解不等式及其应用--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

解不等式及其应用

1.    关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是

A.  B.
C.  D.

2.    已知命题，，若是的必要不充分条件，那么实数的取值集合是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是(    )

A. 或 B.
C. 或 D.

4.    不等式的解集为空集，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. ， D.

5.    若关于的不等式解集为，则正实数的可能取值是     (    )

A.               B.  C.  D.   

6.    已知不等式的解集是，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.    ，记为不大于的最大整数，，若，则关于的不等式的解集为______．
8.    已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围          ．
9.    不等式的解集是，则不等式的解集是          ．
10. 已知函数

关于的不等式的解集恰好为，求的值；

若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

11. 设函数，

若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围

当时，解关于的不等式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

由题意利用韦达定理求出和的值，再利用穿根法解高次不等式，即可求得要解不等式的解集．
本题主要考查韦达定理，用穿根法解高次不等式，属于拔高题．

【解答】

解：关于的不等式的解集为，
和是方程的个实数根，
，，
即，，
则关于的不等式，即，
即，
用穿根法求得它的解集为，或，或．
故选：．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查充分必要条件的判断，以及绝对值不等式和二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．

由绝对值不等式和二次不等式的解法，结合充分必要条件的定义和集合的关系，解不等式可得所求取值集合．

【解答】

解：等价为或

解得或，

所以命题为真，可得；

，即为，解得，

若命题为真，则．

由是的必要不充分条件，可得．

则
其中等号不同时成立，解得．

所以实数的取值集合是．

故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，一般与二次函数相结合考虑解集与函数图象的关系．属于中档题．
首先将不等式的解集为转化为函数对任意的，函数值小于零的问题，再分类讨论或的情况即可解出答案．

【解答】

解：设函数，
由题设条件关于的不等式的解集为，
可得对任意的，都有，
又当时，函数是关于的抛物线，故抛物线必开口向下，且于轴无交点，
故满足
解得．
当时，，满足题意，
当时，不恒成立，不符合题意，
综上，的取值范围为．
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解集，一元二次不等式与相应方程的关系，属于基础题．
分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．

【解答】

解：不等式的解集为空集，

，
解得．
故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二次不等式的求解，要求解含参数的二次不等式，一元二次不等式与相应函数和方程的关系，属于中档题，
根据题意得出，且，求出的取值范围，即可求出结果．

【解答】

解：令，
当时，由题意可知，，且，
即
解得，
．
故选AB．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式与对应方程和二次函数的关系应用问题．
根据不等式的解集得出且，，判断选项中的命题是否正确即可．

【解答】

解：不等式的解集是，
所以方程的根为和，
所以且，
解得，；
所以，选项D正确；
因为，所以，选项B正确；
因为，所以选项C正确；
因为，所以选项A错误．
故选：．

7.【答案】， 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，是中档题．
分、、和四种情况，求解即可．
【解答】
解：当时，，，
不等式可化，解得，则；
当时，，，
不等式可化，即恒成立，则；
当时，，，
不等式可化，解得，即；
当时，，，
不等式可化，不成立，不符合题意；
综上所述不等式的解集为，．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式恒成立问题，一元二次不等式的解法，属于中档题．
当的情况满足，另外当时，结合对应一元二次函数图象及性质进行求解．

【解答】

解：由题意，时，不等式等价于，显然恒成立．
当时，该不等式为一元二次不等式，
又对恒成立，
根据其对应一元二次函数的图像性质可知，
其开口必向下且对应一元二次方程无解，于是有   
解得．
综上，根据分析可知实数的取值范围是．
故答案为．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的根与系数关系，属于中档题．
根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，运用韦达定理即可解题．

【解答】

解：不等式的解集为，

，且，为方程的两根．

两式相比得：，

设方程的两根分别为，

．

故答案为．

10.【答案】解：，即，
 ，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
又解集恰好为，所以；

对任意的恒成立，
即恒成立，
即对任意的，恒成立．

时，不等式为恒成立，此时；  

当时，，

，  ， ，

当且仅当时，即，时取“”，
 ．

综上 ．

【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法，利用基本不等式求最值，不等式恒成立中含参问题，考查分析能力、计算能力及转化能力，属于中档题．
不等式可化为，而解集为，分析即可得到答案；
依题意转化为对任意的，恒成立讨论和时，分离参数利用基本不等式即可得到取值范围．
 

11.【答案】解：由题意得对恒成立，

若，则不等式恒成立，符合题意；

若，则，解得，

综上，实数的取值范围为．

不等式可化为，
时，不等式可化为，解得；

时，则不等式可化为，

当即时，不等式解为，

当即时，，不等式解集为，

当即时，不等式解为，

综上，当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为 ．

【解析】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题，属于中档题．
首先讨论二次项系数是否为零，再将二次函数恒成立问题转化为二次方程判别式的问题，列出关于的式子求解即可；
不等式可化为，根据的取值范围进行分类讨论，即可得到结果．