湖南省长沙市一中名校联考联合体2022-2023学年高三数学11月联考试卷（Word版附答案）

名校联考联合体2022年秋季高三11月联考

数学

时量：120分钟  满分：150分

得分______

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A. B. C. D.

2.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

3.已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

4.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，若球与圆柱的体积之比为，则抛物线的准线方程为（    ）

A. B. C. D.

5.已知，则（    ）

A. B. C. D.2

6.已知，设，则（    ）

A. B.0 C.1 D.2

7.已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为，又双曲线与直线交于，两点，点为右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，曲线的左、右焦点分别为，.若，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.双曲线的渐近线方程为

C.若，则的面积为1

D.双曲线的离心率为

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（    ）

A.999 B.749 C.499 D.249

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ）

A.在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人

B.图中的值为0.020

C.估计全校学生成绩的中位数约为86.7

D.估计全校学生成绩的80%分位数为95

10.已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A.的图象关于点对称

B.在上的值域为

C.若，则，

D.将的图象向右平移个单位长度得的图象

11.已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A.函数在上不具有单调性

B.不是周期函数

C.函数为偶函数

D.当时，函数的最小值是0

12.如图，在直角梯形中，，，，将沿翻折，得到大小为的二面角，，分别是，的中点.则（    ）

A.

B.异面直线与所成角的正弦值为

C.二面角的大小为

D.三棱锥的表面积为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.如图，四边形是边长为8的正方形，若，且为的中点，则______.

14.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则______.

15.设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，直线与相交于点.若，且的面积为，则直线的斜率______，抛物线的方程为______.

16.已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是______.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）已知内角，，的对边分别为，，，若

（1）求；

（2）若，且的面积为，求的周长.

18.（12分）已知等差数列的前项和为，公差不等于零，，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证（且）

19.（12分）如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点，作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点.

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.

20.（12分）2022年卡塔尔世界杯将于当地时间11月20日开赛，某国家队为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：

（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？

（2）根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位置，且出场率分别为：0.2，0.5，0.3；在甲出任前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7，则：

①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；

②当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当中场的概率；

③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？

附表及公式：

.

21.（12分）已知函数，

（1）求和的极值；

（2）证明：

22.（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，.，是该椭圆的下顶点和右顶点，且，若该椭圆的离心率为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过点的直线：交椭圆于，两点（点在点下方），过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，求证：为定值.

名校联考联合体2022年秋季高三11月联考

数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）

1.D【解析】因为，所以，虛部为.故选D.

2.A【解析】因为，，所以.故选A.

3.C|【解析】因为，又，所以.故选C.

4.B【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高.则球的体积，圆柱的体积，∴.所以，则其准线方程为，故选B.

5.B【解析】依题意，，，，

故选B.

6.D【解析】因为，所以由组合数的性质得，所以，令，得，即.令，得，所以，故选D.

7.C【解析】因为双曲线：的焦点到渐近线的距离为1，则，所以双曲线方程为：，由可得，

设，，则，即，∴，设

则，，所以，即，

又，，，所以，∴，即，故A错误；

所以双曲线：，，

双曲线的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D错误；

若，则，

所以，的面积为1，故C正确.故选C.

8.A【解析】由，得，又，

所以数列是以4为首项，5为公比的等比数列，则；①

由得，，又，

所以数列是常数列，则，②

由①②联立可得.

因为，所以

即，所以

故

所以，则.故选A.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

9.ACD【解析】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确；

由，得，故B错误；

设中位数为，则，得，故C正确；

低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数为，

则，解得，故D正确.故选ACD.

10.BD【解析】由题得，

令，则，，故A错误；

当时，，.故B正确；

因为的周期，所以若，则，，故C错误；

将的图象向右平移个单位长度得的图象，故D正确.故选BD.

11.CD【解析】对于A，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，A错误；

对于B，定义域是，，因此是函数的一个周期，B错误；

对于C，由得，函数定义域是，关于原点对称，，，∴，所以函数为偶函数，C正确；

对于D，当时，

故在上为减函数，在上为增函数，

∴当时，取得最小值0，D正确.

12.ACD【解析】由题意知，，，，

取的中点，连接，，

因为，，分别为，的中点，

所以，，又，所以，

如图，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

，，，，

所以

所以，故A正确；

由，

设异面直线与所成的角为，

则，，故B错误；

设平面的一个法向量为，

又，

由得

令，得，，则，

又易知平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

则

又易知二面角为锐角，故，，故C正确；

由，，，则为等腰三角形，

所以

又，，在中，由余弦定理得，

，

，

所以

又，，

所以三棱锥的表面积为，故D正确，故选ACD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.20【解析】以为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，

则，，所以.

14.0|（解析]由切点，，则在点处的切线方程为，

即；

由切点，，则在点处的切线方程为，

即

由题知：两条直线是同一条直线，

则：

化简得：.

∴

15.  （任意填对一空得3分）

【解析】如图所示，，，

所以

∵轴，，，∴

所以四边形为平行四边形，

∴，，

∴

解得，

代入可取，∴

解得，∴，

∴

16.【解析】已知，

则，故函数在定义域内为非奇非偶函数，令，

则，则在定义域内为奇函数，

设的最大值为，则最小值为，则的最大值为，最小值为，

则，∴，

.

∴当时，，

∴关于中心对称.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.【解析】（1）

因为，所以

所以，

（2）因为的面积为，所以，

解得，

由余弦定理得，

解得，

所以的周长为.

18.【解析】（1）易得

所以，

所以.

（2）由题意，.

故

又对且时，

∴得证.

19.【解析】（1）由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，

∴底面圆，则，

且，而，

∴平面.

又平面，

∴平面平面

（2）设，如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

又，可得，

∴，，，

所以，，

若是平面的一个法向量，

则

令，则

由于直线与平面所成角的正弦值为，

∴，

解得或

由题知，为与平面的交点，

故点到平面的距离为点到平面的距离的倍，

又平面平面，

所以点到平面的距离就是点到直线的距离，

在中，，，

故点到直线的距离为

则点到平面的距离为

∴点到平面的距离为或

20.【解析】（1）依题意，，，，，

零假设为：球队胜利与甲球员参赛无关，

则观测值

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001.

（2）①设表示“甲球员担当前锋”；表示“甲球员担当中场”；表示“甲球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛”，

有，，，，

则

所以该球队某场比赛输球的概率是0.35.

②由①知，球队输的条件下，甲球员担当中场的概率

③由①知，球队输的条件下，甲球员担当前锋的概率

球队输的条件下，甲球员担当后卫的概率

由②知，

所以，应该多让甲球员担任前锋.

21.【解析】（1）因为，

所以，

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

所以当时，取得极大值，无极小值；

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

当时，有极大值，无极小值.

（2）令

则

令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

又，

所以存在，使得，即

所以时，，，单调递减，

时，，，单调递增，

令，则在上恒成立，

所以在上单调递减，所以，

所以，

所以.

22.【解析】（1）由题可得，，

所以，

因为椭圆的离心率为，所以，

结合椭圆中可知，，.

所以椭圆的标准方程为.

（2）依题意作右图：

设，，直线的方程为，

将点代入得：，

∴直线：.

由于椭圆：，∴，，

联立方程得，

由，得，

，

直线的方程为：，

直线的方程为：

，

运用①

易证得：②

下面证明②：

，

运用①中的韦达定理：

，

即②成立，

∴，即点和的纵坐标之和等于点纵坐标的2倍，

∴点是线段的中点，即

综上，，故为定值.