不等式的证明练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一第二章重难点突破

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不等式的证明 一、解答题（本大题共11小题，共132.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）   本小题分已知为正实数．求证：；如果一个直角三角形的两条直角边分别为，且它的周长为．求证：斜边；求直角三角形面积的最大值．   本小题分选用恰当的证明方法，证明下列不等式．
已知，，，求证：
已知，，为正数，且满足证明：；   本小题分已知，，且．求证：；
求的最小值．   本小题分已知，，，求证：求证：．   本小题分已知，为正实数，且满足．若恒成立，求的最小值；证明：．   本小题分
已知，，求证：；
已知，，求证：．   本小题分若，，，均为正实数，求证：；利用的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时的值．   本小题分
设，，且求证：
；
与不可能同时成立．   本小题分已知，用比较法证明；已知，用反证法证明：．本小题分已知，，求证：．本小题分设，均为正实数，求证：．
答案和解析 1.【答案】解：为正实数，不等式等价于，
由所以，当时取“”；直角三角形的两条直角边分别为，则斜边，其周长为，由的结论，，所以，所以斜边；由斜边，得，面积为，
当时取“”，
所以直角三角形面积的最大值为． 【解析】本题考查了基本不等式及利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意，不等式等价于，进而利用基本不等式即可证明；
由的结论，，则可证斜边；
由斜边，得，则面积为，由此可得答案．
 2.【答案】证明：，，，，，均大于，
，
当且仅当，即时等号成立
，
当且仅当，即时等号成立
，
当且仅当，即时等号成立．以上三式相加得，当且仅当时等号成立．．证明：因为，，都是正实数，
因为，即，
只需证，当且仅当时，等号成立．同理，当且仅当时，等号成立同理，当且仅当时，等号成立以上三式相加得，
所以，
当且仅当时，等号成立． 【解析】本题主要考查了不等式的证明，以及基本不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
利用，，，三个式子相加可得结论；
由题可知，利用基本不等式，，三个式子相加可得结论．
 3.【答案】证明：欲证，需证，
由于，则需证，
，
因为，，
所以，当且仅当时等号成立
所以，
所以成立．所以成立．解：因为，，所以，当且仅当，即，取“”，故的最小值为． 【解析】本题考查基本不等式的运用，不等式的证明，属于中档题．
先运用分析法可知只需证，再根据和基本不等式可得即可证明不等式；先根据乘“”法得到，展开后再利用基本不等式即可求解最小值．
 4.【答案】证明：


，
任何数的平方都是恒大于等于的，所以得证
，，，，
同理：，．
．
故当且仅当即时等号成立． 【解析】本题考查作差法比较大小以及基本不等式的证明，属于中档题．
左边减去右边可得，即可得到结论；
运用基本不等式证明即可．
 5.【答案】解：因为，，，由基本不等式得，当且仅当时取等号．所以的最大值为，又因为恒成立，所以，的最小值为．因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，得证． 【解析】本题考查利用基本不等式求最值，不等式中的恒成立问题以及运用放缩法证明不等式，属于中档题．
通过基本不等式可得，从而得出的最大值，即可得出的最小值；
通过基本不等式进行放缩可得，再证明即可证明原结论．
 6.【答案】证明：



，
，，
，，
，当且仅当时，等号成立，
故，即得证．
证明：，，
，
要证，
只需证，
只需证，
只需证，即，，这是已知条件，故不等式得证． 【解析】本题主要考查不等式的证明，掌握作差法和分析法是解本题的关键，属于中档题．
根据已知条件，结合作差法，即可证明．
由，，可得，再结合分析法，即可求证．
 7.【答案】解：证明：，，，，，当且仅当时取等号，．，．，当且仅当，即时取得最小值，最小值为． 【解析】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
对展开运用基本不等式，证明，即可得到答案；
，即可得到最小值以及的值．
 8.【答案】证明：由，得，
由基本不等式及，有，
即，当且仅当时取等号．
假设与同时成立，则，
即：，
由知，因此，即，
而，因此，
因此矛盾，
因此假设不成立，原结论成立． 【解析】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和反证法证明，考查推理能力，属于基础题．
由已知等式可得，再由基本不等式即可得证；
运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明．
 9.【答案】证明：，因为，取等号的条件为，而，故等号无法取得，
即，又，所以，所以；假设，则，
所以由得，所以，又，所以，即矛盾，所以假设错误，所以． 【解析】本题考查作差法比较大小以及反证法证明，属于中档题．利用作差法比较大小即可；假设，则，结合中的结论，得到矛盾，即可得证．
 10.【答案】证明：
．因为，，所以，，，所以，故，即． 【解析】本题考查不等式的性质及不等式证明，考查作差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
利用作差法证明，证明右边减左边大于等于即可．
 11.【答案】解：由于，均为正实数，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
又，
当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当，
即时取等号． 【解析】本题考查基本不等式及不等式的证明，属于一般题．
利用基本不等式化简并证明，注意每次利用基本不等式都要考虑等号能否成立．