2022-2023学年吉林省长春市德惠市九年级（上）期中数学试卷（含答案解析)

2022-2023学年吉林省长春市德惠市九年级（上）期中数学试卷

1.     下列各选项中的两个图形是相似图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.     若有意义，则x满足条件(    )

A.  B.  C.  D.

3.     下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     下列方程属于一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.     若关于x的一元二次方程有实数根，则k的最小整数值为(    )

A. 2 B. 1 C.  D. 0

6.     下列各组线段中，成比例线段的一组是(    )

A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，6 C. 1，3，5，7 D. 2，4，6，8

7.     如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且图中相似三角形共有(    )

A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对

8.     某班同学毕业时将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.     若，则化简的结果为______.
10. 把一元二次方程化为一般形式为：______ .
11. 如果a是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为______.
12. 若，则的值是______.
13. 如图，已知AD、BC相交于点O，，如果，，，那么______.

14. 在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示．飞机从台湾直飞上海的距离约为1 286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为______千米．

15. 计算：
16. 计算：
17. 先化简，再求值：，其中，
18. 解方程：
    ；
     
19. 如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点
    图①中，点P为AB的中点；
    图②中，点P在线段AB上且
     
20. 如图所示，小华站在距离路灯的灯杆的C点处，测得她在路灯灯光下的影长为，已知小华的身高是，求路灯的灯杆AB的高度．

21. 已知线段a、b、c满足a：b：：2：6，且
    求a、b、c的值；
    若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
22. 感知：如图①，，可知∽不要求证明
    
    拓展：如图②，求证：∽
    应用：如图③，，，，则与的面积比为______.
23. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
    不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：

在问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
在问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

24. 如图，在矩形ABCD中，，，点E，F，G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为，点F的运动速度为，点G的运动速度为，当点F到达点即点F与点C重合时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线EF的对称图形是设点E、F、G运动的时间为单位：
    当______s时，四边形为正方形；
    若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
    当时，直接写出t的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
D、两个图形形状相同，相似，符合题意．
故选：
形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．
本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
 

2.【答案】B 

【解析】解：依题意得：，
解得
故选：
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

3.【答案】D 

【解析】解：A、与不是同类二次根式；
B、与不是同类二次根式；
C、与不是同类二次根式；
D、与是同类二次根式；
故选：
首先把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式可得答案．
此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握同类二次根式的定义．
 

4.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
根据一元二方程的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：  

5.【答案】A 

【解析】解：根据题意得：且，
解得：且，
则k的最小整数值为
故选：
由方程有实数根，得到根的判别式的值大于0，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的最小整数值．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

6.【答案】B 

【解析】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
 

7.【答案】C 

【解析】解：图中相似三角形共有3对．理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，，
，，
：：：1，
∽，
：：EC，，
：：DE，
即AD：：EF，
，
，
，
，
∽，
∽∽，
即∽，∽，∽
故选：
首先由四边形ABCD是正方形，得出，，又由，，证出∽，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出∽，则可得∽∽，进而可得出结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明∽，在此基础上可证∽
 

8.【答案】C 

【解析】解：全班有x名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是
故选
如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，

故答案为：
直接利用二次根式的化简的知识求解即可求得答案．
此题考查了二次根式的化简．注意
 

10.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的一般形式是
故答案为
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
 

11.【答案】 

【解析】解：把代入得，
所以，
所以
故答案为
根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

12.【答案】1 

【解析】解：，而，，
，，
解得，，
所以
故答案为：
根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，则，
又，
，则，
，
即，
解得：，
，
故答案为：
根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得FD，则即可．
本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出DF是解决问题的关键．
 

14.【答案】3858 

【解析】解：根据图上距离，发现：飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的图上距离是飞机从台湾直飞上海的图上距离的3倍，所以飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离设为千米，，解得千米，
故答案为：
根据图中数据可以发现，飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的图上距离是飞机从台湾直飞上海的图上距离的3倍，根据题意列出比例式求解即可得出结果．
注意：图上距离的比=实际距离的比．
 

15.【答案】解：


 

【解析】先算乘除法，再合并同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：


 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


把，代入，
原式

 

【解析】先化简，然后将m与n的值代入即可求出答案．
本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以， 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程．
 

19.【答案】解：如图①中，点P即为所求；
如图②3，点P即为所求．
 

【解析】取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求；
取格点J，K，JK交AB于点P，点P即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：依题意知：，
∽，
，即，解得
答：路灯的高度AB是米． 

【解析】先证明∽，则利用相似比得到，然后根据比例性质可求出
本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
 

21.【答案】解：：b：：2：6，
设，，，
又，
，解得，
，，；
是a、b的比例中项，
，
，
或舍去，
即x的值为 

【解析】利用a：b：：2：6，可设，，，则，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；
根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如 a：：即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．
 

22.【答案】13：3 

【解析】拓展：证明：，，，
，
，
∽；

应用：解：，，，
，
，
∽，是等边三角形，
，
，
与的相似比为：4：3，
：：9，：：：48，
设，则，
，
：：：
故答案为：13：
拓展：由与，，即可求得，即可证得：∽
应用：由∽，根据相似三角形的对应边成比例，可求得与的面积比，与的面积比，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

23.【答案】，；

解之得：，
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，
根据题意得
解之得：，
，
，对称轴是直线，
当时，w随x增大而增大．
当时，元
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 

【解析】

解：

见答案；
见答案．
【分析】
由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得，利润；
令，求出x的值即可；
首先求出x的取值范围，然后把转化成，结合x的取值范围，求出最大利润．
本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．  

24.【答案】 

【解析】解：当时，
，
，
故答案为：；
四边形ABCD是矩形，
，
∽或∽，
当∽时，
，
，
，
当∽时，
，
，
，
综上所述：或；
如图，

，
，
，
，
，
∽，
，
，

由可求得结果；
∽或∽当∽时，可得，进而求得t的值，当∽时，同理可得出结果；
可推出∽，进一步求得结果．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的有关知识．