2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区九年级（上）期中数学试卷（含答案解析)

这是一份2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区九年级（上）期中数学试卷（含答案解析)，共22页。试卷主要包含了24米，5∘B，【答案】A，【答案】D，【答案】B，【答案】y=x2+1等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市昌平区回天高未融合学区九年级（上）期中数学试卷     已知，则下列各式正确的是(    )A.  B.  C.  D.     抛物线的对称轴是(    )A.  B.  C.  D.     生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为(    )A. 米
B. 米
C. 米
D. 米    将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是(    )A.  B.
C.  D.     如图，已知，请你再添加一个条件________使得∽则下列选项不成立的是(    )
A.  B.  C.  D.     如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上3等分点，AE交BD于点则与的面积比为(    )
 A.  B.  C.  D.     抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示.下列说法正确的是(    )A.
B.
C.
D. 其中    使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量单位：与旋钮的旋转角度单位：度近似满足函数关系如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为(    )
A.  B.  C.  D.     请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为此二次函数的解析式可以是______ .如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，若，，，则DE的长是______.
 将二次函数化为的形式，结果为______.如图，中，，，，那么______.
 已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是______填“>”，“<”或“=”已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______.
 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得米，米，米，那么AC为______ 米.
 如图，抛物线将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作
关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；②图形有最小值，且最小值为0；③当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点即横、纵坐标均为整数的点以上四个结论中，所有正确结论的序号是______.
已知二次函数
求该二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
求该二次函数图象与x轴、y轴的交点．如图，在中，，点D是AC上一点，于点求证：∽
如图，函数的图象经过点A，B，求此函数表达式．
如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上．
在该网格中画出的顶点均在格点上，使∽；
说明和相似的依据．
一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…01234…y…020m…求这个二次函数的表达式；
求m的值；
在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
根据图象，写出当时，x的取值范围．
已知：如图，在中，，CD是AB边上的高．
求证：∽；
如果，，求BC的长．
如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且
求证：∽；
若，，，求FD的长．
2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．
当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式不要求写出自变量x的取值范围；
在的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
学习完《相似形》一章之后，数学兴趣小组利用相似三角形的有关知识测量校园内一棵树高，他们的方法如下：
如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为，则可测得大树的高度．
请你根据上述方法求出树高；
请你设计一个其他的测量方案，并简述方案．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
求该抛物线的对称轴和顶点坐标用含a的代数式表示；
如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；
如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出m的取值范围．
如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，，，
若，，求OB的长；
用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．
对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最大值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是
函数①和②中是有上界函数的为______只填序号即可，其上确界为______；
如果函数的上确界是b，且这个函数的最小值不超过，求a的取值范围；
如果函数是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
 

答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：，
，，所以A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意．
故选：
根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
 2.【答案】B 【解析】解：抛物线，
对称轴为直线
故选：
直接根据抛物线顶点式即可求得．
本题考查的是二次函数的性质，即二次函数的顶点坐标是，对称轴直线
 3.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，因为图中b为2米，即可求出a的值．
【解答】
解：雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，
，
为2米，
米．
故选：  4.【答案】D 【解析】解：原抛物线的顶点为，向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：
可设新抛物线的解析式为，代入得
故选：
由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
 5.【答案】D 【解析】解：，
当添加条件时，则∽，故选项A不符合题意；
当添加条件时，则∽，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则∽，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意；
故选：
根据相似三角形的判定方法即可得以解决．
本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．
 6.【答案】D 【解析】解：在平行四边形ABCD中，E是BC上的3等分点，
，，，
∽，
，
故选：
利用平行四边形的性质以及相似三角形的判定得出∽，进而求出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出∽是解题关键．
 7.【答案】D 【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
，
，所以A选项错误；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
，所以B选项错误；
时，，
，所以C选项错误；
时，y有最大值，
，
即，所以D选项正确．
故选：
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则根据判别式的意义可对B选项进行判断；由于时，，则可对C选项错误；根据二次函数的最值问题可对D选项进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右．
常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于
抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
 8.【答案】B 【解析】解：把，，代入得：
，
解得，
，
，
时，y最小为，
燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为，
故选：
用待定系数法求出解析式，再用二次函数性质即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析式．
 9.【答案】答案不唯一 【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质.
二次函数的解析式是、b、c为常数，，根据开口向上得出a为正数，根据与y轴的交点坐标为得出，写出一个符合的二次函数即可．
【解答】
 解：答案不唯一，
如：，
故答案为：答案不唯一  10.【答案】 【解析】解：直线，
，
，，，
，
，
故答案为：
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：


故答案为：
利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：
一般式：、b、c为常数；
顶点式：；
交点式与x轴：
 12.【答案】 【解析】解：，，
，
，
∽，
，
故答案为：
由线段的和差关系可得CE的长，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 13.【答案】> 【解析】解：点、是二次函数图象上的两点，
，

故答案为：
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，的值，比较后即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键．
 14.【答案】， 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线和x轴的一个交点坐标为，
则根据二次函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为，
则关于x的一元二次方程的解为或，
故答案为：，
抛物线的对称轴为直线，抛物线和x轴的一个交点为，则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为，即可求解．
本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象解决问题，属于中考常考题型．
 15.【答案】8 【解析】解：，，
，
∽，
，
，
米，
故答案为
根据平行线的判定定理得到，于是得到∽，相似三角形的性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
 16.【答案】①②④ 【解析】解：①由图形可知，图形关于y轴成轴对称，故正确；
②图形有最小值，且最小值为0，故正确；
③当时，图形的函数值先随着x的增大而减小，当函数值为0后，再随x的增大而增大，故③错误；
④当时，图形恰好经过，，，，共5个整点即横、纵坐标均为整数的点，故④正确，
所以，①②④是正确的结论．
故答案为：①②④．
画出翻折后的，然后根据图形即可判断．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
 17.【答案】解：，
抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为
将代入得，
解得，，
抛物线与x轴交点坐标为，，
将代入得，
抛物线与y轴交点坐标为 【解析】由二次函数顶点式求解．
分别将，代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 18.【答案】证明：于点E，

，
∽ 【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形判定，本题属于中等题型．
 19.【答案】解：函数的图象经过点A，B，C，，，
，解得，
此函数表达式为 【解析】把A、B的坐标代入，求得b、c的值，利用待定系数法即可求得函数的表达式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 20.【答案】解：如图，即为所求；
相似的理由是三边成比例两三角形相似．
 【解析】利用相似三角形的判定画出图形即可；
根据三边成比例两三角形相似判断即可．
本题考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似变换的性质，属于中考常考题型．
 21.【答案】解：由图表可知抛物线的顶点坐标为，
所以，设这个二次函数的表达式为，
图象过点，
，
，
这个二次函数的表达式为；

时，；

函数图象如图所示；

时，或 【解析】先确定出顶点坐标，再设顶点式解析式为，然后将点代入求出a的值，从而得解；
将代入函数解析式计算即可得解；
根据二次函数图象的画法作出图象即可；
根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值范围即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，从表格中判断出顶点坐标是解题的关键．
 22.【答案】证明：，CD 是AB 边上的高，
，
又，
∽；
解：，，
，
∽，
，
 【解析】由于，，从而可证明∽；
根据已知可求出，根据相似三角形的性质，从而可求出BD的长度．
本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
 23.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，

，
∽
解：∽，
，
，
，
 【解析】根据平行四边形的性质得出故，再由即可得出结论；
根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
 24.【答案】解：由题意可知抛物线：过点和，将其代入得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
，
整理得：，
解得：，舍去，
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【解析】根据题意将点和代入：求出b、c的值即可写出的函数解析式；
设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：，解出m即可．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
 25.【答案】解：，，
∽，
：：DE，
即1：：DE，
，
大树的高度为8m；
在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角，测角仪为
再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，求得树高出测角仪的高度AE，则树高为
 【解析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高；
在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角，测角仪为再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，利用三角函数计算可得答案．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 26.【答案】解：，
该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
抛物线的顶点恰好在x轴上，
方程有两个相等的根，
，
解得或舍去，
抛物线的表达式为；
的取值范围是 【解析】解：见答案；
见答案；
，
抛物线开口向上，
、、为该抛物线上三点，且总有，抛物线的对称轴为直线，
，解得，
或，该不等式组无解
的取值范围是

解析式化成顶点式即可求得对称轴和顶点坐标；
根据题意，解得，即可得到抛物线的表达式为；
根据题意得到或，解不等式组即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 27.【答案】解：，，
∽，
，
，E为AB的中点，
，
，
或不合题意舍去，
；
解：线段OE和CD的数量关系是，
证明：如图，延长OE到点F，使得，连接AF，FB，

，，
四边形AFBO是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
通过证明∽，可得，即可求解；
如图，延长OE到点F，使得，连接AF，FB，可证四边形AFBO是平行四边形，可得，，由“SAS”可证≌，可得，可得结论．
 28.【答案】②，1
，y随x值的增大而减小，
当时，，
上确界是b，
，
函数的最小值不超过，
，
，
，
，
，
的取值范围为：；
的对称轴为直线，
当时，y的最大值为，
为上确界，
，
舍；
当时，y的最大值为，
为上确界，
，
舍；
当时，y的最大值为，
为上确界，
，
；
当时，y的最大值为，
为上确界，
，
舍，
综上所述：a的值为 【解析】解：①，
①无上确界；
②，
，
②有上确界，且上确界为1，
故答案为：②，1；
见答案；
见答案.

分别求出两个函数的最大值即可求解；
由题意可知：，再由，，，即可求a的取值范围；
当时，，可得舍；当时，，可得舍；当时，，可得；当时，，可得舍
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．