浙江省嘉兴市第一中学2023届高三数学上学期期中检测试卷（Word版附答案）

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嘉兴一中2022学年第一学期期中考试高三年级数学参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知集合，，2，3，，则　　A． B．， C．，3， D．，2，【解答】解：由集合，，2，3，，，，，，．故选：．2．已知，则　　A． B． C． D．【解答】解：，．故选：．3．设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列为假命题的是　　A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则【解答】解：若，则与平行于的所有直线垂直，又，则，故为真命题；若，过的平面与交于，可得，又，过的平面与交于，可得，则，，，，则，而，可得，则，故为真命题；若，，则或，故为假命题；若，，则，又，则，故为真命题．故选：．4．已知，则“”是“恒成立”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数的值域为，，则当时，不恒成立，要使恒成立，则，故是恒成立的必要不充分条件，故选：．
5．若是圆上任一点，则点到直线距离的值不可能等于　　A．4 B．6 C． D．8【解答】解：因为直线恒过定点点，当直线与 垂直时，点到直线距离最大，等于，又因为圆心坐标为：，半径为1，所以距离最大为，当直线与圆有交点时距离最小为0，所以点到直线距离的范围是：，，故选：．6．已知数列的前项和为，且满足，则　　A． B． C． D．【解答】解：数列的前项和为，且满足，所以，，可得，，可得，，，则．故选：．7．若函数在处取得极值2，则　　A． B． C．0 D．2【解答】解：，，又函数在处取得极值2，则（1），且（1），所以，，．故选：．
8．若，，且，则的最小值为　　A．2 B． C． D．【解答】解：（法一）可变形为，所以，当且仅当即，时取等号，（法二）原式可得，则，当且仅当，即时取“”故选：．二．多选题（共4小题）9．已知平面直角坐标系中四点，，，，为坐标原点，则下列叙述正确的是　　A．                              B．若，则 C．当时，，，三点共线      D．若与的夹角为锐角，则【解答】解：对于，，，，，，故正确；对于，，，，，，解得，故正确；对于，时，，，，，，，与不共线，即，，三点共线，故错误；对于，，，，，，与的夹角为锐角，，，即，，当时，，即，所以且，故错误．故选：．10．直线与抛物线相交于，，，，若，则　　A．直线斜率为定值 B．直线经过定点 C．面积最小值为4 D．【解答】解：可设直线的方程为，，与抛物线联立，可得，则△，，，，因为，所以，解得，则直线恒过定点，且；的面积为，当时，取得最小值4．故选：．11．在棱长为1的正方体中，点是的中点，点，，在底面四边形内（包括边界），平面，点到平面的距离等于它到点的距离，则　　A．点的轨迹的长度为 B．点的轨迹的长度为 C．长度的最小值为 D．长度的最小值为【解答】解：对于，对的中点，连接，，则，， 平面，平面，又平面，平面，，平面平面，又点在底面四边形内（包含边界），平面，点的轨迹为线段，，点的轨迹的长度是，故错误；对于，连接，在底面上，，，解得，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如图，点的轨迹的长度为，故正确；对于，过点作于，交点的轨迹于，此时的长度就是长度的最小值， ‘，，△，，，解得，，长度的最小值为，故正确；对于，点到平面的距离等于它到点的距离，由正方体的特点得点到直线的距离等于点到平面的距离， 点到直线的距离等于它到点的距离，根据抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，以的中点为坐标原点，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 则， 0，，，直线的方程为，直线的方程为，则抛物线的方程为，设直线平行且与抛物线相切的直线的方程为，联立，整理得，△，解得，直线的方程为，则直线与直线的距离为，直线与直线的距离为，故正确．故选：．12．若对任意，不等式恒成立，则实数可能为　　A． B． C． D．【解答】解：，即为，即，设，，即有．由的导数，因为，所以，在上递增，所以，即恒成立．设，则，当时，，递增；当时，，递减，所以在处取得极小值，且为最小值，最小值为．所以，故选：．三．填空题（共4小题）13．函数在区间上的值域是　，　．【解答】解：由于，所以，故，故．即函数的值域为，．故答案为：，．14．已知的展开式中的系数是20，则实数　　．【解答】解：的展开式中系数是，解得：．故答案为：．
15．在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积为 　或　．【解答】解：将四面体放到长方体中，则在长方体的后侧面内，异面直线，所成角为，，或，即为图中或，设中点为，四面体的外接球的球心为，球的半径，则由对称性可知：球心在过且垂直于平面的垂线上，并且，建立如图的空间右手直角坐标系，，，设，1，，，又，0，，，0，，，0，，，或，解得或，或，该四面体外接球的表面积为或．故答案为：或．16．设点，在椭圆上，点，在直线上，则的最小值为 　2　．【解答】解：设，，，，则，当且仅当，时取最小值，即时，，；故的最小值为2，故答案为：2．四．解答题（共6小题）17．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【解答】解：（1），，，，，，，，（2）由正弦定理得，，当且仅当，，，．18．已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前项和．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解答】解：（1），可得，是公差为2的等差数列，；（2）由（1）可得，，． 19．如图，已知正三棱柱中，．是棱上一点．（1）若，求直线与平面所成角的大小；（2）若是中点，求点到平面的距离．【解答】解：（1）在侧面内作，交棱于点．因是正三棱柱，故平面，从而平面．联结，则为所求线面角，另一方面，由且得，故在中，由余弦定理得，，因为平面，而在平面内，所以．于是，故直线与平面所成角的正弦值为．（2）设所求距离为，则．而，故．由题意得，，，故在中，由余弦定理得，从而，因此，，故点到平面的距离． 20．根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量（单位：千吨）与年份的散点图如下：记年份代码为，2，3，4，，，对数据处理后得：60.51.52107617（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个适宜作为关于的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到整数)．参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【解答】解：（1）根据散点图的趋势，可知模型②适宜作为关于的回归方程．（2）8，2，故关于的回归方程为，即关于的回归方程为，2022年对应的年份代码为，≈3，故预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨．
21．已知双曲线，为坐标原点，离心率，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，且，求的最小值．【解答】解：（1）由离心率，点在双曲线上，可得，，，解得，，，可得；（2）由，可得，可设的方程为，的方程为，由解得，，则，将上式中的换为，可得，，所以，可令，则，所以，当即时，的最小值为24． 
22．已知函数．（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）若，则，，则切线的斜率为（1），又，所以曲线在点，（1）处的切线方程是，即；（2），由条件知，是方程的两个根，所以，则，所以．设，分析可知的取值范围是，则，不等式恒成立，等价于恒成立，设，则恒成立，，若，则，所以，在上单调递增，所以（1）恒成立，所以，，符合题意；若，则在上单调递增，在上单调递减，所以当的取值范围是时，（1），不满足恒成立．综上，实数的取值范围是，，．