抽象函数综合应用-2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

抽象函数综合应用

一、单选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

2.    设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是(    )

A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

3.    已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是．(    )

A.
B. 函数在上单调递减
C.
D. 满足不等式的的取值范围为

4.    定义域为 的函数满足，且当时，以下结论正确的是(    )

A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为增函数 D. 为减函数

5.      定义在上的函数满足，当时，，则函数满足(    )

A.  B. 是奇函数
C. 在上有最大值 D. 的解集为

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

6.    已知函数满足，当时，且则          ；当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是          ．
7.    已知定义在 上的函数 同时满足下列三个条件：
   ；
   对任意 都有；
    时，则不等式 的解集为          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

8.    本小题分

若定义在上的函数满足，都有成立，且当时，，又．

判断的奇偶性；

求证：为上的减函数；

若对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

9.    本小题分

已知定义在区间上的函数满足，且当时，．

求的值；

证明：为单调增函数；

若，求在上的最值．

10. 本小题分

已知定义在上的函数，满足对任意的，，都有当时，且．

求的值；

判断并证明函数在上的奇偶性；

在区间上，求的最值．

11. 本小题分
    函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有    
    求的值；
    若，解不等式．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性和奇偶性，以及解不等式，属于中档题．
根据函数为奇函数，且在内是增函数，又，判断函数在上的符号，根据奇函数把转化为，根据积商符号法则及函数的单调性即可求得的解集．

【解答】

解：因为函数为奇函数，且在内是增函数，，
所以或时，；或时，；
，即，
可知或．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题．

根据函数奇偶性的性质即可得到结论．

【解答】

解：是奇函数，是偶函数，

，，

，故函数是奇函数，故错误，

为偶函数，故错误，

是奇函数，故正确．

为偶函数，故错误，

故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抽象函数的理解与应用，抽象函数单调性的判断与证明，抽象函数的求值问题，对于抽象函数的恒等式，一般会运用赋值法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
利用赋值法，令，即可判断选项A，利用函数单调性的定义，即可判断选项B，利用恒等式将所求的式子进行变形，即可判断选项C，先将不等式变形为，再利用函数的单调性去掉“”，求解不等式即可判断选项D．

【解答】

解：对于选项A，，令，则，所以，故选项A正确；
对于选项B，令，可得，所以，
令，则，
因为，所以，则，
所以函数在上单调递增，故选项B错误；
对于选项C，，故选项C正确；
对于，因为，由，则，
所以，
则不等式，等价于，即，
因为在上单调递增，所以，解得，
则满足不等式的的取值范围为，故选项D正确．
故选ACD．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的性质，是较难题。
由题意，令，可求得，令，代入条件，可求得的奇偶性，任取，且，利用定义法，结合题意，即可证明的单调性

【解答】

解：因为对于任意，都有，

令，则，即，

令，则，
所以，

所以为奇函数，故正确，

任取，且，

则，

因为，
所以，

所以，即，

所以在上为单调递增函数，故正确，

故答案为：

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性以及利用单调性求最值和解函数不等式的方法，综合性较强，合理赋值是解决抽象函数问题的常用手段，属于中档题．

先研究函数的奇偶性，可以先令求得的值，再令，代入原式，可得奇偶性；然后结合单调性的定义判断单调性，最后判断函数在上的最值情况以及根据单调性求解不等式即可．

【解答】

解：令，则，所以，故A正确；

再令，代入原式得，所以，故该函数为奇函数，故B正确；由得，令，再令，，则，结合时，，所以，所以，所以原函数在定义域内是减函数，所以函数在上递减，故是最小值，是最大值，故C错误；

又，即，结合原函数在定义域内是减函数可得，，解得，故D正确．

故选ABD．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，属较难题．
利用赋值法先求，再求，再证得在上为增函数当时，不等式恒成立，转化为在上恒成立，转化为，即可求解．

【解答】

解：令，得，得，
令，，得，得；
令，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，即有，
即在上为增函数．
由，可得，
，即，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立，
即，而在上单调递减，所以最小值为，
故．
故答案为；．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
证明在上为减函数，令，可得，所以不等式，可得，求解即可．

【解答】

解：设，
因为当时，，
则，
，
在上为减函数．
令得，
不等式，
可得
解得．
故答案为：．

8.【答案】解：为奇函数；
证明：取，则，．
取，则，
对任意恒成立，
为奇函数．
证明：任取，，且，
则，，
，
又为奇函数，
是上的减函数．
为奇函数，又．
那么，
则
整理原式得，
则，
在上是减函数，
，
当时，在上不是恒成立，与题意矛盾；
当时，，要使不等式恒成立，则，即；
当时，在上不是恒成立，不合题意．
综上所述，的取值范围为． 

【解析】本题主要考查抽象函数的奇偶性和单调性，以及利用单调性解不等式，是较难题．
利用赋值法构造奇偶性的定义求解即可，取，则，即取，则，得证；
直接利用定义证明即可，任取，，且，则，，，得证；
由可知为奇函数，整理原式得，则，在上是减函数，对进行讨论即可得实数的取值范围．
 

9.【答案】解：令，

则，

所以，

证明：设，，且，

则，

所以，

所以，

即，

所以在上是增函数；

因为在上是增函数，

若，

则，

即，

即，

则，

，

即在上的最小值为，最大值为．

【解析】本题考查抽象函数以及函数单调性和最值，属于中档题．
对，取特值求出即可；

利用函数单调性的定义进行证明即可；

利用函数的单调性及特值求出函数在上的最值．

10.【答案】解：令，得，．
的定义域关于原点对称，
令，得，
即对于定义域内的任意一个，都有，
是奇函数．
任取实数、且，这时，，

，
时，，，
，
在上是减函数．
故的最大值为，最小值为．
而，．
在区间上的最大值为，最小值为． 

【解析】本题考查了抽象函数的单调性与奇偶性、求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
令，可得．
令，得，即可得出奇偶性．
任取实数、且，可得
，利用时，，即可得出在上的单调性，进而得出最值．
 

11.【答案】解：令，得，
．

是上的增函数，证明：任取，
且，则，
因为，，

即，
是上的增函数．

及，可得，

不等式等价于，可得

解得．
所以原不等式的解集为．

【解析】本题考查了抽象函数函数值的求法，单调性的证明与应用，属于中档题．
令，代入可解得． 
由定义证明抽象函数的单调性，由抽象函数不等式等价于，可得，求解．