沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用综合训练题

这是一份沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用综合训练题，文件包含专题214确定二次函数的表达式解析版docx、专题214确定二次函数的表达式原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题21.4确定二次函数的表达式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•利川市期中）若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（　　）
A．y＝4（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y=-225（x﹣2）2+3
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，把点（3，1）代入得出1＝a（3﹣2）2+3，求出a即可．
【解析】∵抛物线的顶点为（2，3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
∵经过点（3，1），
∴代入得：1＝a（3﹣2）2+3，
解得：a＝﹣2，
即y＝﹣2（x﹣2）2+3．
故选：B．
2．（2020秋•顺义区期末）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　）

A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
【分析】根据图象得出二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，再求出a即可．
【解析】从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
3．（2019秋•襄汾县期末）已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．
【解析】根据题意，得4c-(-8)24×1=0，
解得c＝16．
故选：D．
4．（2020秋•庐阳区校级月考）已知抛物线与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，2020），它对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣5（x﹣1） 2+2020 B．y＝5（x﹣1） 2+2020
C．y＝5（x+1） 2+2020 D．y＝﹣5（x+1）2+2020
【分析】先设顶点式y＝a（x+1）2+2020，然后根据二次函数的性质确定a的值．
【解析】∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2020），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2020，
∵抛物线y＝a（x+1）2+2020与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，
∴a＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2020．
故选：D．
5．（2020秋•雄县期中）已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（　　）
A．y＝2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+1）2 C．y＝2（x﹣1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，然后对各选项进行判断．
【解析】∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝2（x﹣1）2满足条件．
故选：C．
6．（2019秋•蔡甸区期中）当k取任意实数时，抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2x+1 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
【分析】根据抛物线的顶点式，写出抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点坐标，则x＝k+1，y＝k2+2，消去k得到y与x的关系式即可．
【解析】∵抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点是（k+1，k2+2），
即当x＝k+1时，y＝k2+2，
∴k＝x﹣1，
把k＝x﹣1代入y＝k2+2得y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，
所以（k，﹣3k2）在抛物线y＝x2﹣2x+3上．
故选：C．
7．（2018•宁晋县模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝3，则可判断H（3，1）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y＝a（x﹣3）2+1，然后把E点或F点或G点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式．
【解析】∵F（2，2），G（4，2），
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴H（3，1）点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1，
把E（0，10）代入得9a+1＝10，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1．
故选：C．
8．（2020•杭州模拟）如图，已知二次函数的图象，则它的表达式可能是（　　）

A．y＝ax2+bx﹣（a﹣b） B．y＝（x+a）（x﹣a+1）
C．y＝（x﹣m）2+m2+1 D．y＝x2+（a+2）x+12a
【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．
【解析】A、y＝ax2+bx﹣（a﹣b）＝（ax﹣a+b）（x+1），），令（ax﹣a+b）（x+1）＝0得x1=a-ba，x2＝﹣1，即图象与x轴一个交点横坐标应等于﹣1，故A不符合题意；
B、令y＝0得x1＝﹣a，x2＝a﹣1，若﹣1＜﹣a＜0，则0＜a＜1，可得﹣1＜a﹣1＜0，同理若﹣1＜a﹣1＜0，则可得﹣1＜﹣a＜0，即抛物线与x轴两个交点横坐标都在﹣1到0之间，故B不符合题意；
C、抛物线y＝（x﹣m）2+m2+1顶点为（m，m2+1），而m2+1＞0，顶点在x轴上方，故C不符合题意；
D、图象可能为y＝x2+（a+2）x+12a，故D符合题意．
故选：D．
9．（2018秋•青县期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（　　）

A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
【分析】由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1设解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入求出a、k的值即可得．
【解析】由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：4a+k=0a+k=3，
解得：a=-1k=4，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
10．（2020•岳麓区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）-k24，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x2﹣2x C．y＝x2﹣2x+1 D．y＝2x2﹣4x+2
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）-k24有且只有一个公共点，也就是说方程ax2+bx+c＝k（x﹣1）-14k2只有一个解，即△＝0．
【解析】联立方程组y=ax2+bx+cy=k(x-1)-k24，
∴ax2+bx+c＝k（x﹣1）-14k2，
整理得，ax2+（b﹣k）x+c+k+14k2＝0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△＝（b﹣k）2﹣4a（c+k+14k2）＝（1﹣a）k2﹣2k（2a+b）+b2﹣4ac＝0，
可得1﹣a＝0，2a+b＝0，b2﹣4ac＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x+1，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•西城区期末）若抛物线y＝ax2（a≠0）经过A（1，3），则该抛物线的解析式为　y＝3x2　．
【分析】把把A（1，3）代入y＝ax2（a≠0）中，可得a＝3，即可得出答案．
【解析】把A（1，3）代入y＝ax2（a≠0）中，
得3＝a×12，
解得a＝3，
所以该抛物线的解析式为y＝3x2．
故答案为：y＝3x2．
12．（2020秋•舒城县期末）写出一个经过原点且开口向下的抛物线的解析式　y＝﹣x2　．
【分析】设a＝﹣1，顶点为原点，然后根据顶点式可写出此抛物线解析式．
【解析】开口向下且经过原点的抛物线解析式可为y＝﹣x2．
故答案为y＝﹣x2．
13．（2020秋•和林格尔县校级月考）已知一抛物线的形状与抛物线y=-12x2相同，顶点在（1，﹣2），则抛物线的解析式为　y=12（x﹣1）2﹣2或y=-12（x﹣1）2﹣2　．
【分析】首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题．
【解析】∵抛物线的形状与抛物线y=-12x2相同，
∴a＝±12，
∵顶点为（1，﹣2），
∴抛物线解析式为y=12（x﹣1）2﹣2或y=-12（x﹣1）2﹣2．
故答案为y=12（x﹣1）2﹣2或y=-12（x﹣1）2﹣2．
14．（2020秋•宝山区期末）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：　y＝﹣x2（答案不唯一）　．
【分析】根据条件（1）知c＝0，根据特征（2）确定对称轴为y轴，图象开口向下，取a为负数，b＝0．
【解析】设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵经过原点，
∴c＝0，
∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，
∴a＜0，-b2a=0，
即：b＝0，
只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，
所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．
故答案为：y＝﹣x2．
15．（2019秋•莱西市期中）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y=12x2的图象相同的抛物线的表达式是　y=-12（x+6）2　．
【分析】设抛物线的顶点式，y＝a（x﹣h）2+k，确定h、k、a的值即可．
【解析】设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点为（﹣6，0），
∴h＝﹣6，k＝0，
又∵开口向下，形状与函数y=12x2的图象相同，
∴a=-12，
∴抛物线的关系式为：y=-12（x+6）2，
16．（2020秋•浦北县校级月考）若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为　y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2　．
【分析】利用顶点式求解即可．
【解析】图象顶点坐标为（0，﹣2），
可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，
又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝3，
∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，
故答案为：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．
17．（2021•萧山区模拟）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
0
1
3
4
8
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
﹣5
0
40
…
则二次函数的解析式为　y＝x2﹣2x﹣8　．
【分析】从表格中选三组数代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可．
【解析】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（﹣2，0）、（0，﹣8）、（4，0）代入得：
0=4a-2b+c-8=c0=16a+4b+c，解得a=1b=-2c=-8，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；
故答案为：y＝x2﹣2x﹣8．
18．（2020•西城区校级模拟）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式　y＝（x﹣1）2　．
【分析】利用二次函数的性质可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，二次项系数为1，然后利用顶点式写出满足条件一个二次函数表达式．
【解析】∵函数图象的顶点在x轴上，当x＜1时，y随x的增大而减小；
∴可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，
∵该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同，
∴二次项系数为1，
∴满足条件二次函数表达式可为y＝（x﹣1）2．
故答案为y＝（x﹣1）2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•越城区期末）已知二次函数图象的顶点是（﹣1，2），且过点（0，32）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）判断该二次函数的图象是否经过点（﹣2，4），并解释你的判断．
【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，再把（0，32）代入求出a的值，写出二次函数的表达式即可；
（2）把点（﹣2，4），代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上．
【解析】（1）设二次函数解析式为：y＝a（x+1）2+2，
把点(0，32)代入，得：a（0+1）2+2=32，
∴a=-12，
∴函数解析式为：y=-12（x+1）2+2=-12x2﹣x+32；
y=-12(x+1)2+2(y=-12x2-x+32)．
（2）二次函数的图象不经过点（﹣2，4），理由如下：
∵当x＝﹣2时，y=-12(x+1)2+2=32≠4，
∴图象不经过点（﹣2，4）．
20．（2021•宁波模拟）已知抛物线y＝ax2+2ax+5﹣a2经过点（﹣3，﹣5）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标．
（2）设点A（m，y1），B（1，y2）在抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+2ax+5﹣a2经过点（﹣3，﹣5），可以计算出a的值，然后即可写出相应的抛物线表达式及顶点坐标；
（2）根据（1）中的结果，利用二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+5﹣a2经过点（﹣3，﹣5），
∴﹣5＝9a﹣6a+5﹣a2，
解得a1＝﹣2，a2＝5，
当a＝﹣2时，该抛物线的表达式是y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3），
当a＝5时，该抛物线的表达式是y＝5x2+10x﹣20＝5（x+1）2﹣25，顶点坐标为（﹣1，﹣25），
由上可得，当a＝﹣2时，该抛物线的表达式是y＝﹣2x2﹣4x+1，顶点坐标为（﹣1，3）；
当a＝5时，该抛物线的表达式是y＝5x2+10x﹣20，顶点坐标为（﹣1，﹣25）；
（2）∵点A（m，y1），B（1，y2）在抛物线上，y1＞y2，
∴当a＝﹣2时，抛物线的表达式是y＝﹣2x2﹣4x+1，顶点坐标为（﹣1，3），则﹣3＜m＜1；
当a＝5时，该抛物线的表达式是y＝5x2+10x﹣20，顶点坐标为（﹣1，﹣25），则m＞1或m＜﹣3．
21．（2021•海淀区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为　直线x＝﹣1　；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；
（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值；
（3）根据点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），进而可得m的取值范围．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
解得a＝﹣1或a=43，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1或y=43x2+83x+43；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），
①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
22．（2020•西湖区一模）已知，点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上．
（1）观察y1，y2图象的顶点位置，发现它们均在某个函数图象上，请写出这个函数表达式．
（2）若k＝3，当﹣3＜x＜3时，请比较y1，y2的大小．
（3）求证：m+n＞34．
【分析】（1）由顶点坐标可得出答案；
（2）当k＝3时，求出y1与y2的交点，则分﹣3＜x＜12，x=12和12＜x＜3三种情况得出答案；
（3）求出m=12，n=14+k2，则可得出答案．
【解析】（1）∵函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0），y2＝（x+k）2﹣k，
∴函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象的顶点坐标为（k，k），函数y2＝（x+k）2﹣k图象的顶点坐标为（﹣k，﹣k），
∴它们均在函数y＝x的图象上；
（2）当k＝3时，y1＝（x﹣3）2+3，y2＝（x+3）2﹣3，
令y1＝y2，
∴（x﹣3）2+3＝（x+3）2﹣3，
解得x=12，
∴它们图象的交点的横坐标为12，
∵a＝1＞0，两图象开口向上，
∴当﹣3＜x＜12时，y1＞y2，
当x=12时，y1＝y2，
当12＜x＜3时，y1＜y2．
（3）证明：∵点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上，
∴n=(m-k)2+kn=(m+k)2-k，
解得：m=12n=14+k2，
∵k2＞0，
∴m+n=12+14+k2=34+k2＞34．
23．（2020•余姚市模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝﹣1时，求n的值；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①把x＝﹣1代入（1）中求得的解析式求得函数y的值，即可求得n的值；
②把y＝1代入抛物线解析式求得对应的x的值，然后根据图象即可求得m的取值范围．
【解析】（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
∴-9+3b+c=1c=4，解得b=2c=4，
∴该二次函数为y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点为（1，5）；
（2）∵点C（m，n）在该二次函数图象上，
①当m＝﹣1时，则C（﹣1，n），
把C（﹣1，n）代入y＝﹣x2+2x+4得，n＝1；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，
∵抛物线的顶点为（1，5），
把y＝1代入y＝﹣x2+2x+4得1＝﹣x2+2x+4，解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴m的取值范围是﹣1≤m≤1．
24．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝　1　；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由对称轴是直线x=-b2a，可求解；
（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）利用函数图象的性质可求解．
【解析】（1）由题意可得：对称轴是直线x=--2a2a=1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝4．
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；
当a＜0时，同理可得
y有最大值为﹣a； y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝4，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；
（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．