第三章一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型及其应用练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型及其应用

一、单选题

1.     在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为万元、202万元和万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，(    )

A. 18 B. 19 C. 20 D. 21

2.     某手机生产线的年固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本万元．当年产量不足80千台时，万元；当年产量不小于80千台时，万元，每千台产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完．当年产量为千台时，该厂当年的利润最大？(    )

A. 60 B. 80 C. 100 D. 120

3.     通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所用的时间.若用表示学生掌握和接受概念的能力越大，表示学生的接受能力越强，x表示提出和讲授概念的时间单位：，长期的实验和分析表明，与x有以下关系：则下列说法错误的是(    )

A. 讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散
B. 讲课开始后第5分钟比讲课开始后第20分钟，学生的接受能力更强一点
C. 讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强
D. 需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成

二、多选题

4.     为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量单位：随时间单位：的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为：为常数，则下列说法正确的是(    )

A. 当时， B. 当时，
C. 教室内持续有效杀灭病毒时间为小时 D. 喷洒3分钟后开始进行有效灭杀病毒

三、填空题

5.     某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路如图阴影部分所示，大棚占地面积为 S平方米，其中，若要使S最大，则__________.
    

6.     为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增．第一阶梯：月用电量不超过240千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过400千瓦时的部分，电价为元/千瓦时．若某户居民10月份交纳的电费为360元，则此户居民10月份的用电量为__________千瓦时．
7.     在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园阴影部分，则其边长 x为__________
    

四、解答题

8.     在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为8厘米的材料弯折而成，BC边的长为2t厘米；曲线AOD是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为，记窗户的高点O到BC边的距离为

求函数的解析式；

要使得窗户的高最小，BC边应设计成多少厘米？

要使得窗户的高与BC边的长的比值达到最小，BC边应设计成多少厘米？

9.    在经济学中，函数的边际函数定义为某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x台的收益函数为单位：万元，成本函数单位：万元，该公司每月最多生产100台该医疗器材利润函数=收益函数-成本函数

求利润函数及边际利润函数

该公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大？最大值为多少精确到？

求利润函数的最大值，并解释边际利润函数的实际意义．

10. 2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品.
    在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且
    写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式；利润=销售收入-成本
    当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润.
11. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为万元和万元如图
    
    分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；
    该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
12. 本小题分

某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元，每加工x吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.

求加工后该农产品的利润万元与加工量吨的函数关系式;

求加工后的该农产品利润的最大值.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用函数模型解决实际问题，一元二次不等式的解法.
因为投产后的累计收入是关于月份x的二次函数，设出二次函数，利用待定系数法求出函数解析式，进而计算改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时x的取值.

【解答】

解：由题意可得：设投产后的累计收入的二次函数为，代入数据可得

解得






又

又x为正整数，
，
故选

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数模型，函数的应用，属于中档题.
求出利润的函数解析式，用分段函数表示，然后分段求出函数的最大值，比较大小求解即可.

【解答】

解： 设年产量为x千台，当年的利润为y万元，
则由已知有，
即，
当时，由二次函数性质知当时，y取得最大值950，
当时，由对勾函数单调性得，y在单调递增，在单调递减，所以当时，y取得最大值1000，
又，
所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润取得最大值1000万元.
故选

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查利用分段函数模型解决实际问题和分段函数的单调性，属于中档题．
分段研究函数的单调性即可判断选项A，求出和，比较大小即可判断选项B，由函数的单调性以及最值即可判断选项C，计算学生注意力至少达到55以上的持续时间，与13分钟比较即可判断选项

【解答】

解：由题意知，
当时，，
故函数在上单调递增，最大值为；
当时，，故为常数函数，
当时，，所以单调递减，所以，
所以讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，故选项A正确；
因为，，
所以讲课开始后第5分钟比讲课开始后第20分钟，学生的接受能力更强一点，故选项B正确；
由选项A可知，讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强，故选项C正确；
当时，令，则，所以，解得或，
又，所以；
当时，令，则，解得，
因此学生达到或超过的接受能力的时间为，
所以需要13分钟讲解的复杂问题，老师不可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成，故选项D错误．
故选：

4.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的应用，函数解析式及不等式解法，属于中档题．
利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．

【解答】

解：当时，设，
则，故，故A正确；
当时，把代入，
可得：，，时，，故B正确；
令得，令得，
则教室内持续有效杀灭病毒时间为小时，故C错误;
令得，则当喷洒分钟后开始进行有效灭杀病毒，故D正确；
故选：

5.【答案】45 

【解析】

【分析】

本题考查函数的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于拔高题．
由题意知，，将a和x均表示成关于y的代数式，利用矩形的面积公式将S表示成关于y的函数式，再结合基本不等式，即可得解．

【解答】

解：由题意知，，
，



，
当且仅当，即时，等号成立，此时S取得最大值，为1568，
若要使S最大，则y为
故答案为：

6.【答案】580 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：分段函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
设月用电量为单位：千瓦时，交纳的电费为单位：元，则，首先判断此户居民10月份的用电量，由此求出结果.

【解答】

解：设月用电量为单位：千瓦时，交纳的电费为单位：元，
当，，
当，，
当，，
根据题意得，
因为，
所以此户居民10月份的用电量，
由，解得
故答案为：

7.【答案】20 

【解析】

【分析】

本题主要考查了二次函数模型和函数的最值，属于中档题.
设矩形的另一边长为ym，由三角形相似得，，根据矩形的面积公式得到关于x的二次函数，再求最值即可.

【解答】

解：设矩形的另一边长为ym，
由三角形相似得，其中，，
，
内接矩形的面积为
当时，S有最大值.
故答案为

8.【答案】解：连接AD，因为D在的图象上，所以
又因为，点O到AD的距离为，
所以点O到BC的距离为，
即
由知，所以当时取得最小值，
即，
此时，
故要使得窗户的高最小，BC边应设计成3厘米.
窗户的高与BC边的长的比值为
因为，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以要使得窗户的高与BC边的长的比值达到最小， BC边应设计成厘米. 

【解析】本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
推导出，，再写出函数的解析式，即可；
利用二次函数求最值方法，求得中函数取最小值时BC长度.
，再结合基本不等式，即可得解．
 

9.【答案】 解：由题意知，，且，


， 



每台医疗器材的平均利润为：
，
当且仅当，即时等号成立;
因为，所以等号取不到，
根据函数的单调性可知，在单调递增，在上单调递减，
当月产生14台时，每台的平均利润约万元，
每月产生15台时，每台的平均利润约万元，
故每月产生14台时，每台医疗器材的平均利润最大万元；
，
当或时，
，，单调递减，所以反映产量与利润的增量关系，即多生产一台设备，医疗器材利润增量在减少. 

【解析】本题考查实际问题的处理方法，二次函数的简单性质的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力．
利用已知条件通过求解函数的解析式，以及边际利润函数的解析式； 
，当且仅当时等号成立，故等号取不到，利用对勾函数的单调性求解即可； 
利用二次函数的单调性求解即可．
 

10.【答案】解：当时，
，
当时，
，
年利润S的解析式为
当时，，
函数S在上单调递增，
当时，S取得最大值，为1450，
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时S取得最大值，为1490，
，
当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元． 

【解析】本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
分和两种情况，由利润=销售收入-成本，知，再代入的解析式，进行化简整理即可；
当时，利用配方法求出S的最大值，当时，利用基本不等式求出S的最大值，比较两个最大值后，取较大者，即可．
 

11.【答案】解：设 ， ，

所以 ， ，

即 ，  ；
设投资债券类产品 x万元，则股票类投资为万元，
依题意得：  ，
令  ，
则  ，

所以当，即万元时，收益最大，  万元．

【解析】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大小化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大小是最优化问题中，最常见的思路之一．

由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；

由的结论，设投资债券类产品x万元，则股票类投资为万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．

12.【答案】解：当时，
当时，
故加工后该农产品的利润万元与加工量吨的函数关系式为

当时，，
所以时，y取得最大值5万元;
当时，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以当时，y取得最大值6万元，
因为，所以当时，y取得最大值6万元. 

【解析】本题考查函数模型的应用，属于中档题.
分和两种情况求解即可;
分段求解，利用二次函数的性质和基本不等式求出最大值，比较即可.