函数图象的平移与对称及其应用--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

函数图象的平移与对称及其应用

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知函数是奇函数，，且与的图象的交点为，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.    我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数根据以上推广，则函数图象的对称中心是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.    函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，以下选项正确的有．(    )

A. 关于中心对称
B. 关于中心对称
C. 函数的图象关于成轴对称的充要条件是为偶函数
D. ，则为偶函数

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

5.    已知函数的图象关于直线对称，且当时是单调函数，则满足的所有之和为          
6.    已知函数的定义域为，则下列命题中：

若是偶函数，则函数的图像关于直线对称；

若，则函数的图像关于原点对称；

函数与函数的图像关于直线对称；

函数与函数的图像关于直线对称．

其中正确的命题序号是          ．

7.    定义在上的减函数满足，且对任意实数都有，则不等式的解集为          ．
8.    函数在上单调递减，且函数关于点对称，若则满足的的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

9.    本小题分

设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足已知函数．

Ⅰ证明：函数的图象关于点对称；

Ⅱ已知函数的图象关于点对称，当时，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

10. 本小题分

我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．

依据推广结论，求函数图象的对称中心；

请利用函数的对称性求的值；

类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论．不需要证明

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题．
分别判断函数与的对称性，结合函数的对称性进行求解即可．

【解答】

解：因为函数为奇函数，

所以函数的图象关于点对称，
因为
所以也关于点对称，
所以两个函数图象的交点也关于点对称，
则，
故选A 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题重点考查函数的奇偶性和对称性，属于一般题．
设函数的对称中心，利用是奇函数，进一步即可求出对称中心．

【解答】

解：函数，
易知函数为奇函数，
即为奇函数，
故对称中心为．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性、对称性，属于基础题．
根据题意，由是偶函数，则的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，则两个函数图象的交点也关于直线对称，据此分析可得答案．

【解答】

解：由是偶函数，知函数的图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称，

所以函数与函数图象的交点也关于直线对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为．

故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性、对称性和图象的变换规律，和充要条件的判断，属于中档题．
根据已知检验可判断，，根据函数的奇偶性和图象的变换规律可判断和．

【解答】

解：依题意：
对因为，显然这函数不是奇函数
所以不关于中心对称，故A错误；

对为奇函数，
所以关于中心对称，故B正确；

对若关于对称，则，
令，则，
用替换，则，故是偶函数，
若是偶函数，则，
令，则，故关于对称，
用替换，则关于对称，故C正确；
对，则不是偶函数，故D错误．

故选BC．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，函数的单调性．

推导出函数为偶函数，且在上为单调函数，由可得出，可得出，利用韦达定理可求得结果．

【解答】

解：由于函数的图象关于直线对称，

故图象关于对称，即函数为偶函数，

由于函数在上单调，由可得，

所以，即，即，

即，

显然，既不是方程的根，也不是方程的根，

对于方程，；

对于方程，．

由韦达定理可知，满足的所有之和为．

故答案为：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性与函数图像的对称变换，属于中档题．
根据函数奇偶性的定义和图象性质及函数图像的平移变换，逐一分析即可．

【解答】

解：若为偶函数，关于轴对称，
将函数向左平移两个单位可得，
所以图像关于直线对称，故正确； 
若，则，
所以，即，可得的周期为，不能得出函数的图像关于原点对称，故错误；
因为与关于直线对称，
将函数向左平移两个单位可得，
将函数向右平移两个单位可得，
所以函数与函数的图像关于直线对称，故错误；
因为与关于直线对称，
将函数向右移两个单位可得函数，
将函数向右平移两个单位可得，
所以函数与函数的图像关于直线对称，故正确．
故答案为．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
由绝对值不等式可知，利用中的任意性得，再利用函数的单调性解不等式即可．

【解答】

解：对任意实数都有，且，

令，则，故

，
，
，即，

又函数为上的减函数，
，
故不等式的解集为．
故答案为．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的奇偶性与单调性求解不等式，属于中档题．
先得出函数的奇偶性，再由函数的单调性求解即可．

【解答】

解：关于点对称，
关于对称，
函数为奇函数，
，
，
，
在上为减函数，
，解得，
的取值范围为．
故答案为．

9.【答案】解：Ⅰ，，
．
．
即对任意的，都有成立．
函数的图象关于点对称．
Ⅱ，易知在上单调递增．
在上的值域为．
记函数，的值域为．
若对任意的，总存在，使得成立，则．
时，，
，即函数的图象过对称中心．
当，即时，函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递增．
函数在上单调递增．
易知又，，则．
由，得，解得
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增．由对称性，知在上单调递增，在上单调递减．
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
结合对称性，知或．
，，
又，．
易知，又，
．
当时，成立．
当，即时，函数在上单调递减，
由对称性，知在上单调递减，
函数在上单调递减．
易知，又，
，则．
由，得，解得．
综上可知，实数的取值范围为． 

【解析】本题考查函数的对称性的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力、推理能力，属于较难题．
Ⅰ计算，由新定义即可得证；
Ⅱ求得的值域，记函数，的值域为，再由二次函数的最值求法和恒成立思想，通过对的范围分类讨论，即可得到所求范围．
 

10.【答案】解：设 的对称中心为点
设，则为奇函数，依题可知，
且，
故，
即，
即，
，
，解得，
函数的图象的对称中心为，
由知函数的图象的对称中心为，
，
，
且，
；
推论：函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数，
或者函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数． 

【解析】本小题主要考查函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
设 的对称中心为点，根据题意可得，即可求出函数图象对称中心；
根据可得，即可求出答案；
利用类比推理即可求出．