第三章函数的概念与性质核心素养练---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一

函数的概念与性质核心素养练

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

2.     对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为(    )

A.  B. 1 C.  D. 2

3.     若定义运算，则函数的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为以下关于狄利克雷函数的性质：①；②的值域为；③为奇函数；④，其中表述正确的个数是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

5.     在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.     德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，关于函数有以下四个命题，其中真命题是(    )

A. 函数是奇函数
B. ，，
C. 函数是偶函数
D. ，

7.     一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
   
   根据图1，以下四个说法中正确的是(    )

A. 在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加
B. 在整个跑道上，最长的直线路程不超过
C. 大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D. 在图2的四条曲线注：s为初始记录数据位置中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

8.     学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间单位：之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点；当时，图象是线段BC，其中根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，则老师安排核心内容的时间段为__________写成区间形式

9.     对于定义域为D的函数，若同时满足：①在D上单调递增或单调递减;②存在区间，使在上的值域为，那么把叫做闭函数，若是闭函数，则实数k的取值范围为__________.
10. 定义 ，若，则使不等式成立的x的取值范围为__________.
11. 设幂函数同时具有以下两个性质：

①函数在第二象限内有图象；

②对于任意两个不同的正数a，b，都有恒成立.

请写出符合上述条件的一个幂函数__________.

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

12. 本小题分

已知函数，

若，试判断的奇偶性，并说明理由；

若函数在上单调，且对任意，恒成立，求a的取值范围；

若，当时，求函数的最大值的表达式

13. 本小题分
    经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路.某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为20x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为25x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为单位：元
    求的函数关系式；
    当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
14. 本小题分

 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足下列条件：
①在内是单调的;②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”.
判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由;
如果是函数的一个“和谐区间”，求的最大值;

15. 本小题分

已知函数是幂函数，且

求函数的解析式;

试判断是否存在实数b，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值;若不存在，请说明理由.

16. 本小题分
    现有三个条件：
    ①对任意的都有；
    ②不等式的解集为；
    ③函数的图象过点
    请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解．
    已知二次函数，且满足______填所选条件的序号
    求函数的解析式；
    设，若函数在区间上的最小值为，求实数m的值．
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象和函数的奇偶性，属于基础题.
首先求解函数的定义域及奇偶性，再研究和时，函数值的正负情况，由排除法可得结论.

【解答】

解：函数的定义域为，且满足，
为奇函数，
当时，，故排除A，
当时，，故排除BD，
故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查新定义和利用基本不等式的求解参数问题，属于中档题.
 根据题意a与b为函数的一对“类指数”，根据已知关系式求得，再对利用基本不等式进行化简求解，即可求得k值.

【解答】

解：根据题意，正实数 a与 b为函数的一对“类指数”，
，
当且仅当，即 时取等号，

故答案为：

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查新定义，涉及一次函数和二次函数求值域.

根据可得的解析式，结合一次函数和二次函数求值域.

【解答】

解：由，得，

当，，

当，

，

可得

故选：

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题属新概念题，考查了学生的推理能力，属于基础题．
①②可以直接根据题意得到，③④可以利用题意进行推导出．

【解答】

解：因为是无理数，所以，①正确；
的函数值是1或0，所以的值域为，②正确；
若x是有理数，则是有理数，则，若x是无理数，则是无理数，则，
综上：是偶函数，③错误；
若x是有理数，则是有理数，则，若x是无理数，则是无理数，，④正确．
所以表述正确个数为
故选：

5.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的新定义问题，考查了解方程，同时考查了学生的计算能力．
逐个分析选项，解方程，若方程有解，则函数为“不动点”函数，否则函数不是“不动点”函数，

【解答】

解：对于选项A：当时，，方程无解，所以函数不是“不动点”函数，
对于选项B：当时，解得或，所以函数是“不动点”函数，
对于选项C：当时，，解得；当时，，方程无解，所以函数是“不动点”函数，
对于选项D：当时，解得，所以函数是“不动点”函数，
故选：

6.【答案】CD 

【解析】

【分析】

直接利用函数的性质，赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：函数的性质，赋值法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

【解答】

解：由于，
对于A，当x是有理数时，是有理数，
所以，
当x是无理数时，是无理数，
则，
故，有，是偶函数，所以A错误，
对于B，当，时，是无理数，
此时，，
则，所以B错误，
对于C，是偶函数，故有，
故函数为偶函数，故C正确；
对于D，，比如当时，，，故D正确．
故选：

7.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查了学生的识图能力及数形结合的思想应用，属于中档题.
结合图1分析可得，在到之间，图象上升，判断A；在整个跑道上，高速行驶时最长为之间，但直线加减速也有过程，判断BC；跑道应有3个弯道，且两长一短，判断

【解答】

解：由图1知，在到之间，图象上升，
故在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；
在整个跑道上，高速行驶时最长为之间，
但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过，故B不正确；
最长直线路程开始部分应在到之间，故C不正确；
由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确；
故选：

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．
由题设条件，可求出两段函数解析式，由题意，列出不等式组，即可求得能使得学生学习效果最佳的时间范围.

【解答】

解：当时，设，
将点代入得，则
当时，设，将点，代入得
解得，则
令或，得，
则老师安排核心内容的时间段为
故答案为

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了新定义问题，函数的单调性及函数零点与方程根的关系，属于中档题.
根据闭函数的定义，可得在上有两个不相等的实数根，进而可求出k的取值范围.

【解答】

解：若是闭函数，显然是定义域上的增函数，定义域是，对于 
有，所以方程在上有两个不相等的实数根，
在上有两个不相等的实数根.
令，则，有两个非负实根，
令，
又，在上单调递减，在上单调递增，，，
所以时有两个非负实根.
故答案为： 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查新概念下分段函数的应用问题，属于较难题.
关键在于根据定义将函数写出分段函数的形式，再分类讨论即可.

【解答】

解：由条件可得，
由可得
，或，
或，或，
解得或
故答案为

11.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是幂函数的图象的性质，单调性的定义，熟练掌握函数的图象和性质，理解函数性质的定义是解答本题的关键，属于基础题.
根据幂函数在第二象限内有图象，及在上是减函数，即可写出满足条件的一个函数解析式 .

【解答】

解：由幂函数在第二象限内有图象，所以，
对于任意两个不同的正数 a， b，都有恒成立，则在上是减函数，
所以幂函数的解析式可以是，
其图象如图，满足条件①②，

故答案为：答案不唯一

12.【答案】解：当时，，

，所以为非奇非偶函数.

方法一：当时，

因为函数在上单调，所以，

此时在上单调递增，

由题意：恒成立，则

所以
又，所以a的取值范围为

方法二：利用参数分离，当时，，
因为函数在上单调，且对任意，恒成立，
所以，即，右边最小值为，所以，解得：
又，
所以，

所以a的取值范围为

当时，

又，由上式知，在区间单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减.

所以，在上单调递增，在上单调递减，上单调递增.

则

综上所述，函数的最大值的表达式为：

【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，不等式的恒成立问题，对于绝对值函数转化为分段函数进行研究，属于较难题.
根据奇偶函数的定义判断；

根据上单调，可判断的增减性，利用单调性求出函数的最大值，问题可转化为最大值小于即可求解;也可以利用恒成立问题，求解参数的范围.

去绝对值可得根据函数的单调性求最值即可.

13.【答案】解：，
所以；
当时，，
由二次函数性质得当时，取最大值为元；
当时，，
而，
即，
当且仅当即时取等号，
所以元，
综上所述，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元． 

【解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论的思想方法进行求解，属于中档题．
根据该水果树的单株利润为市场售价单株产量肥料成本-其它成本，从而可求出的函数关系式；
一段利用二次函数的性质求出最大值，一段利用基本不等式求出函数的最大值，最后比较即可得到结论．
 

14.【答案】解：设是函数的“和谐区间”，则在上单调，
所以或，因此，在上为增函数，
则，，即方程有两个解m，n
又因为可化为：，而无实数解，
所以函数不存在“和谐区间”
因为在上单调递增，
所以或，则，，
所以m、n是方程的两个同号的实数根，
即方程有两个同号的实数根，注意到
只要，解得或，
所以，
其中或，所以当时，取最大值 

【解析】本题主要考查函数的新定义问题，属于拔高题.
根据定义，分析函数的单调性和定义域求解一元二次方程即可.
根据定义，分析函数的单调性和定义域以及一元二次方程根与系数的关系和一元二次函数最值即可求解.
 

15.【答案】解：函数是幂函数，且，
，且，
求得，故
设存在实数b，使函数在区间上的最大值为6，
由于的图象的对称轴为，
当时，则，求得；
当时，，求得舍去；
当时，则，求得，
综上可得，存在，满足条件． 

【解析】本题主要考查幂函数的定义和性质，利用二次函数的性质求最大值，属于中档题．
由题意利用幂函数的定义和性质，求得a的值，可得结论．
由题意利用二次函数的性质求出函数的最大值，可得b的值．
 

16.【答案】解：若选条件①②：
，
，
，解得，，
不等式的解集为，
，，

若选条件③②：
不等式的解集为，
，且，
函数的图象过点，，，

若选条件①③：由①得，
函数的图象过点，，，

由知，
则，且对称轴为，
①当，即时，则，，
②当，即时，则，舍去，
③当，即时，则，舍去，
综上，实数 

【解析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数性质的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．
分别求出每个条件下a，b，c满足的关系，再任选2个条件求出a，b，c的值，得到函数的解析式．
对函数的对称轴位置分3种情况讨论，分别求出的最小值，从而求出m的值，注意检验是否符合每种情况的取值范围．