利用基本不等式求最值（取值范围）练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一第二章重难点突破

利用基本不等式求最值（取值范围）

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知实数，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    若正实数、、满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    正实数，满足，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若，，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

5.    下列说法正确的有(    )

A. 的最小值为
B. 已知，则的最小值为
C. 若正数，满足，则的最小值为
D. 设，为实数，若，则的最大值为

6.    已知，是正实数，则下列选项正确的是(    )

A. 若，则有最小值
B. 若，则有最大值
C. 若，则有最大值
D. 有最小值

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

7.    设与均为正数，且，则的最小值为          ．
8.    已知为正实数，则的最小值是          ．
9.    已知，，则有最          值，为          
10. 已知正实数，满足，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11. 本小题分

已知正实数，满足：

，求的最大值；

且，求的最小值．

12. 本小题分

若正实数，满足，求的最小值

当时，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查连续多次使用基本不等式求最值，有一定的难度．

【解答】

解：令，，
则，．
则

，当且仅当时等号成立．
则最小值为．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：基本不等式的应用，关系式的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．

【解答】

解：正实数、、满足，
则：，
所以：当且仅当，即时等号成立．
故的最小值为．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式的知识，解答本题的关键是掌握基本不等式的性质，属于中档题．
变形得，然后利用基本不等式求最小值．

【解答】

解：正实数，满足，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
则的最小值是．
故选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值．

【解答】

解：由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的应用，属于较难题．
对于，当时，其余三项利用基本不等式判断．

【解答】

解：对于，当时，，故A错误；
对于，因为，

，当且仅当时成立，故B成立；
对于，正数，满足，所以，

，
当且仅当时等号成立，故C成立，

对于，，而
，
即，所以
，
即，即
．
当且仅当，，即，时取最大值，故D成立．
故选BCD．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属中档题．
利用基本不等式对选项ABCD一一进行分析判定．

【解答】

解：对于选项A，因为，所以，
所以当且仅当时取，所以A正确
对于选项B，当且仅当，即，时取，所以B错误
对于选项C，因为当且仅当时取，所以，所以C正确
对于选项D，当且仅当 且 ，即，时取，所以D错误．
故选AC．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，关键是配凑基本不等式的条件，属于较难题．
根据题意，分析可得，再利用乘“”法展开，最后利用基本不等式即可得答案．

【解答】

解：根据题意，与均为正数，且，
所以


，
当且仅当，
即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式，考查利用基本不等式求最值，考查分析与计算能力，综合性强，属于拔高题．
因为，令，即原式，计算得原式，即可得到答案．

【解答】

解：因为，
令，
因为，所以，

所以原式，
又因为，
所以，

所以，
所以原式
，

当且仅当，即时，取等号，
故答案为．

9.【答案】大

【解析】

【分析】

本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题可得 ，根据可得，再根据基本不等式得到 ，即可求解．

【解答】

解： ，
，
 ，
，
  
 ，
当且仅当 ，即时，等号成立，
，
 有最大值，为，
故答案为：大；．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
根据题意，将变形为 ，展开利用基本不等式可得结论．

【解答】

解：根据题意，正实数，满足，
则

，
当且仅当，即时，取最小值，
故答案为：．

11.【答案】解：因为，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为．
因为，且，所以，且，

，当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为． 

【解析】本题考察基本不等式的运用，属于一般难度题．
利用即可；
利用即可．
 

12.【答案】解：，

令，可得，

又，解得，

故的最小值为．

设，则，

题中式子变为，

当且仅当，即，即时，取等号，

的最小值为．

【解析】本题主要考查了基本不等式求最值，属于中档题．
由基本不等式可得，，解不等式可求
换元将所求式变形为可使用基本不等式即可．