初中数学沪科版九年级上册第22章 相似形综合与测试单元测试同步训练题

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

       专题22.8第22章相似形单元测试（培优提升卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•桐城市期末）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】设，，，再代入求出答案即可．

【解析】设，，，

则，

故选：．

2．（2020秋•望江县期末）如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．

【解析】，

，

．

故选：．

3．（2020秋•沈河区期末）如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据相似三角形的性质判断即可．

【解析】，，

，正确；

，错误；

，错误；

，错误；

故选：．

4．（2021•西城区二模）若相似三角形的相似比为，则面积比为　　

A． B． C． D．

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．

【解析】两个相似三角形的相似比为，相似三角形面积的比等于相似比的平方是．

故选：．

5．（2020秋•杨浦区期末）在梯形中，，对角线与相交于点，下列说法中，错误的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】如图，利用三角形面积公式得到，则，于是可对选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理得到，再利用三角形面积公式得到，于是可对选项进行判断；证明，利用相似三角形的性质可对选项进行判断；利用两平行线的距离的定义得到点到的距离等于点到的距离，然后根据三角形面积公式可对选项进行判断．

【解析】如图，

，

，

即，

，所以选项的结论正确；

，

，

，

；所以选项的结论正确；

，

，

，所以选项的结论错误；

，

点到的距离等于点到的距离，

，所以选项的结论正确；

故选：．

6．（2020秋•长宁区期末）下列命题中，说法正确的是　　

A．四条边对应成比例的两个四边形相似 

B．四个内角对应相等的两个四边形相似 

C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 

D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似

【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．

【解析】、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；

、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；

、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；

、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；

故选：．

7．（2021春•沂源县期末）如图，点、、、、、、、、都是方格纸中的格点，如果与相似（点和对应，点和对应），那么点应是、、、四点中的　　

A． B． C． D．

【分析】由图形可知的边，，当时，和是对应边，相似比是，则的对应边是3，则点的对应点是．

【解析】根据题意，

，，，

，

，

应是，

故选：．

8．（2020秋•温州期末）如图，是一块矩形场地，宽米，长米．若在其对角线，的延长线上取点，，，，扩建为新的矩形场地，左、右各增加了0.6米，上、下各增加了米，则的值为　　

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

【分析】根据矩形和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．

【解析】由题意得，，，

，，

，，

，

左、右各增加了0.6米，上、下各增加了米，米，米．

，，

，

解得：，

故选：．

9．（2021•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知与是位似图形，原点是位似中心，位似比，若，则的长为　　

A．5 B．6 C．9 D．12

【分析】根据位似图形的概念得到，进而得到与，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．

【解析】与是位似图形，

，

，

，即，

解得，，

故选：．

10．（2021•东莞市模拟）如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点，连接、、，且与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据菱形的判定、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．

【解析】如图，四边形是平行四边形，

，，

垂直平分，

，，

，

，

，，

，，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形，故①正确；

，，

，

，故②正确；

，

，

，

故③错误．

设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积，

四边形的面积为，的面积为，

．故④正确，

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•郓城县期中）下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的是　②③④　．（填写序号）

【分析】根据相似图形的定义一一判断即可．

【解析】①两个等腰三角形相似，错误．

②两个等边三角形相似，正确．

③两个等腰直角三角形相似，正确．

④两个正方形相似，正确．

⑤两个等腰梯形相似，错误．

故答案为：②③④．

12．（2020秋•龙岗区期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则　　．

【分析】根据位似变换的概念得到，进而证明，根据相似三角形的性质解答即可．

【解析】四边形与四边形位似，

，

，

，

四边形与四边形的位似比为，

，

故答案为：．

13．（2019秋•槐荫区期中）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边．，测得边离地面的高度，，求树高是　9　．

【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．

【解析】

，

，，，，

，

米，

米．

故答案为：9．

14．（2020秋•阳山县期末）已知，是边上的一点，连接，请你添加一个条件，使，这个条件可以是　，或或　．（写出一个即可）

【分析】根据相似三角形的判定方法解决问题即可．

【解析】，

当，或或时，，

故答案为：，或或．

15．（2021春•东平县期末）在中，，，点在边上，且，点在边上．当　1或4　时，与原三角形相似．

【分析】分别从或去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

【解析】由题意可知，，，，

①若，

则

即，

解得：；

②若，

则，

即，

解得：；

故或4．

故答案为：1或4．

16．（2020秋•包河区期中）如图，正方形内接于，已知，，的面积分别为，，，那么正方形的边长　2　．

【分析】在上取一点，使得，连接，利用正方形的性质得出条件，判定，再利用有两个角分别相等的三角形相似判定，然后利用相似三角形的性质得出的值，则可求得正方形的面积，最后求得其算术平方根即可．

【解析】在上取一点，使得，连接，如图：

四边形为正方形，

，，

，

．

在和中，

，

，

．，

正方形中，

，，

，

，

，

．

又，

，

．

．

正方形的边长为2．

故答案为：2．

17．（2021•抚顺模拟）如图，在中，点，在边上，且．点，在边上，且，延长交的延长线于点，则的值　　．

【分析】首先证明，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题．

【解析】，，

，

在与中，

，

，

，

，

，

，

故答案为．

18．（2018秋•惠山区校级月考）在矩形中，、，点、分别为边、上的两个动点，从点出发以每秒的速度向运动，从点出发以每秒的速度向运动，设运动时间为秒．若，则的值　　．

【分析】根据题意知、，证出，且，证得，结合、得，即可知，从而得，解之可得的值，继而根据且取舍可得答案．

【解析】如图，

四边形是矩形，

，，

根据题意知，，，

，，

，，

，

又，

，

，

，

，

，

，

，

，即，

，，

，，即，

，

解得：或，

且，

，

，

故答案为：

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•凤翔县期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）画出关于轴对称的△；

（2）在网格内画出以点为位似中心的位似图形△．与△的位似比为，并写出，，的坐标．

【分析】（1）根据轴对称性质即可画出关于轴对称的△；

（2）根据位似图形的性质即可画出以点为位似中心的位似图形△，与△的位似比为，根据网格特点写出，，的坐标．

【解析】（1）如图，△即为所求；

（2）如图，△即为所求；

，，．

20．（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物上有一根旗杆，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小芳沿后退，发现地面上的点、树顶、旗杆顶端恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点、树顶、建筑物顶端恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，、均垂直于，请你帮助小芳求出这座建筑物的高．

【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，进而解答即可．

【解析】由题意可得，，，

，

，

即，

，

由题意可得，，，

，

，

即，

，

，

（米，

这座建筑物的高为14米．

21．（2019秋•漳州期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约 1 500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注丈尺，1尺寸）

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．

【解析】设竹竿的长度为尺，

竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，

，

解得（尺，

答：竹竿的长度为45尺．

22．（2020秋•台儿庄区期中）如图，在矩形中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．

（1）如图1，若，则与之间的数量关系是　　；

（2）如图2，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明．（用含的式子表示）

【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出；

（2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．

【解析】（1）．

，四边形矩形，

四边形是正方形，

，

，

，

，

在和中，

，

，

；

故答案为：；

（2）．

证明：四边形是矩形，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

，

，

，

，

，

．

23．（2020秋•兴庆区校级期中）如图，在中，，，，现有两个动点、分别从点和点同时出发，其中点以的速度沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为秒．

（1）含的代数式表示、的长度；

（2）为何值时，为等腰三角形？当和相似时，求此时的值．

【分析】（1）首先运用勾股定理求出边的长度，然后根据路程速度时间，分别表示出、的长度．

（2）由于，如果为等腰三角形，那么只有一种情况，即，由（1）的结果，可列出方程，从而求出的值．分两种情形，构建方程求出相似时，的值即可．

【解析】（1），，，

．

由运动可知：，，

．

（2）由题意，得

，

．

当时，为等腰三角形．

当时，两三角形相似，此时，解得，

当时，两三角形相似，此时，解得，

综上所述，满足条件的的值为或．

24．（2020•徐州模拟）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接．

（1）若与相似，求的值；

（2）连接、，若，求的值．

【分析】（1）分两种情况：①当时，；当时，，再根据，，，，代入计算即可；

（2）过作于点，，交于点，则有，，，根据，得出，代入计算即可．

【解析】根据勾股定理得：；

（1）分两种情况讨论：

①当时，，

，，，，

，解得，，

②当时，，

，解得，；

或时，；

（2）过作于点，，交于点，如图所示：

则，，，

，，

，

，

，

，

，解得．

25．（2021•江岸区校级自主招生）已知在菱形中，，点为射线上的一个动点，与边交于点．

（1）如图1，连接对角线交于点，连接，若，试求的度数；

（2）如图2，点为上一点，且，若菱形的边长为2，则当时，求的面积；

（3）如图3，当点在射线上运动时，试求的最小值．

【分析】（1）如图1，证明，得，再证明，根据相似三角形的性质可得；

（2）如图2，过点作于，交于，根据直角三角形角的性质得：，根据勾股定理计算和的长，证明，列比例式可得和的长，证明，得的长，根据三角形的面积公式可得结论；

（3）如图3，过点作于，过点作于，设菱形的边长为，，分别计算和，变形后可得当时，有最小值．

【解析】（1）如图1，，

，

四边形是菱形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

四边形是菱形，

，

；

（2）如图2，过点作于，交于，

，

，

中，，

，

，

，，

中，，

，，

，

，即，

，

，

，

，

，

，

，

；

（3）如图3，过点作于，过点作于，

设菱形的边长为，，

在中，，

，

，，

，

在中，

，

在中，，，

，

，，

，

，

中，

，

，

当时，即时，有最小值，

则此时，

．

26．（2021•南山区二模）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：

如图①，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；

【结论应用】（2）如图②，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；

【拓展运用】（3）如图③，将矩形沿折叠．使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求的长．

【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．

（2）利用探究的结论解决问题即可．

（3）如图③中，过点作于，过点作于．利用探究的结论求出，利用勾股定理求出，设，在中，根据，求出，，证明，推出，求出，即可解决问题．

【解析】（1）：如图①，过点作，交于，过点作，交于，交于．

四边形是矩形，

，．

四边形、四边形都是平行四边形，

，．

又，

，

．

四边形是矩形，

，，

，

，

，

，

．

（2）如图②中，连接．

四边形是矩形，

，，

，

，关于对称，

，

，

，

．

（3）如图③中，过点作于，过点作于．

四边形是矩形，

，，，

，

，

，

由翻折可知：，设，

在中，，

，

，

，

，

，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

在中，．