初中沪科版第21章 二次函数与反比例函数综合与测试单元测试课后复习题

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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题21.18第21章二次函数与反比例函数单元测试（培优提升卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•云南期末）已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（　　）
A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数
【分析】根据二次函数的定义和已知条件得出m+3≠0，再求出答案即可．
【解析】∵函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，
∴m+3≠0，
解得：m≠﹣3，
故选：C．
2．（2020秋•太康县期末）将抛物线（　　）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为y＝﹣2（x﹣3）2+1．
A．y＝﹣2（x﹣5）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1 D．y＝﹣2（x﹣4）2+3
【分析】直接利用二次函数平移规律进而将y＝﹣2（x﹣3）2+1，先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到即可．
【解析】∵将y＝﹣2（x﹣3）2+1，先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到y＝﹣2（x﹣5）2+2，
∴平移前抛物线的解析式是：y＝﹣2（x﹣5）2+2．
故选：A．
3．（2020秋•南开区期末）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（　　）
A．2 B．6 C．﹣2 D．0
【分析】根据题目中的函数解析式和该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到m的值，从而可以解答本题．
【解析】∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4＝（x-m-22）2-(m-2)24+4，
∴该函数的顶点坐标为（m-22，-(m-2)24+4），
∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4图象的顶点在坐标轴上，
∴m-22=0或-(m-2)24+4＝0，
解得m＝2或m1＝﹣2，m2＝6，
故选：D．
4．（2020秋•合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0，b＜0，于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限，即可得到结论．
【解析】∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．
故选：C．
5．（2021•唐河县一模）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y=k2+3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2，y3的值，比较后即可得出结论．
【解析】∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数例函数y=k2+3x的图象上，
∴y1=-k2+32，y2＝﹣（k2+3），y3=k2+33，
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
6．（2021春•鄞州区校级期中）函数y=-6x图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1y2＝﹣3，则x2y1值为（　　）
A．12 B．6 C．﹣12 D．﹣6
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得x1y1＝﹣6，x2y2＝﹣6，再根据x1y2＝﹣3可得y1＝2y2，代入计算即可．
【解析】∵函数y=-6x图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），
∵x1y1＝﹣6，x2y2＝﹣6，
又∵x1y2＝﹣3，
∴y1＝2y2，
∴x2y1＝2x2y2＝2×（﹣6）＝﹣12，
故选：C．
7．（2021•黄州区校级自主招生）如图，Rt三角形ABC位于第一象限，AB＝4，AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=kx(k≠0)的图象与△ABC有交点，则k的最大值是（　　）

A．5 B．498 C．12124 D．4
【分析】把A点的坐标代入即可求出k的最小值；当反比例函数和直线BC相交时，求出b2﹣4ac的值，得出k的最大值．
【解析】在y＝x中，令x＝1，则y＝1，则A的坐标是（1，1），
把（1，1）代入y=kx得：k＝1；
C的坐标是（1，3），B的坐标是（5，1），
设直线BC的解析式是y＝kx+b，
则k+b=35k+b=1，
解得：k=-12b=72，
则函数的解析式是：y=-12x+72，
根据题意，得：kx=-12x+72，即x2﹣7x+2k＝0，
Δ＝49﹣8k≥0，
解得：k≤498．
故k的最大值为498，
故选：B．
8．（2021•长沙模拟）如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（12，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用对称轴方程得到b＝2a，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），则当x＝﹣3时，y＞0，则可对②进行判断；根据二次函数的性质，通过比较点（﹣2，y1）和点（12，y2）到直线x＝﹣1的距离的大小对③进行判断；利用x＝2，y＝0得到c＝﹣8a，则可对④进行判断．
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴-b2a=-1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∴当x＝﹣3时，y＞0，
即9a﹣3b+c＞0，所以②错误；
∵抛物线开口向下，点（﹣2，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（12，y2）到直线x＝﹣1的距离小，
∴y1＞y2，所以③错误；
∵x＝2，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，
把b＝2a代入得4a+4a+c＝0，解得c＝﹣8a，
∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，所以④正确．
故选：B．
9．（2021•射阳县三模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　）

A．18° B．36° C．41° D．58°
【分析】根据已知三点和近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案．
【解析】由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，

∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
10．（2020•九龙坡区校级一模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的是（　　）
①该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5）；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：65＜m＜2；
③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为：4m﹣5；
④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：214＜m＜11．
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】①y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3＝m（x+1）2﹣2x2﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣5，故该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5），符合题意；
②若该函数图象开口向下，则m﹣2＜0，且Δ＞0，
Δ＝b2﹣4ac＝20m﹣24＞0，解得：m＞65，且m＜2，故m的取值范围为：65＜m＜2，符合题意；
③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当1≤x≤2时，y的最大值在x＝2处取得，故y的最大为：（m﹣2）×4+2m×4+m﹣3＝9m﹣11，故原答案错误，不符合题意；
④当m＞2，x＝﹣3时，y＝9（m﹣2）﹣6m+m﹣3＝4m﹣21，当x＝﹣2时，y＝m﹣11，当﹣3＜x1＜﹣2时，则（4m﹣21）（m﹣11）＜0，解得：214＜m＜11；
同理﹣1＜x2＜0时，m＞3，故m的取值范围为：214＜m＜11正确，符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•市中区期末）如图，P是反比例函数y=kx图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则k＝　6　．

【分析】根据“P是反比例函数y=kx图象上一点，矩形OAPB的面积是6”可得S矩形OAPB＝|k|＝6，由此可得k值．
【解析】∵P是反比例函数y=kx图象上一点，四边形OAPB是矩形，
∴S矩形OAPB＝|k|，
∵矩形OAPB的面积是6，
∴|k|＝6，
由图象可知，k＞0，
∴k＝6
故答案为5．
12．（2021•河池）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是 　0　．
【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．
【解析】由正比例函数y＝2x与反比例函数y=kx（k≠0）的图象和性质可知，
其交点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称，
∴y1+y2＝0，
故答案为：0．
13．（2019秋•巴南区校级月考）汽车在高速公路刹车后滑行的距离y（米）与行驶的时间x（秒）的函数关系式是y＝﹣3x2+36x，汽车刹车后，会继续向前滑行直至静止，那么汽车静止前2秒内滑行的距离是　12　米．
【分析】求出滑行的最大时间，进而求解．
【解析】y＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∴x＝6（秒）时，汽车静止，此时滑行了108（米），
故当x＝4（秒）时，y＝﹣3x2+36x＝96（米），
故汽车静止前2秒内滑行的距离是108﹣96＝12（米），
故答案为12．
14．（2021•长春模拟）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 　7　米．

【分析】建立坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，由待定系数法求得抛物线的解析式，令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解析】建立坐标系，如图所示：

由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把A（0，1.68）代入得：
4a+2＝1.68，
解得a＝﹣0.08，
∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，
令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），
∴小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
15．（2020秋•乳山市期末）反比例函数y=3x和y=1x在第一象限的图象如图所示．点A，B分别在y=3x和y=1x的图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为　1　．

【分析】连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAD=32，S△OBD=12，即可求得S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝1．
【解析】连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，
∵AB∥y轴，
∴AD⊥x轴，OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC，
而S△OAD=12×3=32，S△OBD=12×1=12，
∴S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝1，
∴S△ABC＝1，
故答案为：1．

16．（2020•泰安）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
下列结论：
①a＞0；
②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；
③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是　①③④　．（把所有正确结论的序号都填上）
【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．
【解析】将（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y＝ax2+bx+c得，
16a-4b+c=0c=-44a+2b+c=6，解得，a=1b=3c=-4，
∴抛物线的关系式为y＝x2+3x﹣4，
a＝1＞0，因此①正确；
对称轴为x=-32，即当x=-32时，函数的值最小，因此②不正确；
把（﹣8，y1）（8，y2）代入关系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；
方程ax2+bx+c＝﹣5，也就是x2+3x﹣4＝﹣5，即方程x2+3x+1＝0，由b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0可得x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确；
正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
17．（2020秋•武昌区月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；④方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2＜1，x1＞﹣3，其中正确结论的是　①②③　．

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点以及最小值综合判断即可．
【解析】抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x＝﹣1＜0，a、b同号，所以b＞0，与y轴交于负半轴，c＜0，所以abc＜0，故①正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，因此②正确；
当x＝﹣1时，y最小＝a﹣b+c，当x＝m（m≠﹣1）时，y＝am2+bm+c，有am2+bm+c＞a﹣b+c，即m（am+b）+b＞a，因此③正确；
由抛物线与x轴的交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax2+bx+c﹣3＝0
的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2＞1，x1＜﹣3，于是④不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③，
故答案为：①②③．
18．（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　1800　元．

【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用分类讨论的方法，可以求得最大日销售利润，从而可以解答本题．
【解析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为y＝kt，
30k＝60，得k＝2，
即日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，
20a＝30，得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•鄞州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+b与双曲线y2=kx（k＞0）相交于点A，B两点，已知点A坐标（1，2）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求点B的坐标，并观察图象，写出当y1＜y2时，x的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）通过解方程组y=x+1y=2x求得B点的坐标，然后写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】（1）直线y1＝x+b与双曲线y2=kx（k＞0）相交于点A（1，2），
∴2＝1+b，2=k1，
∴b＝1，k＝2，
∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y=2x，y＝x+1；
（2）解方程组y=x+1y=2x得x=1y=2或x=-2y=-1，则B（﹣2，﹣1），
由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜1时，y1＜y2．
20．（2021春•邗江区期末）我们已经学习过反比例函数y=1x的图象和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数y=1|x|的图象和性质进行探索，并解决下列问题：
（1）该函数的图象大致是 　D　．

（2）关于此函数，下列说法正确的是 　②③　．（填写序号）
①在各个象限内，y随着x增大而减小；
②图象为轴对称图形；
③函数值始终大于0；
④函数图象是中心对称图形．
（3）写出不等式1|x|-3＞0的解集．
【分析】（1）依据y＞0，当x＞0时，y随着x的增大而减小；当x＜0时，y随着x的增大而增大，即可得到函数图象在第一、二象限；
（2）根据图象判断即可；
（3）先求出式1|x|=3的解，再根据函数的增减性确定自变量x的取值范围．
【解析】（1）∵在函数y=1|x|中，|x|＞0，
∴y＞0，
当x＞0时，y随着x的增大而减小；当x＜0时，y随着x的增大而增大，
∴函数图象在第一、二象限；
故答案为：D；
（2）由函数y=1|x|的图象可知此图象具有以下性质：
函数的图象在一、二象限，当x＞0时，y随x增大而减小；当x＜0时，y随x增大而增大；
函数的图象关于y对称；
故说法正确的是②③，
故答案为②③：
（3）y＝3时，即：1|x|=3，解得：x＝±13，
根据函数的图象和性质得，不等式1|x|-3＞0，即1|x|＞3的解集为：-13＜x＜0或0＜x＜13，
因此：不等式1|x|-3＞0的解集为：-13＜x＜0或0＜x＜13．
21．（2020秋•渝中区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+1（其中a，b是常数，且a≠0），其自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣2
m
﹣2
1
n
…
（1）求这个抛物线的解析式及m、n的值；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个抛物线的图象；
（3）如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是　k≥﹣3　．

【分析】（1）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可；
（2）描点、连线画出抛物线图象即可，
（3）根据图象即可求得．
【解析】（1）把（﹣3，﹣2），（﹣1，﹣2），（0，1）代入y＝ax2+bx+c，得：9a-3b+c=-2a-b+c=-2c=1，
解得：a=1b=4c=1，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x+1，
把x＝﹣2代入得y＝﹣3，
把x＝1代入得y＝6，
∴m＝﹣3，n＝6；
（2）描点、连线画出抛物线图象如图：
．
（3）由图象可知，如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是k≥﹣3．
故答案为k≥﹣3．
22．（2019秋•仓山区校级期中）若已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，
（1）求证：二次函数始终与x轴有2个交点；
（2）若a＞0且b＝2a﹣2，
①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，求a的取值范围；
②当a，n都为正整数时，若在﹣n﹣2≤x≤﹣n﹣1范围内，函数的值有且只有13个整数，求a的值．
【分析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，把（0，0）代入y＝ax2+bx+c，得c＝0，Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求解；
（2）①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，而函数对称轴为x＝﹣1+1a＞-1，则-(a-1)2a≥-a，解得：a≥12；函数不关于y轴对称，则b＝2a﹣2≠0，故a≠1，即可求解；
②△y＝y2﹣y1＝（n+3）＝a（2n+1）+2；则△y有13个整数，即a（2n+1）+2＝12，即可求解．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，
∴b≠0，
把（0，0）代入y＝ax2+bx+c，得c＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴始终有2个交点；
（2）函数对称轴为x＝﹣1+1a＞-1，
抛物线的顶点为：[﹣1+1a，-(a-1)2a]，
①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，而函数对称轴为x＝﹣1+1a＞-1，
则-(a-1)2a≥-a，∴（2a﹣2）2≤4a2，
解得：a≥12；
函数不关于y轴对称，则b＝2a﹣2≠0，故a≠1，
综上，a≥12且a≠1；
②当x＝﹣n﹣2时，y1＝a（n+2）2﹣b（n+2），
当x＝﹣n﹣1时，y2＝a（n+1）2﹣b（n+1）
△y＝y1﹣y2＝a（2n+1）+2；
则△y有13个整数，即a（2n+1）+2＝12，
解得：a＝2．
23．（2020•潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）

【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解析】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：100=60k+b80=70k+b，
解得：k=-2b=220，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
24．（2020秋•江城区期末）商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：
x/元
3
4
5
6
y/张
20
15
12
10
（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；
（2）猜想并确定y关于x的函数解析式，并画出函数图象；
（3）设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
【分析】（1）直接描点即可；
（2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（3）首先要知道纯利润＝（销售单价x﹣2）×日销售数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x．
【解析】（1）对应点如图所示：

（2）根据图象猜测y关于x的函数解析式为y=kx(k≠0)，
∵x＝3时，y＝20，
∴k3=20，解得k＝60，
∴y=60x，
∵把实数对（4，15），（5，12），（6，10）代入y=60x都符合，
∴y关于x的解析式为y=60x(x＞0)，
其图象是第一象限内的双曲线的一支，如图2所示．

（3）W=(x-2)⋅60x=60-120x，
∵x≤10，
∴当x＝10时，W有最大值，最大日销售利润为60﹣12＝48（元）
∴当日销售单价定为10元时，才能获得最大日销售利润．
25．（2021•江西模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移1个单位长度，得到点B．直线y=34x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点A与点D关于x轴对称，
①求点B的坐标；
②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）抛物线的对称轴为：x=-b2a=--2a2a=1；
（2）①点C的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，3），即可求解；②分a＞0、a＜0两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）抛物线的对称轴为：x=-b2a=--2a2a=1；

（2）①∵直线y=34x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．
∴点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，﹣3）．
∵抛物线与y轴的交点A与点D关于x轴对称，
∴点A的坐标为（0，3）．
∵将点A向右平移1个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为（1，3）；

②抛物线顶点为P（1，3﹣a）．
（ⅰ）当a＞0时，如图1．

令x＝4，得y＝16a﹣8a+3＝8a+3＞0，
即点C（4，0）总在抛物线上的点E（4，8a+3）的下方．
∵yP＜yB，
∴点B（1，3）总在抛物线顶点P的上方，
结合函数图象，可知当a＞0时，抛物线与线段CB恰有一个公共点．

（ⅱ）当a＜0时，如图2．

当抛物线过点C（4，0）时，
16a﹣8a+3＝0，解得a=-38．
结合函数图象，可得a≤-38．
综上所述，a的取值范围是：a≤-38或a＞0
26．（2020•泰安二模）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y＝0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp﹣yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．
【解析】（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，
∴A（﹣1，0）B（3，0），
将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1；

（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），
E（x，x2﹣2x﹣3），
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x-12）2+94，
∴当x=12时，PE的最大值=94，
则△ACE的面积的最大值是：12×【2﹣（﹣1）】×94=278；

（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+7，0），F4（4-7，0），

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；

②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+7，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+4+7，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+7，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4-7，0）．
总之，符合条件的F点共有4个．