数学九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试单元测试课堂检测

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

            专题23.8第23章解直角三角形单元测试（能力过关卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•金山区期末）在中，，那么锐角的正弦等于　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据锐角三角函数的定义得出答案即可．

【解析】在中，，锐角的正弦表示的是锐角的对边与斜边的比，即：，

故选：．

2．（2020秋•锦江区校级期中）在中，，若，，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】根据勾股定理求得的值，再根据正弦函数即可求得的值．

【解析】在中，，，，

，

．

故选：．

3．（2020秋•太仓市期中）在中，，，，那么的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】根据直角三角形的边角关系，求出的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．

【解析】在中，，

，

，

故选：．

4．（2020秋•龙岗区期末）如图，已知，，，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义逐个判断即可．

【解析】在，，，，

，

，，，，

故选：．

5．（2021•曾都区一模）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得和的长从而可以得到的长．

【解析】由题意可得，

，，，，

，，

，

故选：．

6．（2020•宿迁模拟）如图，的三个顶点均在格点上，则的值为　　

A． B． C．2 D．

【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出，进而得出答案．

【解析】如图所示：连接，

，

，

，

，

为直角三角形，

，

则．

故选：．

7．（2020•黔南州）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，测角仪的高度为1米，其底端与旗杆底端之间的距离为6米，设旗杆的高度为米，则下列关系式正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．

【解析】在中，，，，

，，，

故选：．

8．（2020•浙江自主招生）如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题．

【解析】如图，延长到，使得，连接．

，，，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

解法二：过点作平行，构造三角形相似于三角形，同理相似于，再由题目条件，可得角的值，遇到分点问题想平行，构造或8字型相似．

故选：．

9．（2019•拱墅区校级模拟）如图，在等腰直角三角形中，，，是上一点，若，则的长为　　

A． B． C． D．8

【分析】过点作于点，由等腰直角三角形的性质可得，，可得，由题意可得，即可求，的值，由勾股定理可求的长．

【解析】如图，过点作于点，

等腰直角三角形中，，，

，，且

，

，

，

，

，

故选：．

10．（2021春•淮南月考）如图，在中，，，延长到，使，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据等腰三角形的性质求得，设，求出，，再解直角三角形求出即可．

【解析】在中，，，

，

，

，

设，

在中，由勾股定理得，

，

，

，

，

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•舞钢市期末）已知是锐角，，则　　．

【分析】根据的正弦值求出，根据的余弦值解答即可．

【解析】，

，

，

则，

故答案为：．

12．周长为22的等腰三角形，一边长为8，则底角的余弦值为　或　．

【分析】作于，分腰长、底边长两种情况根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义解答即可．

【解析】作于，

当腰长时，底边长，

则，

；

当底边长时，腰长，

则，

，

故答案为：或．

13．（2021•南山区校级模拟）某楼梯的侧面如图所示，测得，，则该楼梯的高度　　．

【分析】利用正切三角函数解直角三角形求出即可．

【解析】在中，

，，，

，

故答案为：．

14．（2021•江岸区模拟）如图，地面上两个村庄、处于同一水平线上，一飞行器在空中以12千米小时的速度沿方向水平飞行，航线与、在同一铅直平面内．当该飞行器飞至村庄的正上方处时，测得，该飞行器从处飞行40分钟至处时，测得，则村庄、间的距离为 　5.5　千米．，结果保留一位小数）

【分析】过作于，三角形的内角和得到，根据直角三角形的性质得到米．米，求得米，即可得到结论．

【解析】如图，过作于，

，，

，

（千米），

（千米）．（千米），

（千米），

（千米），

，，

（千米）．

故答案为：5.5．

15．（2021•中山市模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，，已知木箱高，斜坡角为，则木箱端点距地面的高度为　　．

【分析】根据正弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出，进而得到的长，求出，结合图形计算，得到答案．

【解析】设、交于点，

，

，

，

在中，，

，

解得，，

，

，

在中，，

，

，

故答案为：．

16．（2020•高密市二模）如图，，，，，则点的坐标是　　．

【分析】过点作直线，交轴于点，过点作于点，先由平行线的性质及互余关系证明；再解，求得及，然后判定四边形为矩形，则可求得；解，求得及，则点的坐标可得．

【解析】过点作直线，交轴于点，过点作于点，则，

，

．

，

，，

，

，

，

在中，，

，

根据勾股定理得，，

，，

四边形为矩形，

，

，

，

，

在中，，

，

由勾股定理得：，

．

故答案为：．

17．（2019秋•南岗区校级月考）如图，在中，，点为中点，点在延长线上，且，连接，，，则线段长为　　．

【分析】如图，作于，于．由，推出可以假设，，则，，，证明，推出，构建方程求出即可解决问题．

【解析】如图，作于，于．

，

可以假设，，则，，，

，，

，

，

，

，，

，

，

点与点重合，

，，

，

，

，

故答案为．

18．（2020秋•崇明区期末）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形中，，则，所以四边形是闪亮四边形，是闪亮对角线，、是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形中，是闪亮对角线，、是对应的闪亮边，且，，，，那么线段的长为　　．

【分析】如图，作于．想办法证明是等边三角形，即可解决问题．

【解析】，如图，作于．

时

，，，

，

，

，

，

，

，

是等边三角形，

．

故答案为：．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•惠山区校级期中）（1）已知中，，，，解直角三角形．

（2）已知中，，，，求的长．

【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出，、即可；

（2）分情况讨论解答，分锐角三角形和钝角三角形进行解答即可．

【解析】（1）在中，，，，

，

，

，

，

，

，，；

（2）如图1，过点作，垂足为，

，，

，

在中，

，

，

如图2，，

故的长为或．

20．（2020•盐城）如图，在中，，，的平分线交于点，，求的长？

【分析】根据，，可求出，，再根据是的平分线，求出，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可．

【解析】在中，，，

，

，

是的平分线，

，

又，

，

在中，，，

．

答：的长为6．

21．（2021•临沂一模）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干（假定树干垂直于水平地面）被刮倾斜（即后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面处，测得，米，求这棵大树的高度．（结果保留根号）（参考数据：，，

【分析】过点作于点，解，求出及的长度，再解，得出及的长，进而可得出结论．

【解析】过点作于点，则．

在中，，

，

，

，

．

在中，

，

，

，

（米．

答：这棵大树原来的高度是米．

22．（2021•宣城模拟）如图，小亮在大楼的观光电梯中的点测得大楼楼底点的俯角为，此时他距地面的高度为21米，电梯再上升9米到达点，此时测得大楼楼顶点的仰角为，求大楼的高度．（结果保留根号）

【分析】过作于，过作于．求出和的长，在中，求出，则可得出答案

【解析】过作于，过作于．

由已知得，，，米，米．

在中，米，，

（米．

米．

在中，，

米．

米．

答：大楼的高度是米．

23．（2021•郑州模拟）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座与桌面垂直，底座高，连杆，，与始终在同一平面内．

（1）如图②，转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．

（2）将图②中的连杆再绕点逆时针旋转，如图③，此时连杆端点离桌面的高度减小了　4　．

（参考数据：，，

【分析】（1）如图2中，作于．解直角三角形求出即可解决问题．

（2）作于，于，于，于．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．

【解析】（1）作于点，则，

，，

．

四边形为矩形．

，，

，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，

答：连杆端点离桌面的高度为；

（2）如图3，作于，于，于，于．则四边形是矩形，

，，

，

，，

，，

，

下降高度：．

故答案为：4．

24．（2019秋•金山区期末）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示支架，支架的一部分是固定的，另一部分是可旋转的，线段表示投影探头，表示水平桌面，，垂足为点，且，，，．

将图2中的绕点向下旋转，使得落在的位置（如图3所示），此时，，，求点到水平桌面的距离，（参考数据：，，，结果精确到

【分析】过作于，过作于，延长交于，则，，设，解直角三角形即可得到结论．

【解析】过作于，

过作于，延长交于，

则，，

设，

，

，

，

，

，

，

，

解得：，

，

，

答：到水平桌面的距离为．

25．（2020•鼓楼区二模）如图1．点、在直线上在的左侧），点是直线上方一点．若，，记，为的双角坐标．例如，若是等边三角形，则点的双角坐标为，．

（1）如图2，若，，，求的面积；

（参考数据：，．

（2）在图3中用直尺和圆规作出点，，其中且．（保留作图痕迹）

【分析】（1）过点作于点，则，根据锐角三角函数即可求解；

（2）如图3，用直尺和圆规作出点，，其中且．可得，即可．

【解析】（1）过点作于点，则，

在中，，

，

，

在中，，

，

，

，

，

解得，

；

（2）如图3，点即为所求．

26．（2020•福州模拟）已知，，，是边上一点，连接，是上一点，且．

（1）如图1，若，

①求证：平分；

②求的值；

（2）如图2，连接，若，求的值．

【分析】（1）①想办法证明即可解决问题．

②如图1中，过点作于．证明，即可解决问题．

（2）如图2中，连接，过点作交的延长线于．证明可得结论．

【解答】（1）①证明：，

，

，

，，

，

，

，

，

，，

，

，

平分．

②解：如图1中，过点作于．

平分，，，

，

，，

，

，

．

（2）解：如图2中，连接，过点作交的延长线于．

，，

，

，，

，

，

，

，，

，，

，

，