沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程综合训练题

这是一份沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程综合训练题，文件包含专题213二次函数的图象与性质一般式解析版docx、专题213二次函数的图象与性质一般式原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题21.3二次函数的图象与性质：一般式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•市中区期末）抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．y轴 D．直线x＝1
【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．
【解析】抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是直线x=--22×1=1．
故选：D．
2．（2020秋•镇海区期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣1的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝1 D．直线x＝2
【分析】先将抛物线化为顶点式，即可解决问题．
【解析】因为抛物线y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣2＝（x﹣1）2﹣2，
所以对称轴是直线x＝1．
故选：C．
3．（2020秋•上城区期末）已知二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝2，则这个函数图象必过点（　　）
A．（﹣1，4） B．（0，3） C．（2，4） D．（3，4）
【分析】根据二次函数的对称性即可判断．
【解析】∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝2，
∴点P关于对称轴的对称点为（3，4），
∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，
∴这个函数图象必过点（3，4），
故选：D．
4．（2021春•鹿城区校级月考）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝3x2+12x+m上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，根据x＞﹣2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解析】∵y＝3x2+12x+m，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=-122×3=-2，
∴（﹣3，y1）关于直线x＝﹣2的对称点是（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：D．
5．（2020秋•北仑区期末）二次函数y＝x2﹣1经过适当变换之后得到新的二次函数y＝x2﹣6x+13，则这个变换为（　　）
A．向上5个单位，向右3个单位
B．向下5个单位，向右3个单位
C．向上5个单位，向左3个单位
D．向下5个单位，向左3个单位
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解析】由二次函数y＝x2﹣6x+13得到：y＝（x﹣3）2+4．
所以将二次函数y＝x2﹣1图象向上5个单位，向右3个单位，平移后的二次函数的解析式为：y＝（x﹣3）2+4．
故选：A．
6．（2020秋•吴兴区期末）如图，将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y＝﹣8的交点个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据已知条件得到抛物线y＝﹣x2+x+8与x轴的解得为（0，8），根据轴对称的性质得到新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），于是得到结论．
【解析】如图，∵y＝﹣x2+x+8中，当x＝0时，y＝8，
∴抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴的解得为（0，8），
∵将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
∴新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），
∴新图象与直线y＝﹣8的交点个数是4个，
故选：D．
7．（2021•拱墅区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：①abc＜0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＞0；④当x＜0时，y随x的增大而减小，其中正确的结论是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】①由抛物线的开口方向向上，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，确定出a，b及c的正负，即可对于abc的正负作出判断；
②根据对称轴为：x=-b2a=1判断即可；
③根据抛物线与x轴的交点即可求得抛物线的对称轴，然后把x＝3代入方程即可求得相应的y的符号；
④由图象得到当x＜0时，y随x的变化而变化的趋势．
【解析】①根据图示知，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵-b2a=1＞0，
∴b＜0，
所以abc＞0．故①错误；
②根据图象得对称轴x＝1，即-b2a=1，所以b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；
③当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0．故③错误；
④根据图示知，当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确；
故选：D．
8．（2021•宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
则下列关于该函数的判断中不正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．抛物线对称轴为直线x＝1
C．当x＝﹣2时的函数值小于x＝5时的函数值
D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
【分析】根据x＝1时的函数值最大判断出抛物线的开口方向；根据表格数据判断出函数图象关于直线x＝1，再根据函数的对称性可知当x＝﹣2时的函数值与x＝4时的函数值相同，并求出y＝0时的x的值，从而得解．
【解析】A、由图表数据可知x＝1时，y＝4最大，
所以，抛物线开口向下，正确，故本选项错误；
B、∵x＝0和x＝2时的函数值都是3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，正确，故本选项错误；
C、由图表数据可知，当x＝﹣2时的函数值与x＝4时的函数值相同，
∵x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时的函数值应大于x＝5时的函数值，故本选项正确；
D、根据对称性，x＝﹣1和x＝3时的函数值y＝0，
所以当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确，故本选项错误．
故选：C．
9．（2020•浙江自主招生）函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法，可以解答本题．
【解析】当a＞0，b＞0时，一次函数y＝ax+b的图象在第一、二、三象限，二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点，顶点在y轴的左侧，故选项A、B错误；
当a＞0，b＜0时，一次函数y＝ax+b的图象在第一、三、四象限，二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点，顶点在y轴的右侧，函数图象开口向上，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b交点在x轴上，故选项C正确；
当a＜0，b＜0时，一次函数y＝ax+b的图象在第二、三、四象限，二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点，顶点在y轴的左侧，函数图象开口向下，故选项D错误；
故选：C．
10．（2021•渭滨区一模）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+m，则m的值是（　　）
A．1或7 B．﹣1或7 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7
【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得．
【解析】∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+m，
∴这条抛物线的顶点为（2，m+4），
∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣m﹣4），
∵它们的顶点相距6个单位长度．
∴|m+4﹣（﹣m﹣4）|＝6，
∴2m+8＝±6，
当2m+8＝6时，m＝﹣1，
当2m+8＝﹣6时，m＝﹣7，
∴m的值是﹣1或﹣7．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•顺德区模拟）把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝　3　．
【分析】利用配方法把二次函数的表达式y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，求出h、k的值各是多少，代入代数式计算即可．
【解析】∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴h＝2，k＝1，
∴h+k＝2+1＝3．
故答案为：3．
12．（2020秋•东城区期中）将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝　（x﹣1）2+2　．
【分析】直接利用配方法把一般式配成顶点式即可．
【解析】y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．
故答案为（x﹣1）2+2．
13．（2020秋•磴口县期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x＝　﹣1　．
【分析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x＝﹣1对称，由此可得到抛物线的对称轴．
【解析】∵点（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相同，
∴点（3，4）和（﹣5，4）是抛物线的对称点，
而这两个点关于直线x＝﹣1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
故答案为﹣1．
14．（2019秋•黄冈期末）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1，当0＜x＜3时，y的取值范围是　1≤y＜9　．
【分析】根据抛物线y＝2（x﹣1）2+1和二次函数的性质，可以得到当0＜x＜3时，y的取值范围，本题得以解决．
【解析】∵抛物线y＝2（x﹣1）2+1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴x＝0和x＝2的函数值相等，
当x＝3时，y＝9，当x＝1时，y＝1，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜9，
故答案为：1≤y＜9．
15．（2013•山西模拟）某同学利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：
序号
①
②
③
④
⑤
x
0
1
2
3
4
y
3
0
﹣2
0
3
经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据　③　．（只填序号）
【分析】观察图表数据，根据二次函数的对称性即可判断出计算错误的一组数据，然后再利用待定系数法求出二次函数解析式，进行验证．
【解析】由图表数据可知，①、⑤两点关于直线x＝2对称，
②、④两点关于直线x＝2对称，
所以，计算错误的一组数据应该是③，
验证：由①②④数据可得c=3a+b+c=09a+3b+3=0，
解得a=1b=-4c=3，
∴该二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3，
当x＝2时，y＝22﹣4×2+3＝﹣1≠﹣2，
所以③数据计算错误．
故答案为：③．
16．（2020秋•平阴县期末）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：
x
…
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
0
﹣1
0
3
…
那么该二次函数在x＝0时，y＝　3　．
【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x＝0时，y的值即可．
【解析】由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），
∴对称轴为x＝2，
∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值，
∵当x＝4时，y＝3，
∴当x＝0时，y＝3．
故答案是：3．
17．（2021•庐江县模拟）有一个二次函数y＝a（x﹣k）2的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：开口向上
乙：对称轴是直线x＝2
丙：与y轴的交点到原点的距离为2
满足上述全部特点的二次函数的解析式为　y=12（x﹣2）2　．
【分析】由开口向上，可知a＞0，对称轴是直线x＝2，可得k＝2，与y轴的交点到原点的距离为2，可得与y轴的交点的坐标为（0，±2），利用待定系数法求出解析式．
【解析】∵二次函数y＝a（x﹣k）2的图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝2，
∴k＝2，
∴二次函数y＝a（x﹣k）2的解析式为y＝a（x﹣2）2，
∵与y轴的交点到原点的距离为2，
∴与y轴交于点（0，2）或（0，﹣2），
把（0，2）代入得，2＝4a，
∴a=12，
把（0，﹣2）代入得，﹣2＝4a，
∴a=-12（舍去）
∴解析式为：y=12（x﹣2）2．
故答案为：y=12（x﹣2）2．
18．（2020春•西湖区校级月考）已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）．
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为　1　；
（2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，且s＜b，则a的取值范围　a＜k﹣3或a＞k+2　．（用含k的式子表示）
【分析】（1）求出抛物线的对称轴的解析式，再根据二次函数的性质，列出k的不等式，进而求得k的最小整数值；
（2）代入M（k+2，s），N（a，b）求得b与s的解析式，再由s＜b列出不等式，根据二次函数与不等式的关系求得结果便可．
【解析】（1）∵二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k＝（x﹣k）2﹣k，
∴对称轴为x＝k，
∴当x≤k时，y2随x的增大而减小，
∵当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，
∴k≥1，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为：1；

（2）y＝y2﹣y1＝x2﹣2kx+k2﹣k+x＝x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k，
∵点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，
∴s＝（k+2）2﹣（2k﹣1）（k+2）+k2﹣k＝6，
b＝a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k，
∵s＜b，
∴a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＞6，
∵当a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＝6时，a＝k﹣3或k+2，
∴a＜k﹣3或a＞k+2，
故答案为：a＜k﹣3或a＞k+2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•西城区校级期中）将下列各二次函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
（1）y＝x2﹣6x﹣1
（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6
（3）y=12x2+3x+10．
【分析】（1）加上一次项系数6的一半的平方是9，再减去9；
（2）提取二次项﹣2后，再加一次项系数2的一半的平方1，再减去1；
（3）提取二次项系数12后，再加上一次项系数6的一半的平方9，再减去9．
【解析】（1）y＝x2﹣6x﹣1＝x2﹣6x+9﹣9﹣1＝（x﹣3）2﹣10，
∴顶点（ 3，﹣10 ）；
（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6＝﹣2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝﹣2（x+1）2﹣4，
顶点（﹣1，﹣4 ）；
（3）y=12x2+3x+10=12（x2+6x+9﹣9）+10=12（x+3）2+112，
顶点（﹣3，112 ）．
20．（2020秋•石城县期末）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4
（1）抛物线经过原点时，求m的值；
（2）顶点在x轴上时，求m的值．
【分析】（1）二次函数y＝ax2+bx+c经过原点则c＝0，从而求得m的值；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在x轴上则b2﹣4ac＝0，从而求得m的值．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4经过原点，
∴3m+4＝0，解得：m=-43；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
∴（﹣2m）2﹣4×1×（3m+4）＝0，
解得：m＝4或m＝﹣1．
21．（2020•上城区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）与一次函数y＝ax+b．
（1）当a＝1，b＝﹣2时，求这两个函数图象的交点坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+bx的图象的顶点恰好在一次函数y＝ax+b的图象上，求ab应满足的条件；
（3）若这两个函数的图象经过的象限完全相同，请直接写出ab应满足的条件．
【分析】（1）将a＝1，b＝2代入函数解析式，并建立方程组，通过解方程组求得交点坐标；
（2）求得二次函数的顶点坐标，代入y＝ax+b中得到b＝﹣2a，即可得到a、b异号，故ab＜0；
（3）通过解方程组解析式构成的方程组，即可得到两函数的交点坐标，根据坐标特征即可求得ab＞0．
【解析】（1）依题意得：y=x2-2xy=x-2，
解得x=1y=-1或x=2y=0，
则这两个函数的交点坐标为（1，﹣1）和（2，0）；

（2）二次函数y＝ax2+bx的顶点为（-b2a，-b24a），
∵二次函数y＝ax2+bx的图象的顶点恰好在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴-b24a=a•（-b2a）+b，
整理得，b＝﹣2a，
∴ab＜0；

（3）由y=ax2+bxy=ax+b解得x=-bay=0或x=1y=a+b，
∴两函数的交点为（-ba，0），（1，a+b），
∵二次函数y＝ax2+bx图象经过原点，
∴-ba＜0，
∴ab＞0，
∴两个函数的图象经过的象限完全相同，ab应满足的条件ab＞0．
22．（2018秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3
（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标的交点坐标，并画出函数的大致图象．
（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝x2﹣4x+3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系（直接写出结果）
【分析】（1）利用配方法以及待定系数法解决问题即可．
（2）利用图象法结合二次函数的性质即可判断．
【解析】（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标（2，﹣1），对称轴x＝2，
抛物线交y轴于（0，3），交x轴于（1，0）或（3，0），
函数图象如图所示：


（2）观察图象可知：当x1＜x2＜1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
23．（2020•朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2kx+k2+k图象的对称轴为直线x＝k，且k≠0，顶点为P．
（1）求a的值；
（2）求点P的坐标（用含k的式子表示）；
（3）已知点A（0，1），B（2，1），若函数y＝ax2﹣2kx+k2+k（k﹣1≤x≤k+1）的图象与线段AB恰有一个公共点，直接写出k的取值范围．

【分析】（1）由对称轴公式列出a的方程解出a便可；
（2）把x＝k代入抛物线的解析式，便可求得顶点的纵坐标，进而得顶点P的坐标；
（3）分五种情况：k＞1；k＝1；0＜k＜1；k＝0；k＜0，根据二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，分别求k的取值范围．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2﹣2kx+k2+k图象的对称轴为直线x＝k，
∴--2k2a=k，
∴a＝1；

（2）把a＝1代入y＝ax2﹣2kx+k2+k得，y＝x2﹣2kx+k2+k，
当x＝k时，y＝k2﹣2k2+k2+k＝k，
∴顶点P（k，k）；

（3）∵函数y＝ax2﹣2kx+k2+k＝x2﹣2kx+k2+k＝（x﹣k）2+k，
∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为x＝k，顶点为（k，k），
∵点A（0，1），B（2，1），
∴①当k＞1时，抛物线的顶点在直线AB的上方，抛物线与直线AB没有公共点，则函数y＝ax2﹣2kx+k2+k（k﹣1≤x≤k+1）的图象与线段AB没有公共点；
②当k＝1时，顶点（1，1）在线段AB上，即函数y＝ax2﹣2kx+k2+k（k﹣1≤x≤k+1）的图象与线段AB恰有一个公共点；
③当k＜0时，则x＝k+1或k﹣1时，y＝1+k＜1，函数y＝ax2﹣2kx+k2+k（k﹣1≤x≤k+1）的图象在线段AB下方，没有公共点；
④当k＝0时，函数y＝ax2﹣2kx+k2+k＝x2，与线段AB恰有一个公共点（1，1）；
⑤当0＜k＜1时，若函数图象过A（0，1）时，k2+k＝1，解得k=-1-52＜0（舍去），或k=-1+52，
∵0＜-1+52＜1，
∴根据抛物线的对称性知，当-1+52≤k＜1时，函数y＝ax2﹣2kx+k2+k（k﹣1≤x≤k+1）的图象与线段AB有两个公共点，当0＜k＜-1+52时，函数y＝ax2﹣2kx+k2+k（k﹣1≤x≤k+1）的图象与线段AB恰有一个公共点；
综上所述：若函数y＝ax2﹣2kx+k2+k（k﹣1≤x≤k+1）的图象与线段AB恰有一个公共点，则0≤k＜-1+52或k＝1；
24．（2021•杭州一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y=-12（x﹣2m）2+1﹣m（m是实数）．
（1）当m＝2时，若点A（6，n）在该函数图象上，求n的值．
（2）小明说二次函数图象的顶点可以是（2，﹣1），你认为他的说法对吗？为什么？
（3）已知点P（a+1，c），Q（4m﹣7+a，c）都在该二次函数图象上，求证：c≤-78．
【分析】（1）把点A（6，n）代入解析式即可求得；
（2）根据题意得出2m＝2，1﹣m＝﹣1，两个等式求得的m的值不同，即可判断小明说法错误；
（3）由点P（a+1，c），Q（4m﹣7+a，c）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x=a+1+4m-7+a2=a+2m﹣3，即可得出a+2m﹣3＝2m，求得a＝3，得到P（4，c），代入解析式即可得到 c=-12（4﹣2m）2+1﹣m＝﹣2（m-74）2-78，根据二次函数的性质即可证得结论．
【解析】（1）当m＝2时，则y=-12（x﹣4）2﹣1，
∵点A（6，n）在该函数图象上，
∴n=-12（6﹣4）2﹣1＝﹣3；
（2）若顶点是（2，﹣1），则2m＝2①，1﹣m＝﹣1②，
由①得m＝1，由②得m＝2，
故小明说法错误；
（3）∵点P（a+1，c），Q（4m﹣7+a，c）都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线x=a+1+4m-7+a2=a+2m﹣3，
∴a+2m﹣3＝2m，
∴a＝3，
∴P（4，c），
∴c=-12（4﹣2m）2+1﹣m＝﹣2（m-74）2-78，
∴c≤-78．