函数的单调性与奇偶性--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

函数的单调性与奇偶性

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    已知函数，且，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则，，的大小关系为．(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.    已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是(    )

A. 时，函数解析式为
B. 函数在定义域上为增函数
C. 不等式的解集为
D. 不等式恒成立

5.    定义在上的偶函数，当时，且为增函数，下列四个结论其中正确的结论是(    )

A. 当时，有 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递减

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

6.    已知函数，为偶函数，且当时，记给出下列关于函数的说法：当时，；函数为奇函数；函数在上为增函数；函数的最小值为，无最大值．其中正确的是          ．
7.    已知函数是定义在上的奇函数，当时，则          ．
8.    函数的单调减区间是           ．

四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

9.    本小题分

已知函数，，若不等式的解集为．

求的值及；

判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论；

已知且，若，试证：．

10. 本小题分

已知幂函数为偶函数一次函数满足，．

Ⅰ求和的解析式；

Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数的草图，是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．

【解答】

解：定义在的奇函数在单调递减，且，
的大致图象如图：

在上单调递减，且；
故；
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
当或时，即或时，不等式成立，
当时，不等式等价为，
此时，此时，
当时，不等式等价为，
即，得，
综上或，
即实数的取值范围是，
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性的应用，属于中档题．
令，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出的值．

【解答】

解：令，易得其为奇函数，
则，
所以，得，
因为是奇函数，即，所以，
则．
所以．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性，为偶函数，可得函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，利用在内为减函数，即可得出结论．

【解答】

解：函数为偶函数，则函数的图象关于对称，
则函数的图象关于对称，，，
，，即．
故选 A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，函数单调性解不等式，以及恒成立问题，属较难题．
对于，利用奇函数定义求时，函数解析式为；
对于，研究当时，的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知在上的单调性；
对于，求出，不等式，转化为，利用单调性解不等式；对于，分类讨论与两种情况是否恒成立．
利用上述分析得到结果．

【解答】

解：对于，设，，则，

又是奇函数，所以，

即时，函数解析式为，故A错；

对于，，对称轴为，所以当时，单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以在上为增函数，故B对；

对于，由奇函数在上为增函数，则时，，解得，舍去，即，

所以不等式，转化为，

又在上为增函数，得，解得，

所以不等式的解集为，故C对；

对于，当时，

，

当时，

不恒大于，故D错；

故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，函数的对称性，属于中档题．
根据偶函数的对称性，结合函数的符号及增减性，即可得到结果．

【解答】

解：偶函数的图象关于轴对称，时，，所以当时，有，故A正确；

偶函数的图象关于轴对称，时，为增函数，所以在上单调递减，故B错误；

函数是偶函数，由知在上单调递减，故C正确；

的图象是将在轴下方的图象，翻折到轴上方，由于在上单调递减，，所以在上单调递增，故D错误．

综上可知，正确的结论是

故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象与性质，考查函数的单调性和奇偶性以及函数最值，考查分段函数解析式的求法，考查了数形结合思想、推理能力与计算能力，属于较难题．
根据题意得到，画出大致图象，数形结合即可得出答案．

【解答】

解：当时，，，
又因为为偶函数，所以当时，，
因此，


画出的大致图象，

由图象可得：当时，，，故正确；
由图象可得：函数不为奇函数，故错误；
由图象知函数在上是增函数，因此函数在上为增函数，故正确；
由图象易知函数的最小值为，无最大值，故错误．
其中正确的是．
故答案为：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．
先设，则，就满足函数解析式，用代替，可得时的表达式，又时，，可得结果．

【解答】

解：设，则，
当时，，
，
是定义在上的奇函数，
，
当时，，
又时，，
．
故答案为：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查复合函数的单调性，注意同增异减的特性．
先求出函数的定义域，再由复合函数判断单调性的同增异减性质判断即可．

【解答】

解：，解得，或，
原函数的定义域为：，
令，原函数可表示为：，在其定义域上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
函数的单调减区间为：，
故答案为：．

9.【答案】解：不等式可化简为，
若不等式的解集为，
则与是方程的两根，
故  
解得，；
所以．
 解：由得，函数在上单调递增，               
证明：，
，
而，，，
于是得，即，   
所以函数在上单调递增                  
证明：由可知：函数在区间上单调递增，在上单调递减，
又因为且，且，
故，，
   


    ，     
又因为故，
即，
又因为函数在区间上单调递减，
所以，即得证 

【解析】本题主要考查不等式的解集，考查一元二次方程的根与系数的关系，考查函数的单调性的定义．
由题知，与是方程的两根，利用一元二次方程的根与系数的关系，即可求解；
利用函数的单调性的定义证明即可；
利用函数的单调性的定义证明即可；
 

10.【答案】解：Ⅰ因为函数为幂函数，所以，

即，解得：或．

当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不满足题意；

所以，．

因为为一次函数，所以，设，由，，

得：，解得：所以．

Ⅱ，
令，因为，所以，

而在上单调递增，

所以，当，即时，取得最小值．
当，即时，取得最大值．

所以，函数在区间上的最小值为，最大值为．

【解析】本题考查了幂函数及一次函数的概念，考查了利用函数的单调性求最值，属于中档题．
Ⅰ由幂函数的概念可知：，再结合偶函数的性质可得出的解析式再由为一次函数，用待定系数法，代点，列出方程组求解即可得到解析式
Ⅱ由Ⅰ得：，令，，利用换元法结合函数的单调性即可求出最值．