江苏省常州市教育学会2023届高三数学上学期期中试题（Word版附解析）

常州市教育学会学业水平监测

高三数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合，，则集合（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求解根式不等式以及绝对值不等式得到集合，再求结果即可.

【详解】，或，

，.

故选：B．

2. 在中，“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据解三角形知识依次判断充分性和必要性即可得到结果.

【详解】，充分性成立；，必要性成立；

“”是“”的充要条件.

故选：C.

3. 已知等比数列的公比，且，，则（    ）

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20

【答案】A

【解析】

【分析】根据等比数列通项公式列方程求出公比和首项，再结合通项公式求.

【详解】因为，所以，又，所以，因为，所以，所以，又，所以q＝2，所以，所以

，故选：A．

4. 如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据特殊值的函数值，结合已知函数图象，即可选择.

【详解】由图可知，当或时，函数值都大于零，

对A：当时，，故排除A；

对B：当时，，故排除B；

对C：当时，，，故排除C；

故选：D.

5. 若的展开式中含的项的系数为21，则a＝（    ）

A. －3 B. －2 C. －1 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项式展开式可求得的展开式中含的项的系数，由条件列方程，解方程求.

【详解】解：展开式第r＋1项，

的展开式中含的项的系数为，所以，解方程可得a＝－1，故选：C．

6. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（    ）

附：若，则，．

A 0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可．

【详解】函数没有零点，即二次方程无实根，

，，又没有零点的概率是，

，由正态曲线对称性知，，，，

，，，，

，，

所以，，

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题主要考查正态分布的曲线的性质，二次方程的解等知识点，考查运算求解能力；解本题的方法是根据没有零点得到，再结合正态分布的图象的对称性得到值，然后再利用正态分布函数图象的性质求解即可；解题的关键点是要熟知正态分布函数图象的对称性．

7. 如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当时，，则的值约为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据弧长公式，结合余弦公式、余弦二倍角公式进行求解即可.

【详解】令，则，则，

，，

∴，

故选：D

8. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】观察可得，，故考虑设， ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性比较大小即可.

【详解】记x＝0.2，则，，，

令，其中，则，

令，则，

因为，所以，故在上单调递减，所以当时，，即当时，，所以函数在上单调递减，

所以当时，，所以，所以，

令，其中，则，因为时，，，所以，∴在上单调递增，故，所以，∴，∴，故选：C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知等差数列的公差，且．的前项和记为，若是的最大值，则k的可能值为（    ）

A. 5 B. 6 C. 10 D. 11

【答案】AB

【解析】

【分析】根据已知条件，结合数列的单调性以及的单调性，即可判断和选择.

【详解】，即，又，故数列单调递减，

则，∴，故该数列的前项都为正数，且从第7项开始都为负数，

故是的最大值，则的可能只为或.

故选：AB．

10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（    ）

A. B的最小值为 B.

C.  D. 的取值范围为

【答案】BC

【解析】

【分析】这道题是数列结合三角函数的一道综合题目，由a，b，c成等比数列，则可以求得B的取值范围，进而对选项进行逐一判断.

【详解】因为a，b，c成等比数列，所以，则，

∴，，A错．

对选项B，

，B对．

对于选项C，，C对．

对于选项D，令，则，∴b＝aq，，∴，

∴，D错．

故选：BC

11. 已知函数及其导函数定义域均为，若，对任意实数x都成立，则（    ）

A. 函数是周期函数

B. 函数是偶函数

C. 函数的图象关于中心对称

D. 函数与的图象关于直线对称

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据函数奇偶性与对称性得函数的周期性，再根据导数运算确定导函数的奇偶性与对称性即可判断，由函数对称性可确定函数与的图象的对称轴.

【详解】解：由题为奇函数关于原点对称，由于关于对称，所以

则，故，即，

所以，即是周期为8的周期函数，故A对；

因为，所以，即，即，

即为偶函数，故B对；

因为，∴，即，

∴关于对称，故C对；

函数与函数的图象关于直线对称，故D错．

故选：ABC.

12. 在棱长为1的正方体中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K－三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则（    ）

A. 一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为

B. 一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为

C. 一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率为

D. 一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为

【答案】BCD

【解析】

【分析】由条件求出K－三角形中的直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形，等边三角形的个数，利用古典概型概率公式判断A，B，再求平行的棱对数，及其中距离为棱对数，结合古典概型概率公式判断C，再求垂直的棱对数和异面且垂直的棱对数，利用古典概型概率公式判断D.

【详解】对于A，从8个顶点中的任取3个顶点构成的直角三角形共有个，其中等腰直角三角形有24个，所以一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率，A错．

对于B，从8个顶点中任取3个顶点构成的等腰三角形共有，其中的等边三角形有8个，一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率，B正确．

对于C，相互平行的棱对有对，其中距离为的棱对有6对，一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率，C正确．

对于D，相互垂直的棱对有12×4＝48对，其中相互异面的棱对有12×2＝24对，故一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率，D正确．

选：BCD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的最小正周期为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦函数的最小正周期，结合正切函数的周期性质进行求解即可.

【详解】因为的最小正周期为，

而，

所以函数的最小正周期为，

故答案为：

14. 已知正方体中，过点A作平面的垂线，垂足为H，则直线AH与平面所成角的正弦值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合正方体的性质、线面角的定义进行求解即可.

【详解】因为平面，平面，

所以，又因为是正方形，所以，

因为平面，

所以平面，而平面，

因此，同理，因为平面，

所以平面，而平面，即 在一条直线上，

因此与平面所成角与AH与平面所成角相等，

因为平面，所以为与平面所成角，

设该正方体的棱长为

因此．

故答案为：

15. 在中，，，边上的中线长为，则的面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】由正弦定理将角化边，即可求出，设中点为，，根据数量积的运算律及定义求出，从而求出，最后由面积公式计算可得.

【详解】解：因为，由正弦定理可得，

又，所以，

设中点为，，

所以

所以，解得，

所以，所以．

故答案为：.

16. 将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，则______．

【答案】2022

【解析】

【分析】先确定数列的第684项大小为2025，从而可根据数列的第10项与第11项的数值来确定的值.

【详解】解：数列的第684项为，而数列的第10项为，第11项，

当等差数列算到是的第674项时，包含恰好的前10项，

∴．

故答案为：2022.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的基本量的计算，结合已知条件，求得首项，即可写出数列的通项公式；

（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，即可求得结果.

【小问1详解】

因为等差数列的公差为2，前项和为，

则，

因为，，成等比数列，所以，

即，

化为，解得．

所以．

故数列的通项公式为.

【小问2详解】

根据（1）中所求可得：

，

故，

，

故数列的前n项和.

18. 已知两个变量y与x线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点满足，，根据这8个样本点求得的线性回归方程为（其中）．后为稳妥起见，研究小组又增加了2次实验，得到2个偏差较小的样本点，，根据这10个样本点重新求得线性回归方程为（其中，）．

（1）求的值；

（2）证明回归直线经过点，并指出与3的大小关系．

参考公式：线性回归方程，其中，．

【答案】（1）4.5    （2）证明见解析，．

【解析】

【分析】（1）求解样本点的横坐标平均数，与纵坐标平均数，再根据线性回归方程为经过样本中心点，则可得的值；

（2）增加两个差较小的样本点，重新计算10个样本点的坐标平均数，与纵坐标平均数，即可验证回归直线经过点，从而可得与3的大小关系.

【小问1详解】

解：这8个样本点横坐标平均数，

纵坐标平均数，线性回归方程为经过样本中心点，

则．

【小问2详解】

证明：样本点，分别记为，，

则这10个样本点横坐标平均数，

纵坐标平均数．

根据线性回归方程系数公式得，，故过点．

且．

19. 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称．

（1）求的值；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的值域．

【答案】（1）2    （2）

【解析】

【分析】整理函数为正弦型函数，再根据对称性得取值情况，结合最小正周期的范围，转化为的取值范围，结合可得的值；

根据三角函数的图象变换得函数的解析式，再根据自变量的取值范围得函数的值域.

【小问1详解】

解：，

所以．

因为函数图象关于直线对称，所以，，

所以，，因为函数的最小正周期T满足，

所以，解得，所以．

【小问2详解】

解：由（1）得，，所以

则．

因为，所以，

，，

在上的值域为．

20. 甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）．

今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，m，其中0＜m＜1．

（1）判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；

（2）若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E（X）＞E（Y）时，证明：P（A）＞P（B）．

参考公式与临界值表：，n＝a＋b＋c＋d．

【答案】（1）没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)依据列联表中的数据代入，求出后参考临界值表.

(2)分别列出小明参加甲乙程序的分布列，算出E（X）与E（Y），通过E（X）＞E（Y）即可证明：P（A）＞P（B）．

【小问1详解】

因为

，且，

所以没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关．

【小问2详解】

因为小明参加各程序的结果相互不影响，

所以，则．Y的可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

．

随机变量Y的分布列：

．

因为E（X）＞E（Y），所以，即，

所以，

所以P（A）＞P（B）．

21. 如图，在三棱锥中，已知平面平面，，，，为的中点．

（1）若，求直线与所成角的余弦值；

（2）已知点在线段上，且，求二面角的大小．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）以中点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得对应点和向量的坐标，通过向量法即可求得结果；

（2）求得两个平面的法向量，再用向量法求其夹角即可.

【小问1详解】

取中点，连结，，如下所示：

因为，为中点，所以，

又因为平面平面，平面平面＝，

平面，所以平面，

又因为平面ABD，所以，

因为，，，

OC，平面，所以平面，

又因为平面，所以．

中，，为中点，，所以，

中，，为中点，，，所以，

以，，为坐标轴，建立空间直角坐标系如下所示：

则，，，，

所以，，，

所以直线BD与AE所成角的余弦值为．

【小问2详解】

设，则，，，

，，则，，

设平面法向量为，

则，所以，

取，得到平面的一个法向量，

又因为平面一个法向量为，

所以，可得平面平面，

所以二面角的大小为．

22. 已知函数，，．

（1）若在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，求实数a的值；

（2）令，直线y＝m与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，证明：．

【答案】（1）a＝1    （2）证明见解析

【解析】

【分析】(1) 由于在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，即可.

(2)本问题为极值点偏移问题，可转化为单变量的不等式证明，构造函数，利用导数证明即可.

【小问1详解】

，．，，1－a＝a－1，a＝1．

检验a＝1时两个函数切线方程都是y＝1．

【小问2详解】

，x＞0，令，则，

∴在递增，，，

因为函数连续不间断，所以存在唯一实数，

，，从而在递减，递增．

不妨设，则，

当时，．

当，则，，在递减，

，

令，，

令，，

令，，，，在递减，

因为，，，在递减，

，所以在递减，所以，

即，即，

因为，，在递减，

所以，所以．综上可得，．

【点睛】导数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.