函数的新定义问题--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

函数的新定义问题

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    为实数，表示不超过的最大整数，函数，设集合，则中所有元素之和为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    设，定义符号函数，则的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    若定义运算，则函数的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.    高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，设函数，则下列关于函数叙述正确的是(    )

A. 为奇函数 B.
C. 在上单调递增 D. 有最大值无最小值

5.    定义一种运算设为常数，且，则使函数最大值为的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共1小题，共5.0分）

6.    黎曼函数是一个特殊的函数，由德国若名的数学家波愿哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用其定义为：，则          若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

7.    本小题分
   已知函数．
   当且时，
   求的值；
   求的最小值；
   已知函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数是上的“保域函数”，区间叫做“等域区间”试判断函数是否为上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．
8.    本小题分

若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．

判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；

已知函数在定义域上为“依赖函数”，若对任意的实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

9.    本小题分

对于区间，若函数同时满足：在上是单调函数；函数，的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．

求函数的所有“保值”区间．

函数是否存在“保值”区间？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

10. 本小题分

定义两个函数的关系，函数的定义域为，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”．

若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由；

若是的“子函数”，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合元素的求法，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
对分段讨论，求出集合，即可得到所有元素之和．

【解答】

解：由题意得，，
当时，则，所以，，所以，
当时，则，所以，，所以，
当时，则，所以，，所以
当时，则，所以，，所以，
当时，，，所以，
所以，
所以中所有元素之和为．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了新定义和函数图象的识别，属于基础题．
根据新定义可得，问题得以解决．

【解答】

解：函数
故函数的图象为所在的直线，
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的值域，函数的单调性，属于基础题．
可得，利用函数的单调性即可得解．

【解答】

解：由题意，定义运算
可得
可知：当时，单调递增，且，
当时，单调递减，，
的值域为：．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的周期性，函数的值域，函数的单调性，属于中档题．
由给出的新的定义画出的图象，由图象分析选项，得出正确答案．根据的定义，将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据函数图象判断函数的性质．

【解答】

解：由题意：
所以的图象如下图，

由图象分析：，所以不正确，所以 B正确
在上单调递增，所以 C正确有最小值无最大值，所以不正确．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的新定义及函数的最值问题，是中档题．
根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为，确定的取值即可．

【解答】

解：在上的最大值为，

所以由，解得或，

所以时，，

所以要使函数最大值为，则根据定义可知，

当时，时，，此时解得；

当时，时，，此时解得；

故或，

故选：．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数，函数的奇偶性的应用．
利用分段函数的函数值计算，结合奇函数的性质和黎曼函数的定义计算得结论．

【解答】

解：根据定义可知，，
因为函数为奇函数，所以，
又因为，所以，
则，
所以．
故答案为．

7.【答案】解：由题意，，在为减函数，在上为增函数．
，且，，且，．
由知，，
当且仅当时“”成立，
即的最小值为．
假设存在，，当时，的值域为，则．
，．
，在上为减函数，
，解得或不合题意．
若，在上为增函数，
，即，为方程在上的两个不等实数根．
解得，符合题意．
综上，存在实数，，当时，值域为，
 即是上“保域函数” 其等域区间为． 

【解析】本题考查了基本不等式的应用和探索题的求解方法，本题综合性强，能很好锻炼逻辑思维能力以及计算能力，考查分类讨论思想和转化思想，属难题．
去掉中的绝对值，转化为分段函数，由求解，利用基本不等式求解；
先假设存在，再去求解需要的条件是否存在．
 

8.【答案】解：若为“依赖函数”，
当时，，则，

解得，的值不唯一，故不满足“依赖函数”的定义，

所以不是“依赖函数”；                           

当时，，设，即此时不存在，使成立；

当时，在上递减；

所以，即，

所以 ，解得 或舍去，

所以，所以，

因为对任意的实数，不等式成立，

所以，对任意的成立，

即，对任意的成立，

则，解得 ，

所以实数的取值范围             

【解析】本题考查了新函数的定义以及二次函数的单调性，考查不等式恒成立问题，属于较难题．
根据“依赖函数”的定义进行判断；
根据题意当时，，此时不存在，使成立；
当时，，题目转化为，对任意的成立，即可求解．
 

9.【答案】解：因为函数的值域是
且在的值域是，

所以，所以，从而函数在区间上单调递增，

故有，解得．

又，所以．

所以函数的“保值”区间为．

若函数存在“保值”区间，则有：

若，此时函数在区间上单调递减，

所以，消去得，整理得．

因为，所以，即．

又所以．

因为 ，

所以．

若，此时函数在区间上单调递增，

所以，消去得，整理得．

因为，所以，即．

又，所以．

因为，

所以．

综合、得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是．

【解析】本题考查函数的单调性、函数与方程思想以及分类讨论思想的应用、新定义问题，属于较难题．
由已知中“保值”区间的定义，结合函数的值域是，我们可得，从而函数在区间上单调递增，故有，结合即可得到函数函数的“保值”区间；
由已知中“保值”区间的定义，我们分函数在区间上单调递减，和函数在区间上单调递增，两种情况分类讨论，分别将用或表示，利用二次函数配方法可得到结论．
 

10.【答案】解：，
由二次函数的性质可得 的值域为，
是增函数，
故的值域为，则，

满足题意，即是的“子函数”                                         

当时，
当时，，
故的值域为，                                                    

，

当时，的值域为，所以，

即，舍去；                                                                                                       

当时，的值域为，所以，

即，舍去；                                                                                               

当时，的值域为，所以

即，                                                  

当时，的值域为，所以，

即，舍去；

综上所述：．

【解析】本题考查函数的新定义和函数的值域的求解，属于中档题．
分别求出的值域和的值域，由可判断是的“子函数” 
求出的值域，对进行分类讨论求出的值域，利用“子函数”的定义即可求解．