初中数学沪科版九年级上册第22章 相似形综合与测试单元测试课堂检测

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题22.7第22章相似形单元测试（能力过关卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•武安市期末）观察下列图形中，是相似图形的一组是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．

【解析】．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；

．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；

．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；

．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；

故选：．

2．（2020秋•香坊区期末）在一幅比例尺是的地图上，量得上海到杭州的距离是．那么上海到杭州的实际距离是　　

A． B． C． D．

【分析】要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值计算即可求解．

【解析】

（厘米），

17000000厘米千米．

答：上海到杭州的实际距离是170千米．

故选：．

3．（2021春•泰山区期末）下面四组线段中，成比例的是　　

A．，，， B．，，， 

C．，，， D．，，，

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．

【解析】、，故选项不符合题意；

、，故选项符合题意；

、，故选项不符合题意；

、，故选项不符合题意．

故选：．

4．（2020秋•莲湖区期末）如图，在中，，且，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可．

【解析】，

，

故选：．

5．（2020秋•连山区期末）如图，在中，，，若的周长为，则的周长是　　

A． B． C． D．

【分析】由可得出，根据相似三角形的性质结合，即可求出与的周长之比，即可求解．

【解析】，

，

，

，

故选：．

6．（2020秋•天长市期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么较短线段的长度为　　

A． B． C． D．

【分析】先利用黄金分割的定义计算出的长，再由即可．

【解析】为的黄金分割点，，

，

，

故选：．

7．（2021•金台区一模）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果．

【解析】四边形为平行四边形，

，

，

，

，

，

，

，

．

故选：．

8．（2020秋•静安区期末）在中，点、分别在边、的延长线上，下列比例式中能判定的为　　

A． B． C． D．

【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．

【解析】如图：

、当时，不能判定，不符合题意；

、当时，不能判定，不符合题意；

、当，能判定，符合题意；

、当时，能判定，而当时，不能判定，不符合题意；

故选：．

9．（2020秋•青浦区期末）如图，在中，点在边上，，，联结，与相交于点，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．

【解析】，

，

，

故，选项不符合题意，

，

，

又，

四边形为平行四边形，

，

．

故选项正确，

，

，

，

故选项不符合题意．

故选：．

10．（2020秋•长宁区期末）如图，已知在中，点、点是边上的两点，联结、，且，如果，那么下列等式错误的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据相似三角形的性质，由得到，则可对选项进行判断；由得到，，则证明，利用相似三角形的性质得，则可对选项进行判断；证明得到，加上，则可对选项进行判断；利用得到，由于，，则可对选项进行判断．

【解析】，

，

，所以选项的结论正确；

，

，，

，

，，

，

，

，

，

即，所以选项的结论正确；

，，

，

，

即，

，

，所以选项的结论正确；

，

，

，

，，

，所以选项的结论不正确．

故选：．

二．填空题（共8小题）

11．（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形的最大内角的度数为　　．

【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．

【解析】一个三角形的两个角分别为、，

第三个角，即最大角为，

两个三角形相似，

另一个三角形的最大内角度数为，

故答案为：．

12．（2020秋•瑞安市期末）若线段，，则线段，的比例中项为　6　．

【分析】由四条线段、、、成比例，根据成比例线段的定义解答即可．

【解析】设线段，的比例中项为，

，

，．

，

解得：．

故答案为：6．

13．（2021•长葛市一模）一把剪刀如图所示，，，当手握的地方张开时，剪刀的尖端，两点的距离为　6　．

【分析】首先利用对应边的比相等且夹角相等求得，然后利用相似三角形对应边的比相等求得线段的长即可．

【解析】，，

，，

，

又，

，

，

，

解得：，

故答案为：6．

14．（2020•余杭区模拟）如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，两直线，相交于点．若，，则　　．

【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．

【解析】，，

，

，，，

，

故答案为．

15．（2020秋•清江浦区期末）如图，在平行四边形中，是上一点，，与相交于，则　9　．

【分析】由平行四边形的性质可得，，由可判定；由及可得出；由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案．

【解析】四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

，

，

．

故答案为：9．

16．（2021•嘉定区三模）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？

如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点直行8里有一塔（点，自西门（点直行2里至点，切城角（点也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是　8　里．

【分析】设这座方城每面城墙的长为里，根据题意得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解析】设这座方城每面城墙的长为里，

由题意得，，，，里，里，

，

，

，

，

，

答：这座方城每面城墙的长为8里，

故答案为：8．

17．（2021•崇明区二模）如图，在矩形中，，，点为射线上的一个动点，过点的直线垂直于与直线相交于点，当时，　　．

【分析】通过证明，可得，即可求解．

【解析】如图，

，，

，

，

，

，

，

又，

，

，

，

，

故答案为：．

18．（2020秋•江都区期末）如图，在矩形中，，，点是上的动点（不与端点重合），在矩形内找点，使得，且满足，则线段的最小值是　2　．

【分析】连接，，证明，由相似三角形的性质得出，则点在以为直径的圆上，当，，三点共线时，最小，由勾股定理求出的长，则可得出答案．

【解析】连接，，

，

，

又，

，

，

点在以为直径的圆上，

当，，三点共线时，最小，

矩形中，，，

，

，

的最小值为．

故答案为：2．

三．解答题（共8小题）

19．（2020秋•蚌埠期中）已知线段是，的比例中项，，，求的长．

【分析】根据比例中项的概念得到，即可求得线段的值．

【解析】线段是，的比例中项，

，

，

，

，，

．

20．（2020•江西模拟）（1）化简：；

（2）如图，，直线，与，，分别相交于点，，和点，，．若，，，求的长．

【分析】（1）先通分化为同分母分式，根据同分母分式减法法则计算；

（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．

【解析】（1）原式

；

（2），

，即，

解得．

21．（2020春•文登区期中）如图，已知，，，，．

（1）求的长；

（2）求的长．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．

【解析】（1），

，即，

解得，，

则；

（2），

，即，

解得，．

22．（2020•雁塔区校级二模）如图，是的边的中点，，，与相交于，求证：是的中点．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，即可证明结论．

【解答】证明：是的边的中点，

，

，

，

，

，

，

，即是的中点．

23．（2019秋•黄浦区校级月考）如图，点、是的边上的两点，满足，联结，过点作，交边于，联结．

（1）求证：；

（2）的面积为3，的面积为2，求的面积．

【分析】（1）由得出，由平行线分线段成比例定理得出，得出，即可得出；

（2）由平行线得出，由三角形面积关系得出，由相似三角形的性质得出，即可得出答案．

【解答】（1）证明：，

，

，

，

，

；

（2）解：，的面积为3，的面积为2，

，，

，

即，

解得：的面积．

24．（2021春•宁阳县期末）如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，分别交、于点、，联结．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）求证：．

【分析】（1）先证明及，进而推出，可得出四边形是菱形．

（2）根据条件证得即可证明结论．

【解析】（1）证明：

平分，

．

，，

．

．

同理可得．

，．

，

．

．

．

．

四边形是菱形．

（2）证明：由（1）得，

．

四边形是菱形，

．

．

．

，

．

，

即．

25．（2021•奉贤区三模）已知：如图，在中，，垂足为点，，点为边上一点，且，联结并延长，交边于点．

（1）求证：；

（2）过点作的平行线交的延长线于点，联结．如果，求证：四边形是矩形．

【分析】（1）先证明和全等得出，再证，即可得证；

（2）先证四边形是平行四边形，再证一个角是直角即可得证．

【解答】（1）证明：，

，

在和中，

，

，

，

又，

，

，

即；

（2）证明：，

，

由（1）知，

，

又，

，

，

，

，，

，

，

又，

四边形是平行四边形，

，

四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

26．（2021•松江区二模）如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，分别交、于点、，联结．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）求证：；

（3）若，，联结，求的值．

【分析】（1）由题目条件可证得，及，进而可推出，可得出四边形是菱形．

（2）根据条件，得出即可证明结论．

（3）由条件可得，，由相似比可得，由，得到点是的黄金分割点，可得出，即可得出结论．

【解析】（1）证明：如图，

平分，

，

，，

，

，

同理可得，

，，

，

，

，

，

，

四边形是菱形．

（2）证明：由（1）得，

，

四边形是菱形，

，

，

，

，

，

，即．

（3）由（2）得，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，，

，

点是的黄金分割点，

，

，

，

，

，

．