一元二次函数、方程和不等式难题挑战--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一期中考前复习

一元二次函数、方程和不等式难题挑战

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    若，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C. ， D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.    若，且满足，则(    )

A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为

5.    下列命题正确的是(    )

A. ，，则
B. 的解集是全体实数
C.  则的最大值是
D. ，则

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

6.    设关于的不等式，，只有有限个整数解，且是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为          ．
7.    已知，，当时，恒成立，则的最小值是          ．

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

8.    本小题分

已知关于的不等式的解集为，或

求，的值

当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

9.    本小题分

已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为．

求实数的值；

若，，，求的最小值．

10. 本小题分

已知关于的不等式，其中．

当时，求不等式的解集；

当，试求不等式的解集．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值的方法及二次不等式的解法，属于较难题．
利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可．

【解答】

解：因为正实数，满足，
所以，
，
，
当且仅当，时取等号，
又因为不等式有解，
所以，解得或．
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于较难题．

设，可将题目转化为已知，求的最小值，由，且，结合基本不等式可求出的最小值，进而可求出的最小值．

【解答】

解：设，则，且，

题目转化为已知，求的最小值，

，

而，

当且仅当，即时等式成立．

则．

故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式恒成立问题，解题时要对二次项系数讨论，属于较难题．
对二次项系数分为和不为两种情况讨论，在不为时，把解集为化为所对应图象均在轴上方，列出满足的条件即可求实数的取值范围．

【解答】

解：当时，不等式化为，解集为空集，符合要求；
当时，因为关于的不等式的解集为，即所对应图象均在轴上方，
，
解得；
综上，满足要求的实数的取值范围是．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归思想和运算求解的能力．

将，变形为，然后利用“”的代换，由利用基本不等式求解；根据，再用“”的代换，由利用基本不等式求解．

【解答】

解：因为，且满足，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

因为，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为

故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了不等式的性质，比较大小，基本不等式求最值，一元二次不等式的解法．
利用作差法比较大小判断；利用一元二次不等式的解法判断；利用基本不等式判断；利用不等式的性质判断．

【解答】

解：．，
因为，，所以，
则，
则，故A正确；
B.因为，
所以的解集是，故B错误；
C.因为 所以
当且仅当，即时取等号，
则，
所以的最大值是，故C正确；
D.因为，
所以，则，
即满足，故D正确．
故选ACD．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是确定的值，求出相应一元二次不等式的解集．
先确定，再利用为其中的一个解，，求出或，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论．

【解答】

解：当时，显然不符合题意；
当时，设，其图象为抛物线．
关于的不等式整数解只有有限个，所以．
因为为其中的一个解可以求得，
又，所以，．
当时，不等式为，解得，
此时不等式的整数解为：，，，，；
当时，不等式为，解得，
此时不等式的整数解为：，，，，，，；
综上所述，全部不等式的整数解的和为．
故答案为：．

7.【答案】． 

【解析】

【分析】

本题考查不等式恒成立问题及基本不等式，根据题中条件，先讨论，根据不等式恒成立求出；再讨论，根据不等式恒成立，求出，结合题意，得到，再由基本不等式，即可求出结果．

【解答】

解：因为，

当时，；不等式恒成立，可化为在上恒成立，即在上恒成立，

因为在上显然单调递增，所以，

因此只需；

当时，；不等式恒成立，可化为在上恒成立，即在上恒成立，

因为在上显然单调递增，所以，

因此只需；

综上，只能，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

故答案为：．

8.【答案】解：方法一：因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个实数根且，
所以，解得，
方法二：因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个实数根且，
由是的根，有，
将代入，
得或，

由知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以的取值范围为． 

【解析】本题考查了二次函数和二次不等式的关系，考查基本不等式的性质以及转化思想，属于较难题．
方法一：根据一元二次不等式和相应方程的关系结合根与系数的关系得到关于，的方程组，求出，的值即可；
方法二：根据一元二次不等式和相应方程的关系解出，代入不等式，解出不等式，从而得到；
根据乘“”法，结合基本不等式的性质求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可．
 

9.【答案】解：函数的值域为

只有一个根，即，则．

不等式的解集为．

即为的解集为．

则的两个根为，

；

，，

当且仅当时，的最小值为．

【解析】本题主要考查了二次函数的值域以及一元二次不等式的解法，利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意可知，的，且的两个根为，，可解．
由可知，，

，再利用基本不等式求最值即可．

10.【答案】解：时，不等式可化为，
即，解得，
即不等式的解集为．
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，
而，
所以解不等式得或
当时，不等式可化为，
而，
所以解不等式得，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为． 

【解析】本题考查了含参的一元二次不等式的解法，以及分类讨论思想的应用．
把代入不等式化简后，直接求出不等式的解集即可；
先对的取值分类讨论：当时直接求出解集，当时分和两种情况，分别求出不等式的解集，综合可得答案．