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初中数学沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用测试题
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这是一份初中数学沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用测试题，文件包含专题237解直角三角形的应用测量高度问题重难点培优解析版docx、专题237解直角三角形的应用测量高度问题重难点培优原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题23.7解直角三角形的应用：测量高度问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•吉林二模）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为am，已知冬至时长春的正午光入射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（ ）
A．asin23°m B．asin23°m C．atan23°m D．atan23°m
【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．
【解析】由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为：ACtan∠ABC=atan23°m，
故选：C．
2．（2021•松北区二模）如图，为了测量河两岸A、B两点间的距离，只需在与AB垂直方向的点C处测得垂线段AC＝m米，若∠ACB＝α，那么AB等于（ ）
A．mtanα米 B．m•sinα米 C．m•cosα米 D．m•tanα米
【分析】根据题意和图形，可知tanα=ABAC=ABm，从而可以用m和tanα表示出AB，本题得以解决．
【解析】∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AC＝m米，∠ACB＝α，
∴tanα=ABAC=ABm，
∴AB＝m•tanα（米），
故选：D．
3．（2020•余杭区一模）如图，测得一商场自动扶梯的长为l，自动扶梯与地面所成的角为θ，则该自动扶梯到达的高度h为（ ）
A．l•sinθ B．lsinθ C．l•cosθ D．lcosθ
【分析】利用三角函数的定义即可求解．
【解析】∵sinθ=hl，
∴h＝l•sinθ，
故选：A．
4．（2021春•长沙期中）如图要测量浏阳河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝300米，∠PCA＝40°，则小河宽PA为（ ）
A．300sin40°米 B．300cos40°米
C．300tan40°米 D．300tan50°米
【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
【解析】∵PA⊥PB，
∴∠APC＝90°，
∵PC＝300米，∠PCA＝44°，
∴tan44°=PAPC，
∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝300tan40°米．
故选：C．
5．（2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A．tanαtanβ B．sinβsinα C．sinαsinβ D．cosβcosα
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
【解析】在Rt△ABC中，AB=ACsinα，
在Rt△ACD中，AD=ACsinβ，
∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinβsinα，
故选：B．
6．（2020秋•章丘区期末）如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（ ）米．
A．6+43 B．10+43 C．8 D．6
【分析】如图，延长AB交DT的延长线于E．首先证明AE
【解析】如图，延长AB交DT的延长线于E．
∵1米的杆影长恰好为1米，
∴AE＝DE，
∵四边形BCTE是矩形，
∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，
在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，
∴DT＝CD•cos30°＝8×32=43（米），CT=12CD＝4（米），
∴AE＝DE＝ET+DT＝（10+43）（米），BE＝CT＝4（米），
∴AB＝AE﹣BE＝（10+43）﹣4＝（6+43）（米），
故选：A．
7．（2020•南关区校级四模）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，则点D离地面的高度DE为（ ）
A．140sin20°cm B．140cos20°cm
C．140sin40°cm D．140cos40°cm
【分析】根据等腰三角形的三线合一性质得∠ACB的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．
【解析】∵∠BAC＝40°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣70°＝20°，
∴DE＝BD•cos20°＝140cos20°，
故选：B．
8．（2020•市中区二模）某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是（ ）米？（结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由∠BAC＝15°可求出∠DAC的度数，在Rt△AED中由∠ADE＝60°，AD＝4可求出DE及AE的长度，在Rt△AEC中由直角三角形的性质可得出AE＝CE，故可得出CE的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出AC的长，进而可得出结论．
【解析】过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠BAC＝15°，
∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ADC＝60°，
∴在Rt△AED中，
∵cos60°=DEAD=DE4=12，
∴DE＝2，
∵sin60°=AEAD=AE4=32，
∴AE＝23，
∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝CE＝23，
∴sin45°=CEAC=23AC=22，
∴AC＝26，
∴AB＝26+23+2≈2×2.4+2×1.7+2＝10.2≈10（米）．
答：这棵大树AB原来的高度是10米．
故选：B．
9．（2020•宁波模拟）小甬和小真两位同学来到体育馆前一个半圆形公益广告牌前，广告牌如图所示，两位同学认为如果要测得广告牌的半径，按以下方案获取数据后即可求得：他们先测得广告牌的影长为12米，然后小甬让小真站立，测得小真的影长为2.4米，已知小真同学身高为1.6米，那么广告牌的半径是（ ）
A．6米 B．121313米 C．（913-27）米 D．813-163米
【分析】如图，设圆心为O，OB是半径，点F是光线DF与半圆的切点，延长BO交DF于A，过点B作BE⊥AB交DF的延长线于E，设OF＝OB＝x米．求出求出BE＝EF＝8，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解析】如图，设圆心为O，OB是半径，点F是光线DF与半圆的切点，延长BO交DF于A，过点B作BE⊥AB交DF的延长线于E，设OF＝OB＝x米．
由题意CD＝AB＝12米，
∵BEAB=1.62.4，
∴BE＝8米，
∵EF，EB都是切线，
∴EF＝EB＝8，
在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=122+82=413，
∴∠OAF＝∠EAB，∠AFO＝∠ABE＝90°，
∴△AOF∽△AEB，
∴OFBE=AFAB，
∴x8=413-812，
∴x=813-163，
故选：D．
10．（2020•福田区一模）如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为（ ）（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，2≈1.4）
A．14米 B．15米 C．17米 D．18米
【分析】如图，作BH⊥AC于H．设BH＝x，构建方程即可解决问题．
【解析】如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH＝37°，∠BHC＝90°，
设BH＝xm，
∴CH=BHtan37°=x34=4x3，
∵∠A＝45°，
∴AH＝BH＝x，
∴x+43x＝28，
∴x＝12，
∴AB=2AH=2×12≈17（m）
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•历下区期末）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，树高为53米，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，则两次测量的影长差为 10 米．
【分析】利用所给角的正切值分别求出两次影子的长，然后作差求出CD的长即可．
【解析】在直角三角形ABD中，tan60°=ABBD=3，
∴BD=AB3=5，
在直角三角形ABC中，tan30°=ABBC=33，
∴BC=5333=15，
∴两次测量的影长差＝15﹣5＝10（米），
故答案为：10．
12．（2021•启东市模拟）2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 210 米．（参考数据：sin20°≈0.34）
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解析】过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，
在Rt△ABE中，
∵sinα=AEAB，
∴AE＝AB×sin20°≈68米，
在Rt△BCG中，
∵sinβ=BGBC，
∴BG＝BC×sin45°≈142米，
∴他下降的高度为：AE+BG＝210米，
故答案为：210
13．（2020•三水区一模）如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成37°角，则木杆折断之前高度约为 8 m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】在Rt△APC中，由AC的长及sinB＝0.60的值可得出AB的长，即可解答．
【解析】如图：AC＝3m，∠B＝37°，
∴AB=ACsin37°≈30.60=5，
∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3+5＝8（m）．
故答案为8．
14．（2020•枣庄模拟）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长 95cosαm ．
【分析】过A点作AD⊥BC于点D，先根据题目中的数据求得BD，再解直角三角形求得结果．
【解析】过A点作AD⊥BC于点D，
∵BC＝3+0.3×2＝3.6（m），AB＝AC，
∴BD=12BC=1.8m，
∴AB=BDcosα=1.8cosα=95cosα（m）．
故答案为：95cosαm．
15．（2020•太原二模）圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角∠ABC＝28.8°，夏至时正午阳光入射角∠ADC＝75.8°．已知“表”高AC＝20cm，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离BD约为 35 cm．（精确到1cm；参考数据：cos75.8°≈0.2，tan75.8°≈4.0，cos28.8°≈0.9，tan28.8°＝0.5）
【分析】解直角三角形即可得到结论．
【解析】在Rt△ABC中，BC=ACtan∠ABC=20tan28.8°=200.5=40（cm），
在Rt△ACD中，CD=ACtan∠ADC=20tan75.8°=204.0=5（cm），
∴BD＝BC﹣CD＝35（cm），
答：“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离BD约为35cm．
故答案为：35．
16．（2020•枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【分析】在Rt△ADC中，求出AD即可．
【解析】∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m），
故答案为1.5．
17．（2020•温州模拟）如图1是一款创意型壁灯，示意图如图2所示，∠BAF＝150°，灯臂BC＝0.2米，不使用时BC∥AF，人在床上阅读时，将BC绕点B旋转至BC′，BC′⊥AB，书本到地面距离DE＝1米，C，C′，D点恰好在同一直线上，且C′D＝AB+CC′，则此时固定点A到地面的距离AF＝ 1.4 米．
【分析】延长CB与EF交于点M，过A作AH⊥CM于点H，过C'作C'G⊥CM于点G，过点D作DK⊥GF于点K，先解直角三角形BC'G，求得C'G，再解直角三角形CC'G，求得CC'，进而得CD，再解直角三角形CDK，求得CK，解直角三角形ABH求得BH，进而求得HK，最后由线段和差关系求得结果．
【解析】延长CB与EF交于点M，过A作AH⊥CM于点H，过C'作C'G⊥CM于点G，过点D作DK⊥GF于点K，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ABG＝30°，
∵∠ABC'＝90°，
∴∠GBC'＝60°，
∵BC'＝BC＝0.2m，
∴C'G＝0.13（m），∠BCC'＝∠BC'C＝30°，
∴CC'=C'Gsin30°=0.23（m），
∵C′D＝AB+CC′，
∴C'D＝AB+0.23（m），
∴CD＝CC'+C'D＝AB+0.43（m），
∴CK＝CD•cos30°=32AB+0.6（m），
∴BK＝CK﹣CB=32AB+0.4（m），
∵BH＝AB•cos30°=32AB，
∴HK＝BK﹣BH＝0.4（m），
∵DE＝1m，
∴AF＝HM＝HK+KM＝HK+DE＝0.4+1＝1.4（m），
故答案为：1.4．
18．（2021•西湖区校级二模）一棵珍贵的百年老树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，做法如下：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为 16.9 米．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，2≈1.41）
【分析】作BH⊥AC于H．在Rt△BCH和Rt△ABH中，根据三角函数的定义及AC的值得到关于BH的方程，解方程求出BH，再根据勾股定理可求出AB．
【解析】如图，作BH⊥AC于H．
∴∠BHC＝90°，∠AHB＝90°，
在Rt△BCH中，
∵∠BCH＝37°，
∴CH=BHtan∠BCA≈BHtan37°=BH0.75=4BH3，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABH＝90°﹣∠BAC＝45°，
∴∠ABH＝∠BAC，
∴AH＝BH，
∵AC＝28米，
∴BH+4BH3=28，
∴BH＝12米，
∴AH＝12米．
∴AB=BH2+AH2=122≈12×1.41＝16.92≈16.9（米），
故答案为16.9．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•娄底模拟）如图，在山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线EDC，测得∠C＝45°，CD＝60m，∠BDE＝30°．已知电视塔高AB＝150m，求山高BE的值．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，精确到1m）
【分析】设BE＝x米，由30°角的三角函数得DE=3BE=3x（米），再证△ACE是等腰直角三角形，得AE＝CE，由AB+BE＝CD+DE列出方程，解方程即可得到山高BE的值．
【解析】设BE＝x米，
在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE＝2x，
∴DE=BD2-BE2=(2x)2-x2=3x（米），
在Rt△ACE中，∠C＝45°，
∴∠A＝45°，
∴∠A＝∠C，
∴AE＝CE，
∴AB+BE＝CD+DE，
即150+x＝60+3x，
解得：x＝45（3+1）≈123（米），
即山高BE的值约为123米．
20．（2021•宁波模拟）如图，校门口路灯灯柱AB被钢缆CD固定，已知BD＝4米，且cos∠DCB=35．
（1）求钢缆CD的长度；
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
【分析】（1）根据三角函数可求得CD；
（2）过点E作EF⊥AB于点F．由∠EAB＝120°，得∠EAF＝60°，再根据三角函数求得AF，从而得出答案．
【解析】（1）在Rt△DCB中，cos∠DCB=35，
∴BCCD=35
∴设BC＝3x，DC＝5x，
∴BD=CD2-BC2=4x，
∵BD＝4m，
∴4x＝4，
∴x＝1，
∴CD＝5米；
（2）如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．
∵∠EAB＝120°，
∴∠EAF＝60°，
∴AF＝AE•cos∠EAF＝1.6×12=0.8（米），
∴FB＝AF+AD+DB＝0.8+2+4＝6.8（米）．
∴灯的顶端E距离地面6.8米．
21．（2021•铁岭模拟）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．
（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；
（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）
（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．
【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB＝∠BOG＝28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．
【解析】（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，
∵AE⊥BD，
∴OG∥AE，
∵BO＝DO，
∴OG平分∠BOD，
∴∠BOG=12∠BOD=12×56°＝28°，
∴∠EAB＝∠BOG＝28°，
在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），
∴AE＝AB•cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm），
答：点A离地面的高度AE约为132cm；
（2）∵OG∥AE，
∴∠EAB＝∠BOG，
∵CF⊥BD，
∴CF∥OG，
∴∠DCF＝∠DOG，
∵∠BOG＝∠DOG，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△CFD，
∴CFAE=CDAB，
∴CF=CD⋅AEAB=120×125150=100（cm），
答：C点离地面的高度CF为100cm．
22．（2021•郑州模拟）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了 4 cm．
（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题．
【解析】（1）作BF⊥DE于点F，则∠BFE＝∠BFD＝90°，
∵DE⊥l，AB⊥l，
∴∠BEA＝∠BAE＝90°＝∠BFE．
∴四边形ABFE为矩形．
∴EF＝AB＝5cm，EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∵∠ABD＝143°，
∴∠D＝37°，
在Rt△BDF中，∵∠BFD＝90°，
∴DFDB=cosD＝cos37°＝0.8，
∵DB＝DC+BC＝20+20＝40（cm），
∴DF＝40×0.8＝32（cm），
∴DE＝DF+EF＝32+5＝37cm，
答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm；
（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，
∵∠CBH＝53°，∠CHB＝90°，
∴∠BCH＝37°，
∵∠BCD＝180°﹣16°＝164°，∠DCP＝37°，
∴CH＝BCsin53°＝20×0.8＝16（cm），DP＝CDsin37°＝20×0.6＝12（cm），
∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝12+16+5＝33（cm），
∴下降高度：DE﹣DF＝37﹣33＝4（cm）．
故答案为：4．
23．（2021•余姚市一模）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为58.0°，探测最小角（∠OAC）为26.6°．
（1）若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度AB．
（2）该校要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.01米，参考数据：sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【分析】（1）根据题意可得OC⊥AC，∠OBC＝58.0°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6米，利用锐角三角函数列式计算即可；
（2）根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
【解析】（1）根据题意可知：
OC⊥AC，∠OBC＝58.0°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6米，
在Rt△OBC中，BC=OCtan∠OBC=1.6tan58.0°≈1.61.60=1.00（米），
在Rt△OAC中，AC=OCtan∠OAC=1.6tan26.6°≈1.60.50=3.20（米），
∴AB＝AC﹣BC＝3.2﹣1＝2.20（米）．
答：测温区域的宽度AB为2.2米；
（2）根据题意可知：
AC＝AB+BC＝2.53+BC，
在Rt△OBC中，BC=OCtan∠OBC≈OC1.60，
∴OC＝1.60BC，
在Rt△OAC中，OC＝AC•tan∠OAC≈（2.53+BC）×0.50，
∴1.60BC＝（2.53+BC）×0.50，
解得BC＝1.15米，
∴OC＝1.60BC＝1.84（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.84米．
24．（2021•千山区一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．
请根据以上信息，解决下列问题；
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．
参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45．
【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．
∵∠FDC＝30°，DF＝30，
∴FH=12DF=15，DH=32DF=153，
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝15，
∴CD=CH+DH=15+153，
∵CE：CD＝1：3，
∴DE=43CD=20+203，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC=(40+403)cm；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，
∴AG=22AC=202+206=20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题23.7解直角三角形的应用：测量高度问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•吉林二模）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为am，已知冬至时长春的正午光入射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（ ）
A．asin23°m B．asin23°m C．atan23°m D．atan23°m
【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．
【解析】由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为：ACtan∠ABC=atan23°m，
故选：C．
2．（2021•松北区二模）如图，为了测量河两岸A、B两点间的距离，只需在与AB垂直方向的点C处测得垂线段AC＝m米，若∠ACB＝α，那么AB等于（ ）
A．mtanα米 B．m•sinα米 C．m•cosα米 D．m•tanα米
【分析】根据题意和图形，可知tanα=ABAC=ABm，从而可以用m和tanα表示出AB，本题得以解决．
【解析】∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AC＝m米，∠ACB＝α，
∴tanα=ABAC=ABm，
∴AB＝m•tanα（米），
故选：D．
3．（2020•余杭区一模）如图，测得一商场自动扶梯的长为l，自动扶梯与地面所成的角为θ，则该自动扶梯到达的高度h为（ ）
A．l•sinθ B．lsinθ C．l•cosθ D．lcosθ
【分析】利用三角函数的定义即可求解．
【解析】∵sinθ=hl，
∴h＝l•sinθ，
故选：A．
4．（2021春•长沙期中）如图要测量浏阳河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝300米，∠PCA＝40°，则小河宽PA为（ ）
A．300sin40°米 B．300cos40°米
C．300tan40°米 D．300tan50°米
【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
【解析】∵PA⊥PB，
∴∠APC＝90°，
∵PC＝300米，∠PCA＝44°，
∴tan44°=PAPC，
∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝300tan40°米．
故选：C．
5．（2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A．tanαtanβ B．sinβsinα C．sinαsinβ D．cosβcosα
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
【解析】在Rt△ABC中，AB=ACsinα，
在Rt△ACD中，AD=ACsinβ，
∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinβsinα，
故选：B．
6．（2020秋•章丘区期末）如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（ ）米．
A．6+43 B．10+43 C．8 D．6
【分析】如图，延长AB交DT的延长线于E．首先证明AE
【解析】如图，延长AB交DT的延长线于E．
∵1米的杆影长恰好为1米，
∴AE＝DE，
∵四边形BCTE是矩形，
∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，
在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，
∴DT＝CD•cos30°＝8×32=43（米），CT=12CD＝4（米），
∴AE＝DE＝ET+DT＝（10+43）（米），BE＝CT＝4（米），
∴AB＝AE﹣BE＝（10+43）﹣4＝（6+43）（米），
故选：A．
7．（2020•南关区校级四模）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，则点D离地面的高度DE为（ ）
A．140sin20°cm B．140cos20°cm
C．140sin40°cm D．140cos40°cm
【分析】根据等腰三角形的三线合一性质得∠ACB的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．
【解析】∵∠BAC＝40°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣70°＝20°，
∴DE＝BD•cos20°＝140cos20°，
故选：B．
8．（2020•市中区二模）某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是（ ）米？（结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由∠BAC＝15°可求出∠DAC的度数，在Rt△AED中由∠ADE＝60°，AD＝4可求出DE及AE的长度，在Rt△AEC中由直角三角形的性质可得出AE＝CE，故可得出CE的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出AC的长，进而可得出结论．
【解析】过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠BAC＝15°，
∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ADC＝60°，
∴在Rt△AED中，
∵cos60°=DEAD=DE4=12，
∴DE＝2，
∵sin60°=AEAD=AE4=32，
∴AE＝23，
∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝CE＝23，
∴sin45°=CEAC=23AC=22，
∴AC＝26，
∴AB＝26+23+2≈2×2.4+2×1.7+2＝10.2≈10（米）．
答：这棵大树AB原来的高度是10米．
故选：B．
9．（2020•宁波模拟）小甬和小真两位同学来到体育馆前一个半圆形公益广告牌前，广告牌如图所示，两位同学认为如果要测得广告牌的半径，按以下方案获取数据后即可求得：他们先测得广告牌的影长为12米，然后小甬让小真站立，测得小真的影长为2.4米，已知小真同学身高为1.6米，那么广告牌的半径是（ ）
A．6米 B．121313米 C．（913-27）米 D．813-163米
【分析】如图，设圆心为O，OB是半径，点F是光线DF与半圆的切点，延长BO交DF于A，过点B作BE⊥AB交DF的延长线于E，设OF＝OB＝x米．求出求出BE＝EF＝8，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解析】如图，设圆心为O，OB是半径，点F是光线DF与半圆的切点，延长BO交DF于A，过点B作BE⊥AB交DF的延长线于E，设OF＝OB＝x米．
由题意CD＝AB＝12米，
∵BEAB=1.62.4，
∴BE＝8米，
∵EF，EB都是切线，
∴EF＝EB＝8，
在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=122+82=413，
∴∠OAF＝∠EAB，∠AFO＝∠ABE＝90°，
∴△AOF∽△AEB，
∴OFBE=AFAB，
∴x8=413-812，
∴x=813-163，
故选：D．
10．（2020•福田区一模）如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为（ ）（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，2≈1.4）
A．14米 B．15米 C．17米 D．18米
【分析】如图，作BH⊥AC于H．设BH＝x，构建方程即可解决问题．
【解析】如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH＝37°，∠BHC＝90°，
设BH＝xm，
∴CH=BHtan37°=x34=4x3，
∵∠A＝45°，
∴AH＝BH＝x，
∴x+43x＝28，
∴x＝12，
∴AB=2AH=2×12≈17（m）
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•历下区期末）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，树高为53米，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，则两次测量的影长差为 10 米．
【分析】利用所给角的正切值分别求出两次影子的长，然后作差求出CD的长即可．
【解析】在直角三角形ABD中，tan60°=ABBD=3，
∴BD=AB3=5，
在直角三角形ABC中，tan30°=ABBC=33，
∴BC=5333=15，
∴两次测量的影长差＝15﹣5＝10（米），
故答案为：10．
12．（2021•启东市模拟）2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 210 米．（参考数据：sin20°≈0.34）
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解析】过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，
在Rt△ABE中，
∵sinα=AEAB，
∴AE＝AB×sin20°≈68米，
在Rt△BCG中，
∵sinβ=BGBC，
∴BG＝BC×sin45°≈142米，
∴他下降的高度为：AE+BG＝210米，
故答案为：210
13．（2020•三水区一模）如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成37°角，则木杆折断之前高度约为 8 m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】在Rt△APC中，由AC的长及sinB＝0.60的值可得出AB的长，即可解答．
【解析】如图：AC＝3m，∠B＝37°，
∴AB=ACsin37°≈30.60=5，
∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3+5＝8（m）．
故答案为8．
14．（2020•枣庄模拟）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长 95cosαm ．
【分析】过A点作AD⊥BC于点D，先根据题目中的数据求得BD，再解直角三角形求得结果．
【解析】过A点作AD⊥BC于点D，
∵BC＝3+0.3×2＝3.6（m），AB＝AC，
∴BD=12BC=1.8m，
∴AB=BDcosα=1.8cosα=95cosα（m）．
故答案为：95cosαm．
15．（2020•太原二模）圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角∠ABC＝28.8°，夏至时正午阳光入射角∠ADC＝75.8°．已知“表”高AC＝20cm，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离BD约为 35 cm．（精确到1cm；参考数据：cos75.8°≈0.2，tan75.8°≈4.0，cos28.8°≈0.9，tan28.8°＝0.5）
【分析】解直角三角形即可得到结论．
【解析】在Rt△ABC中，BC=ACtan∠ABC=20tan28.8°=200.5=40（cm），
在Rt△ACD中，CD=ACtan∠ADC=20tan75.8°=204.0=5（cm），
∴BD＝BC﹣CD＝35（cm），
答：“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离BD约为35cm．
故答案为：35．
16．（2020•枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【分析】在Rt△ADC中，求出AD即可．
【解析】∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m），
故答案为1.5．
17．（2020•温州模拟）如图1是一款创意型壁灯，示意图如图2所示，∠BAF＝150°，灯臂BC＝0.2米，不使用时BC∥AF，人在床上阅读时，将BC绕点B旋转至BC′，BC′⊥AB，书本到地面距离DE＝1米，C，C′，D点恰好在同一直线上，且C′D＝AB+CC′，则此时固定点A到地面的距离AF＝ 1.4 米．
【分析】延长CB与EF交于点M，过A作AH⊥CM于点H，过C'作C'G⊥CM于点G，过点D作DK⊥GF于点K，先解直角三角形BC'G，求得C'G，再解直角三角形CC'G，求得CC'，进而得CD，再解直角三角形CDK，求得CK，解直角三角形ABH求得BH，进而求得HK，最后由线段和差关系求得结果．
【解析】延长CB与EF交于点M，过A作AH⊥CM于点H，过C'作C'G⊥CM于点G，过点D作DK⊥GF于点K，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ABG＝30°，
∵∠ABC'＝90°，
∴∠GBC'＝60°，
∵BC'＝BC＝0.2m，
∴C'G＝0.13（m），∠BCC'＝∠BC'C＝30°，
∴CC'=C'Gsin30°=0.23（m），
∵C′D＝AB+CC′，
∴C'D＝AB+0.23（m），
∴CD＝CC'+C'D＝AB+0.43（m），
∴CK＝CD•cos30°=32AB+0.6（m），
∴BK＝CK﹣CB=32AB+0.4（m），
∵BH＝AB•cos30°=32AB，
∴HK＝BK﹣BH＝0.4（m），
∵DE＝1m，
∴AF＝HM＝HK+KM＝HK+DE＝0.4+1＝1.4（m），
故答案为：1.4．
18．（2021•西湖区校级二模）一棵珍贵的百年老树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，做法如下：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为 16.9 米．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，2≈1.41）
【分析】作BH⊥AC于H．在Rt△BCH和Rt△ABH中，根据三角函数的定义及AC的值得到关于BH的方程，解方程求出BH，再根据勾股定理可求出AB．
【解析】如图，作BH⊥AC于H．
∴∠BHC＝90°，∠AHB＝90°，
在Rt△BCH中，
∵∠BCH＝37°，
∴CH=BHtan∠BCA≈BHtan37°=BH0.75=4BH3，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABH＝90°﹣∠BAC＝45°，
∴∠ABH＝∠BAC，
∴AH＝BH，
∵AC＝28米，
∴BH+4BH3=28，
∴BH＝12米，
∴AH＝12米．
∴AB=BH2+AH2=122≈12×1.41＝16.92≈16.9（米），
故答案为16.9．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•娄底模拟）如图，在山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线EDC，测得∠C＝45°，CD＝60m，∠BDE＝30°．已知电视塔高AB＝150m，求山高BE的值．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，精确到1m）
【分析】设BE＝x米，由30°角的三角函数得DE=3BE=3x（米），再证△ACE是等腰直角三角形，得AE＝CE，由AB+BE＝CD+DE列出方程，解方程即可得到山高BE的值．
【解析】设BE＝x米，
在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE＝2x，
∴DE=BD2-BE2=(2x)2-x2=3x（米），
在Rt△ACE中，∠C＝45°，
∴∠A＝45°，
∴∠A＝∠C，
∴AE＝CE，
∴AB+BE＝CD+DE，
即150+x＝60+3x，
解得：x＝45（3+1）≈123（米），
即山高BE的值约为123米．
20．（2021•宁波模拟）如图，校门口路灯灯柱AB被钢缆CD固定，已知BD＝4米，且cos∠DCB=35．
（1）求钢缆CD的长度；
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
【分析】（1）根据三角函数可求得CD；
（2）过点E作EF⊥AB于点F．由∠EAB＝120°，得∠EAF＝60°，再根据三角函数求得AF，从而得出答案．
【解析】（1）在Rt△DCB中，cos∠DCB=35，
∴BCCD=35
∴设BC＝3x，DC＝5x，
∴BD=CD2-BC2=4x，
∵BD＝4m，
∴4x＝4，
∴x＝1，
∴CD＝5米；
（2）如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．
∵∠EAB＝120°，
∴∠EAF＝60°，
∴AF＝AE•cos∠EAF＝1.6×12=0.8（米），
∴FB＝AF+AD+DB＝0.8+2+4＝6.8（米）．
∴灯的顶端E距离地面6.8米．
21．（2021•铁岭模拟）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．
（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；
（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）
（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．
【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB＝∠BOG＝28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．
【解析】（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，
∵AE⊥BD，
∴OG∥AE，
∵BO＝DO，
∴OG平分∠BOD，
∴∠BOG=12∠BOD=12×56°＝28°，
∴∠EAB＝∠BOG＝28°，
在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），
∴AE＝AB•cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm），
答：点A离地面的高度AE约为132cm；
（2）∵OG∥AE，
∴∠EAB＝∠BOG，
∵CF⊥BD，
∴CF∥OG，
∴∠DCF＝∠DOG，
∵∠BOG＝∠DOG，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△CFD，
∴CFAE=CDAB，
∴CF=CD⋅AEAB=120×125150=100（cm），
答：C点离地面的高度CF为100cm．
22．（2021•郑州模拟）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了 4 cm．
（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题．
【解析】（1）作BF⊥DE于点F，则∠BFE＝∠BFD＝90°，
∵DE⊥l，AB⊥l，
∴∠BEA＝∠BAE＝90°＝∠BFE．
∴四边形ABFE为矩形．
∴EF＝AB＝5cm，EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∵∠ABD＝143°，
∴∠D＝37°，
在Rt△BDF中，∵∠BFD＝90°，
∴DFDB=cosD＝cos37°＝0.8，
∵DB＝DC+BC＝20+20＝40（cm），
∴DF＝40×0.8＝32（cm），
∴DE＝DF+EF＝32+5＝37cm，
答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm；
（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，
∵∠CBH＝53°，∠CHB＝90°，
∴∠BCH＝37°，
∵∠BCD＝180°﹣16°＝164°，∠DCP＝37°，
∴CH＝BCsin53°＝20×0.8＝16（cm），DP＝CDsin37°＝20×0.6＝12（cm），
∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝12+16+5＝33（cm），
∴下降高度：DE﹣DF＝37﹣33＝4（cm）．
故答案为：4．
23．（2021•余姚市一模）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为58.0°，探测最小角（∠OAC）为26.6°．
（1）若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度AB．
（2）该校要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.01米，参考数据：sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【分析】（1）根据题意可得OC⊥AC，∠OBC＝58.0°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6米，利用锐角三角函数列式计算即可；
（2）根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
【解析】（1）根据题意可知：
OC⊥AC，∠OBC＝58.0°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6米，
在Rt△OBC中，BC=OCtan∠OBC=1.6tan58.0°≈1.61.60=1.00（米），
在Rt△OAC中，AC=OCtan∠OAC=1.6tan26.6°≈1.60.50=3.20（米），
∴AB＝AC﹣BC＝3.2﹣1＝2.20（米）．
答：测温区域的宽度AB为2.2米；
（2）根据题意可知：
AC＝AB+BC＝2.53+BC，
在Rt△OBC中，BC=OCtan∠OBC≈OC1.60，
∴OC＝1.60BC，
在Rt△OAC中，OC＝AC•tan∠OAC≈（2.53+BC）×0.50，
∴1.60BC＝（2.53+BC）×0.50，
解得BC＝1.15米，
∴OC＝1.60BC＝1.84（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.84米．
24．（2021•千山区一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．
请根据以上信息，解决下列问题；
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．
参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45．
【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．
∵∠FDC＝30°，DF＝30，
∴FH=12DF=15，DH=32DF=153，
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝15，
∴CD=CH+DH=15+153，
∵CE：CD＝1：3，
∴DE=43CD=20+203，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC=(40+403)cm；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，
∴AG=22AC=202+206=20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．
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