲线y=kx（x＞0）上，
∴S△COE＝S△BOD，
∵S△OBD＝3，
∴S△COE＝3，
∵CE∥AB，
∴△COE∽△AOB，
∴S△COES△AOB=OC2OA2，
∵C是OA的中点，
∴OA＝2OC，
∴S△COES△AOB=14，
∴S△AOB＝4×3＝12，
∴S△AOD＝S△AOB﹣S△BOD＝12﹣3＝9，
∵C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△COD，
∴S△COD=92，
故选：C．

6．（2020秋•桂林期末）如图，在y=1x（x＞0）的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴引垂线，交x轴于A1，B1，C1三点，连OA，OB，OC，设△OAA1，△OBB1，△OCC1的面积分别为S1，S2，S3，则有（　　）

A．S1＝S2＝S3 B．S1＜S2＜S3 C．S3＜S1＜S2 D．S1＞S2＞S3
【分析】由于A，B，C是反比例函数y=1x的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|，是个恒等值，即可得出结果．
【解析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|，
所以S1＝S2＝S3．
故选：A．
7．（2020秋•德州期末）如图，两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【分析】根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA=12×4＝2，S△BOA=12×2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【解析】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA=12×4＝2，S△BOA=12×2＝1，
∴S△POB＝2﹣1＝1．
故选：A．
8．（2021•贵池区二模）如图，直线x＝t（t＞0）与反比例函数y=kx（x＞0）、y=-1x（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据点B、C的横坐标，代入反比例函数的解析式求出纵坐标，表示出BC的长，根据三角形面积公式求出k的值．
【解析】由题意得，点C的坐标（t，-1t），
点B的坐标（t，kt），
BC=kt+1t，
则12（kt+1t）×t＝3，
解得k＝5，
故选：D．
9．（2020•泗水县二模）如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO＝90°，反比例函数y=kx经过另一条直角边AC的中点D，S△AOC＝3，则k＝（　　）

A．2 B．4 C．6 D．3
【分析】由直角边AC的中点是D，S△AOC＝3，于是得到S△CDO=12S△AOC=32，由于反比例函数y=kx经过另一条直角边AC的中点D，CD⊥x轴，即可得到结论．
【解析】∵直角边AC的中点是D，S△AOC＝3，
∴S△CDO=12S△AOC=32，
∵反比例函数y=kx经过另一条直角边AC的中点D，CD⊥x轴，
∴k＝2S△CDO＝3，
故选：D．
10．（2020秋•荔湾区期末）在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线y=-6x上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（　　）
A．（﹣4，32） B．（4，-32）
C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
【分析】设点A的坐标为（-6a，a），根据点B的坐标为（4，0），△AOB的面积为6，列方程即可得到结论．
【解析】设点A的坐标为（-6a，a），
∵点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，
∴S△AOB=12×4×|a|＝6，
解得：a＝±3，
∴点A的坐标为（﹣2，3）（2，﹣3）．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•鄂尔多斯）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为25，则k的值为　12　．

【分析】解法一：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为25，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．
解法二：设A（a，6），则B（a+1，4），根据6a＝4（a+1）解方程可得k的值．
【解析】解法一：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，

∵BC∥x轴，
∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y=kx（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（k6，6），B（k4，4），
∴AE＝2，BE=k4-k6=k12，
∵菱形ABCD的面积为25，
∴BC×AE＝25，即BC=5，
∴AB＝BC=5，
在Rt△AEB中，BE=AB2-AE2=(5)2-22=1，
∴112k＝1，
∴k＝12．
解法二：同理知：BE＝1，
设A（a，6），则B（a+1，4），
∴6a＝4（a+1），
∴a＝2，
∴k＝2×6＝12．
故答案为12．
12．（2020秋•溆浦县期末）反比例函数y=-4x(x＜0)如图所示，则矩形OAPB的面积是　4　．

【分析】设P点的坐标为（x，y），根据P在反比例函数y=-4x(x＜0)的图象上求出xy＝﹣4，得出PB×PA＝4，根据矩形的性质得出即可．
【解析】设P点的坐标为（x，y），
∵P在反比例函数y=-4x(x＜0)的图象上，
∴xy＝﹣4，
即PB×PA＝4，
∴矩形OAPB的面积是4，
故答案为：4．
13．（2020•南昌一模）已知菱形OABC在坐标系中如图放置，点C在x轴上，若点A坐标为（3，4），经过A点的双曲线交BC于D，则△OAD的面积为　10　．

【分析】先利用勾股定理计算出OA＝5，再利用菱形的面积公式计算出S菱形ABCO＝20，然后根据三角形面积公式，利用S△OAD=12S菱形ABCO进行即可．
【解析】∵点A坐标为（3，4），
∴OA=32+42=5，
∵四边形ABCO为菱形，
∴S菱形ABCO＝5×4＝20，
∴S△OAD=12S菱形ABCO=12×20＝10．
故答案为10．
14．（2021•合肥三模）如图，反比例函数y=kx的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标　满足y=2x的第三象限点均可，如（﹣2，﹣1）　．

【分析】根据反比例函数的图象过点A（1，2）可求出k的值，再根据在第三象限图象内找出符合条件的点即可．
【解析】点（1，2）代入得，k＝2，
∴反比例函数的关系式为：y=2x，
∵第三象限内的点x＜0，y＜0，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，
故答案为：满足y=2x的第三象限点均可，如（﹣2，﹣1）
15．（2019春•永康市期末）如图，矩形ABCD的顶点C，D分别在反比例函数y=6x（x＞0）．y=3x（x＞0）的图象上，顶点A，B在x轴上，则矩形ABCD的面积是　3　．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数k的几何意义，可以求出结果．
【解析】延长CD交y轴于点E，
∵点C在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，
∴矩形CBOE的面积为6，
∵点D分别在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，
∴矩形ADEO的面积为3，
∴矩形ABCD的面积为：6﹣3＝3，
故答案为：3．

16．（2019秋•鼓楼区校级期中）如图，面积为6的菱形AOBC的两顶点A，B在函数y=4x（x＞0）的图象上，则点C的坐标为　（32，32）　．

【分析】连接AB，作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，连接OC交AB于H．根据对称性可以假设A（m，4m），则B（4m，m）．构建方程解决问题即可．
【解析】连接AB，作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，连接OC交AB于H．
∵反比例函数y=4x关于直线y＝x对称，
∵四边形OACB是菱形
∴OA＝OB，S△OAB=12S菱形OACB＝3，
∴点A，点B关于直线y＝x对称，设A（m，4m），则B（4m，m）．
∵S△OAB＝S△OAD+S梯形ADEB﹣S△OBE＝S梯形ADEB=12（AD+BE）•DE=12（4m+m）（4m-m）＝3，
解得m=2或-2（舍弃），
∴A（2，22），B（22，2），
∴H（322，322），
∵2OH＝OC，
∴C（32，32）
故答案为（32，32）．

17．（2020•温江区模拟）如图，反比例函数y=kx（x＞0）经过A、B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接AD、AB，已知AC＝1，BE＝1，S矩形BEOD＝4，则点D到AB的最短距离为　22　．

【分析】过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，根据反比例函数的比例系数的几何意义得k的值，求得A、B两点的坐标，进而根据三角形的面积公式求得D到AB的距离．
【解析】∵S矩形BEOD＝4，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为：y=4x，
∵AC＝1，BE＝1，
∴xA＝1，yB＝1，
∴A（1，4），B（4，1），
过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，
∴BD＝4，AM＝4﹣1＝3，AB=(4-1)2+(1-4)2=32，
∴S△ABD=12BD⋅AM=12AB⋅DN，
∴DN=BD⋅AMAB=4×332=22，

故答案为：22．
18．（2021•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）分别与边AB、边BC相交于点E、点F，且点E、点F分别为AB、BC边的中点，连接EF．若△BEF的面积为3，则k的值是　12　．

【分析】设B点的坐标为（a，b），根据中点求得E、F的坐标，再把E、F坐标代入反比例函数解析式，得k与a、b的关系式，再根据△BEF的面积为3，列出a、b的方程，求得ab，便可求得k．
【解析】∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，
∴E（12a，b），F（a，12b），
∵E、F在反比例函数的图象上，
∴12ab=k，
∵S△BEF＝3，
∴12×12a⋅12b=3，即18ab=3，
∴ab＝24，
∴k=12ab＝12
故答案为：12．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•连山区期末）如图，在平行四边形OABC中，OC=22，∠AOC=45°，点A在x轴上，点D是AB的中点，反比例函数y=kx(k＞0)的图象经过C，D两点．
（1）求k的值；
（2）求四边形OABC的面积．

【分析】（1）作高构造直角三角形，由等腰直角三角形的性质，求出CE、OE，确定点C的坐标，代入求出k的值即可；
（2）根据平行四边形的性质和中点的意义，得出点D的坐标，根据坐标求出平行四边形的底和高，即可求出面积．
【解析】（1）过点C作CE⊥x轴于E，
∵∠AOC＝45°，
∴OE＝CE，
∴OE2+CE2＝OC2
∵OC＝22，
∴OE＝CE＝2，
∴C（2，2），
∵反比例函数y=kx的图象经过点C点，
∴k＝2×2＝4；
（2）过点D作DF⊥x轴于F，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝22，∠DAF＝∠AOC＝45°，
又∵点D是AB的中点，
∴AD=2，AF＝DF，
∴AF2+DF2＝AD2，
∴AF＝DF＝1，
∴D点的纵坐标为1，
∵反比例函数y=4x的图象过点D点，
∴D（4，1），
∴OF＝4，OA＝OF﹣AF＝4﹣1＝3，
∴平行四边形OABC的面积S＝OA•CE＝3×2＝6．

20．（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，点A在反比例函数y=-9x（x＜0）的图象上，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，求△ACO的面积．

【分析】过A作AH⊥CO于H，依据k＝﹣9，利用反比例函数比例系数k的几何意义，即可得到△ACO的面积．
【解析】如图，过A作AH⊥OC于H，则
∵AC＝AO，
∴CH＝OH，
∴S△ACH＝S△AOH=12|k|=12×|﹣9|=92，
∴△ACO的面积为92+92=9，
∴△ACO的面积为9．

21．（2021•昆山市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B、C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝3，AB＝4．若双曲线y=kx（k≠0）交边AB于点E，交边AC于中点D．
（1）若OB＝2，求k；
（2）若AE=38AB，求直线AC的解析式．

【分析】（1）当OB＝2＝m时，点D（72，2），即可求解；
（2）AE=38AB，则EB=58AB=52，故点E（m，52），而点E、D都在反比例函数上，故k＝2×（m+32）＝m×52，求得m＝6，进而求出点A、C的坐标，即可求解．
【解析】设点B（m，0），则点C（m+3，0），点A（m，4），
由中点公式得，点D（m+32，2）；
（1）当OB＝2＝m时，点D（72，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k=72×2＝7；

（2）AE=38AB，则EB=58AB=52，故点E（m，52），
∵点E、D都在反比例函数上，故k＝2×（m+32）＝m×52，
解得：m＝6，
过点A、C的坐标分别为：（6，4）、（9，0），
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则4=6k+b0=9k+b，解得k=-43b=12，
故直线AC的表达式为：y=-43x+12．
22．（2020春•姑苏区期中）如图，已知点A是一次函数y=13x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，
（1）若B点坐标是（3，5），反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点C．求k的值．
（2）若反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点B，C，且△OAB的面积为8，
求△ABC的面积．

【分析】（1）过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．先求得A的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质求得C的坐标，代入反比例函数y=kx（x＞0），即可求得k的值．
（2）如图，设AB＝2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE＝AE＝CE＝a，设A（x，13x），则B（x，13x+2a），C（x+a，13x+a），因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
【解析】（1）过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．
当x＝3时，y=13×3＝1，
∴点A（3，1），
∴AB＝5﹣1＝4，
又∵等腰直角三角形ABC，AB为斜边，
∴AE＝BE＝CE=12AB＝2，
∴点C（5，3），
∵反比例函数y=kx（x＞0）经过点C，
∴k＝5×3＝15；
（2）如图，∵AB⊥x轴，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BE＝AE＝CE，
设AB＝2a，则BE＝AE＝CE＝a，
设A（x，13x），则B（x，13x+2a），C（x+a，13x+a），
∵B，C在反比例函数的图象上，
∴x（13x+2a）＝（x+a）（13x+a），
解得x=32a，
∵S△OAB=12AB•DE=12•2a•x＝8，
∴ax＝8，
∴32a2＝8，
∴a2=163，
∵S△ABC=12AB•CE=12•2a•a＝a2=163．

23．（2020•枣庄三模）如图，点A（32，4），B（3，m）是直线AB与反比例函数y=nx（x＞0）图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．
（1）求反比例函数和直线AB的表达式；
（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2﹣S1．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由点A坐标得AC＝4，则点B到AC的距离为3-32=32，则S1=12×4×32=3，而点A，B到DE的距离分别为32，3，进而求出S2，即可求解．
【解析】（1）由点A(32，4)在反比例函数y=nx(x＞0)图象上，
∴4=n32，解得n＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x(x＞0)，
将点B（3，m）代入y=6x(x＞0)并解得m＝2，
∴B（3，2），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，
∴4=32k+b2=3k+b，解得k=-43b=6，
∴直线AB的表达式为y=-43x+6；

（2）由点A坐标得AC＝4，
则点B到AC的距离为3-32=32，
∴S1=12×4×32=3，
设AB与y轴的交点为E，则点E（0，6），如图：

∴DE＝6﹣1＝5，
由点A(32，4)，B(3，2)知，点A，B到DE的距离分别为32，3，
∴S2=S△BDE-S△AED=12×5×3-12×5×32=154，
∴S2-S1=154-3=34．
24．（2021•潜江模拟）如图，点A在反比例函数y=-8x上，点B在第一象限，OB⊥OA，且OB＝OA．
（1）若反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过点B，求k的值；
（2）若点A的横坐标为﹣4，点P是在第一象限内的直线AB上一点（不与A，B重合），且S△POB＝S△AOB，求点P的坐标．

【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOD＝4，通过证得△AOD≌△OBE，得出S△OBE=12|k|＝S△AOD＝4，即可求得k＝8；
（2）根据三角形全等求得B的坐标，根据题意得出AB＝PB，由A、B的坐标即可求得P的坐标．
【解析】（1）作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵点A在反比例函数y=-8x上，
∴S△AOD=12×|﹣8|＝4，
∵OB⊥OA，
∴∠AOD+∠BOE＝90°＝∠BOE+∠OBE，
∴∠AOD＝∠OBE，
在△AOD和△OBE中，
∠AOD=∠OBE∠ADO=∠OEBOA=OB，
∴△AOD≌△OBE（AAS），
∴S△OBE=12|k|＝S△AOD＝4，
∵点B在第一象限，
∴k＝8；
（2）∵点A的横坐标为﹣4，
∴把x＝﹣4代入y=-8x得，y＝2，
∴A（﹣4，2），
∵△AOD≌△OBE，
∴OE＝AD＝2，BE＝OD＝4，
∴B（2，4），
∵S△POB＝S△AOB，
∴AB＝PB，
∴P（8，6）．