二次函数的值域与最值--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

二次函数的值域与最值

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    已知函数在上的最大值为，则的取值范围是       (    )

A.  B.
C.  D.

3.    函数，，对，，使，则的取值范围是．(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.    若函数在上的最大值为，则的取值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    若函数的定义域为，值域为，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

6.    函数，在区间上函数的最大值为，最小值为当取任意实数时，的最小值为，则          ．
7.    若函数的定义域与值域都是，则实数          ．

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

8.    本小题分

已知二次函数．

若为偶函数，求在上的值域；

若的单调递减区间为，求实数构成的的集合；

若时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围．

9.    本小题分
   已知函数，
   若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围
   若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
10. 本小题分

已知函数的定义域为．

求的最大值；

当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

考查考查函数的值域及集合间的包含关系，属中档题．

先求得的值域，根据题意可得的值域为是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案．

【解答】

解：因为，

所以，即的值域为，

因为对于任意，总存在，使得成立，

所以的值域为是在上值域的子集，

当时，在上为增函数，
所以，
所以，

所以，解得，

当时，在上为减函数，
所以，
所以

所以，解得，

综上实数的取值范围是，

故选：。

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二次函数在闭区间上的最值，考查学生数学运算能力，属于中档题．
先画出函数的图象，可得，，由此观察图象可得的取值范围．

【解答】

解：函数的图象如图所示：

对称轴为，，
令，得，
，
数形结合可得或．
故选D．

3.【答案】 

【解析】解：设，在上的值域分别为、，
由题意可知：，，

又，
．
故选：．
先设出两个函数在上的值域分别为、，再根据对任意的，存在，使，集合是集合的子集，列出不等式，解此不等式组即可求得实数的取值范围，注意条件．
此题是个中档题．考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的最值求参数，分类讨论去绝对值是关键，属于拔高题．
分、讨论，结合二次函数的性质由最值求参．

【解答】

解：当时，在上单调递增，
，解得舍去．
当时，
当，即时，在上单调递增，
，解得舍去．
当时，令，即，解得．
当，即时，
，解得．
当，即时，
，解得．
故选AC．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数的定义域与值域、二次函数的性质，是基础题．
根据二次函数的性质求解即可．
【解答】
解：令，图象开口向上，对称轴为，
因为函数的定义域为，值域为，
且，，
令得或，
所以，
根据选项，当，或时，函数的值域为．
故选ABC．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次函数的性质，属于较难题．
首先求得对称轴，要使最小，与必关于对称轴对称，从而最大值为，最小值为，由及对称轴可求得．

【解答】

解： 

对称轴

要使最小，与必关于对称轴对称

所以  

联立得

．

故答案为：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的定义域与值域，属于中档题．
首先求出函数的对称轴方程，由此判断函数在给定的定义域内是减函数，在根据函数的值域也是，联立，可求的值．

【解答】

解：函数的对称轴方程为，
所以函数在上为减函数，
又函数在上的值域也为，
则，即，
解得或舍去，
．
故答案为：．

8.【答案】解：根据题意，函数为二次函数，其对称轴为，

若为偶函数，
则，
解可得，
则，
又由，
则有，
即函数的值域为；

根据题意，函数为二次函数，其对称轴为，
若在区间上是减函数，
则，则，
所以实数构成的的集合是

由题意知时，恒成立，即恒成立，
所以恒成立，
因为，
所以，当且仅当，即时取得“，
所以，解得，
所以的取值范围是．

【解析】本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性和函数值域的求法，考查函数的单调性和不等式恒成立问题，基本不等式求最值的应用，属于中档题．
根据函数为二次函数，且为偶函数，可得，即可得到，再根据，即可得解函数的值域；

根据题意在区间上是减函数，可得，求解可得的取值范围；

由题意知时，恒成立，即可得恒成立，根据的范围，即可基本不等式得到，则，求解可得的取值范围．

9.【答案】解：函数在区间上存在零点，
即在区间上有解，
所以，，
，故所求实数的取值范围
若对任意的，总存在，
使得成立，
只需当时，函数的函数值组成的集合为函数的函数值组成的集合的子集．
在区间的函数值组成的集合为，
当时，为常数，不符合题意，舍去．
当时，在区间的值域为，
所以，解得
当时，在区间的值域为，
所以，解得
综上所述，实数的取值范围为 

【解析】本题考查函数的零点及二次函数的值域，考查分类讨论思想，是中档题．
由题意，在区间上存在零点，即在区间上有解，求解即可；
原问题等价于函数在上的值域为函数在上的值域的子集，分类讨论即可得到结论．
 

10.【答案】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为．

当时，有，即离对称轴更近，所以的最大值为；

当时，有，即离对称轴更近，所以的最大值为；

即．

当时，即或

解得：或．

【解析】本题考查二次函数的最值以及已知函数值求参数，属于中档题．
根据对称轴与和的距离，借助于二次函数的图象，即可求出的最大值，得到；

令，解方程即可．