初中数学沪科版九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试单元测试同步达标检测题

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

              专题23.9第23章解直角三角形单元测试（培优提升卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•南岗区校级开学）在中，，，，则的值为　　

A．8 B．9 C．10 D．12

【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．

【解析】，

设，，

，

，

解得，

．

故选：．

2．（2021•深圳模拟）如图，在中，，，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用三角形内角和定理得出，再利用特殊角的三角函数值得出答案．

【解析】在中，，，

，

则的值为：．

故选：．

3．（2020秋•大东区期末）如图，某游乐场山顶滑梯的高为50米，滑梯的坡比为，则滑梯的长为　　

A．100米 B．110米 C．120米 D．130米

【分析】直接利用坡比的定义得出的长，再利用勾股定理得出的长．

【解析】某游乐场山顶滑梯的高为50米，滑梯的坡比为，

，

则，

解得：米，

故（米．

故选：．

4．（2021•抚顺模拟）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】如图，连接．在中，解决问题即可．

【解析】如图，连接．

在中，，，，

，

故选：．

5．（2020秋•舒城县期末）下列各式中正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据互余两角三角函数的关系，转化为同名三角函数，再根据同名三角函数的增减性进行判断即可．

【解析】，因此选项不符合题意；

，因此选项不符合题意；

一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小，于是有，因此选项不符合题意；

，因此选项符合题意；

故选：．

6．（2019秋•漳州期末）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若的顶点都在格点上，则的值是　　

A． B． C． D．

【分析】首先判断，利用勾股定理求出，即可解决问题．

【解析】观察图象可知：，

，，

，

故选：．

7．（2021•黑龙江）如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为　　

A．1 B．2 C． D．

【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出，再根据，设参数表示、即可求出答案．

【解析】过点作，交的延长线于点，

，，

，

，

，

，

在中，

由于，设，则，

又，

，，

，

故选：．

8．（2021•安徽模拟）如图，中，，，，为边上一动点，且，则的长度为　　

A． B． C．5 D．

【分析】作于点，设长为，有及求出与长度，再由勾股定理求解．

【解析】作于点，

设长为，则，

，

，

，

，

，

，

故选：．

9．（2020秋•义乌市期末）如图，垂直于，为线段上的动点，为的中点，，，，．若，，则的长约为　　（参考数据：，，，

A．1.2 B． C． D．

【分析】过点作于点，根据题意可得，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳，即，再根据四边形内角和定理可得的度数，再根据锐角三角函数即可求出的长，进而可得遮阳效果最佳时的长．

【解析】如图，过点作于点，

根据题意可知：

当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳，

，

，，

，

，

，

，

为的中点，

，

，

，

．

所以要遮阳效果最佳的长约为1.3米．

故选：．

10．（2019秋•临清市期中）如图，在中，，，延长到点，使，连接．根据此图形可求得的值是　　

A． B． C． D．

【分析】设，解直角三角形求出，，由等腰三角形的性质和三角函数定义即可解决问题．

【解析】设，

在中，，，，

，，

，

，

，即；

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021•潍坊一模）如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则 　、　．

．

．

．

．

【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可．

【解析】、，则，本选项说法正确；

、，则，本选项说法错误；

、，则，本选项说法正确；

、，则，本选项说法错误；

故答案为：、．

12．（2021•岳麓区校级二模）有一斜坡，坡顶离地面的高度为，斜坡的倾斜角是，若坡比为，则此斜坡的水平距离为 　　．

【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比计算即可．

【解析】坡比为，，

，即，

解得：，

故答案为：．

13．（2020秋•成都期末）在中，，是边上的中线，，，则　　．

【分析】过作于点，则是的中位线，即可求得的长，在直角中．利用勾股定理即可求得的长，根据正切的定义即可求解．

【解析】如图，过作于点．

则．

是边上的中线，

是的中位线．

．

在直角中，，

，

故答案是：．

14．（2021•延庆区一模）如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是　1　．

【分析】由勾股定理的逆定理可证是等腰直角三角形，即可求解．

【解析】如图，连接，

，，，

，

是等腰直角三角形，

，

，

故答案为1．

15．（2021•南岗区校级模拟）在中，，，边上的高长为2，则的面积为　7或5　．

【分析】（1）根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，得到的长，根据勾股定理求出，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况，根据三角形的面积公式计算．

【解析】在中，，

，

解得，，

由勾股定理得，，

，

由勾股定理得，，

如图1，，

的面积，

如图2，，

的面积，

的面积为7或5，

故答案为：7或5．

16．（2020秋•天桥区期末）某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索底端距离米，则立柱的高为　　米．（结果保留根号）

【分析】根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理求出，根据正弦的定义计算，得到答案．

【解析】，，

，

，

（米，

在中，，

则（米，

故答案为：．

17．（2021•温州三模）如图是一款利用杠杆原理设计的平衡灯，灯管与支架，砝码杆均成角，且，，，底座是半径为的圆柱体，点是杠杆的支点．如图1，若砝码在端点时，当杠杆平衡时，支架垂直于桌面，则此时垂直光线照射到最远点到支点的距离为 　　．由于特殊设计，灯管的重力集中在端点，砝码杆重力集中在砝码上，支架的重力忽略不计，由杠杆原理可知，平衡时重力保持垂直水平桌面向下，且，如图2．为了使得平衡时砝码杆与桌面平行，则砝码到离点的距离为 　　．

【分析】如图1中，过点作于，过点作于．在中，求出，可得结论．如图2中，延长交于，过点作于，设，的重力线交桌面于，，则四边形，四边形都是矩形，想办法求出，，可得结论．

【解析】如图1中，过点作于，过点作于．

，

，

四边形是矩形，

，，

，

，，

，

，

，

，

，

．

如图2中，延长交于，过点作于，设，的重力线交桌面于，，则四边形，四边形都是矩形，

，，

在中，，

在中，，

由图1可知，，

，

，

，

，

．

故答案为：，．

18．（2021•金东区二模）用一副如图1所示的七巧板，拼出如图2所示中间有一个空白正方形的“风车图”，则图2中　3　．

【分析】连接并延长交于点，设，则，证明垂直平分，可得，，在同一条直线上，根据勾股定理可得，由，可得，然后利用勾股定理和锐角三角函数即可求出结果．

【解析】如图，连接并延长交于点，

设，

则，

，，

垂直平分，

，

，，在同一条直线上，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为：3．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•蒙城县期末）计算：．

【分析】根据特殊锐角的三角函数值代入计算即可．

【解析】原式

．

20．（2021•崆峒区一模）如图，在中，，，，求，，的值．

【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．

【解析】在中，由勾股定理得：，

所以，，．

21．（2020秋•周村区期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交边、于点、，连接．

（1）如果，求的度数；

（2）如果，，求的值．

【分析】（1）根据，想办法求出，即可．

（2）在中，求出，再求出即可解决问题．

【解析】（1）垂直平分，

，

．

．

（2），

．

，

，

，

，

，

．

22．如图，在中，已知，．，．

（1）求及的长度（用，的三角函数表示）；

（2）试判断是否成立并说明理由．

【分析】（1）作于点，通过解直角三角形求解．

（2）作交延长线于点，则，用三角函数值表示长即可．

【解析】（1）作于点，

在中，，

，

，

在中，

，

，

，

．

．

（2）成立，理由如下：

作交延长线于点，

为的外角，

，

在中，

，

．

23．（2021•徐州模拟）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为的墙上．当梯子位于位置时，它与地面所成的角，当梯子底端向右滑动（即到达位置时，它与地面所成的角，求梯子的长．

（参考数据：，，

【分析】设梯子的长为，在中，根据三角函数得到，在中，用含的式子表示出，再根据，得到关于的方程，解方程即可．

【解析】设梯子的长为，

在中，

在中，

．

，

，

解得．

故梯子的长是4米．

24．（2021•广东）如图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．

（1）若，求的周长；

（2）若，求的值．

【分析】（1）连接，设垂直平分线交于点，再根据线段垂直平分线的性质求解即可；

（2）设，则，，由勾股定理可表示出，从而可计算出．

【解析】（1）如图，连接，设垂直平分线交于点，

，

，

，

，

故的周长为1．

（2）设，

，

又，

，

在中，．

．

25．（2021•寻乌县模拟）在太原郁郁葱葱的西山上，环绕着一条蜿蜒曲折、鲜艳夺目的公路，它就是太原环城旅游公路暨公路自行车赛道，该赛道环西山而建，全长约136千米，将百余处景点串连成一条线．

（1）周日，某自行车骑行团组织甲、乙两个赛队在该赛道进行骑行活动，他们从赛道同一端出发，甲队出发25分钟时乙队出发，结果乙队比甲队提前15分钟到达终点（即赛道的另一端）．已知乙队骑行的平均速度为甲队的1.2倍．求甲、乙两个赛队此次活动骑行的平均速度．

（2）该赛道一端附近是太原市的摄乐桥如图（1），摄乐桥是太原市第18座跨汾河大桥，也是太原市首座仅靠主塔及缆索承担桥面重量的跨河大桥．某数学兴趣小组的同学们为了测量摄乐桥主塔的高，在地面上选取测点放置测倾仪，测得主塔顶端的仰角，将测倾仪向靠近主塔的方向前移至点处，测得主塔顶端的仰角，测量示意图如图（2）所示．已知测倾仪的高度，求摄乐桥主塔的高．（参考数据：，，

【分析】（1）设甲队骑行的平均速度为，则乙队骑行的平均速度为．根据“甲队出发25分钟时乙队出发，结果乙队比甲队提前15分钟到达终点”列方程即可得到结论．

（2）如图，过点作于点，则过点．解直角三角形即可得到结论．

【解析】（1）设甲队骑行的平均速度为，则乙队骑行的平均速度为．

根据题意，得，

解得：．

经检验，是原方程的根．

．

答：甲队骑行的平均速度为，乙队骑行的平均速度为．

（2）如图，过点作于点，则过点．

由题意得，．

设．

在中，，

．

在中，，

，

，

解得：，

，

．

答：摄乐桥主塔的高约为．

26．（2021•山西模拟）山西省隰县盛产香梨，被称为“隰县玉露香”．县政府运用“互联网玉露香梨”的发展思路，探索“爱心助农精准脱贫”的方式，构建“隰县玉露香”电商生态圈，使隰县成为中国北方最大的电商孵化基地年春节期间，“隰县玉露香”在网上热销，某电商看准商机，用10000元购进一批“隰县玉露香”，销量可观，于是又用18000元购进一批同款规格的“隰县玉露香”，但第二次的进价比第一次每箱上涨20元，第二次所购数量恰好是第一次的1.5倍．

（1）求第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格．

（2）政府为推进农村电商高质量可持续发展，在隰县新建一批移动信号发射塔，以提高农村互联网的传输效率．如图，是一个新建的移动信号发射塔，其高．用测角仪在山脚下的点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角，点，，在同一条铅垂线上．果农要在山脚处修建房屋以方便管理梨园，按国家规定，通讯基站离居民居住地至少就可不受信号塔辐射的影响．请判断在点处的房屋是否受信号塔塔顶发出的信号辐射的影响．

（测角仪、房屋的高度忽略不计；结果精确到；参考数据：，，，，，

【分析】（1）设第一次购进隰县玉露香的进价为元箱，根据数量总价单价，再结合第二次所购数量恰好是第一次的1.5倍，即可得出关于的分式方程，然后解方程，再检验即可解答本题；

（2）根据题意和图形，利用锐角三角函数，可以求得的长，再根据锐角三角函数可以得到的长，然后与100比较大小，即可解答本题．

【解析】（1）设第一次购进隰县玉露香的进价为元箱，

根据题意可得：，

解得，

经检验，是原方程的解，

答：第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格为100元；

（2）由题意得，，

在中，，

，

在中，，

，

，，

，

解得，

，

，

在点处的房屋不会受信号塔塔顶发出的信号辐射的影响．