初中数学沪科版八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形15.3 等腰三角形课文ppt课件
展开1. 定理1 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 几何语言:如图15.3-1,在△ ABC 中, ∵ AB=AC, ∴∠ B =∠ C.
特别提醒1. 适用条件:必须在同一个三角形中.2. 作用:是证明角相等的常用方法,应用它证明角相 等时可省去三角形全等的证明,因而更简便.
2. 定理2 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边(简称“三线合一”).如图15.3-1,在△ ABC 中,(1)∵ AB=AC,AD ⊥ BC,∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD);(2)∵ AB=AC,BD=DC,∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC);(3)∵ AB=AC,AD 平分∠ BAC,∴ BD=DC(或AD ⊥ BC).
特别解读1. 适用条件:(1)必须是等腰三角形;(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平 分线才相互重合. 2. 作用:是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法.
3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴.
如图15.3-2,在△ ABC 中,AB=AC,AD 平分∠ BAC.(1)求∠ ADB 的度数;(2)若∠ BAC=100°,求∠ B,∠ C的度数;(3)若BC=3 cm,求BD 的长.
解题秘方:紧扣等腰三角形的性质进行解答.
特别解读1. 在等腰三角形中,运用“三线合一”的性质时,已知其中“一线”,就可以得到另外“两线”. 根据等腰三角形的“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条直线互相垂直.2.“等边对等角”的前提是在同一个三角形中.
解:(1)∵ AB=AC,AD 平分∠ BAC,∴ AD ⊥ BC,∴∠ ADB=90°.(2)在△ ABC 中,∵ AB=AC,∠ BAC=100°,∴∠ B= ∠ C= ×(180°-100°) =40°.(3)∵ AB=AC,AD 平分∠ BAC,∴ AD 是BC 边上的中线,∴ BD= BC= ×3=1.5(cm)
如图15.3-3,在△ ABC 中,AB=AC,BD,CE 分别是AC,AB 边上的高. 求证:BD=CE.
解题秘方:利用等腰三角形的边角性质为证 明△ BEC 和△ CDB 全等创造条件.
解法提醒 方法一是利用等腰三角形的定理1 为三角形全等提供角相等的条件来解决问题. 由此可得等腰三角形的性质:1. 等腰三角形两腰上的中线相等.2. 等腰三角形两腰上的高相等.3. 等腰三角形两底角的平分线也相等. 方法二是利用面积法,由此方法还可得等腰三角形的性质:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
证明:方法一:∵ AB=AC,∴∠ ABC= ∠ ACB.∵ BD ⊥ AC,CE ⊥ AB,∴∠ BDC= ∠ BEC=90° .在△ BEC 和△ CDB 中, ∠ EBC= ∠ DCB, ∠ BEC= ∠ CDB, BC=CB,∴△ BEC ≌△ CDB.(AAS)∴ BD=CE.
方法二:∵ S △ ABC= AB·CE,S △ ABC= AC·BD,AB=AC,∴ BD=CE.
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义: (1)已知等腰三角形底边上的中线,则它平分顶角,垂 直于底边; (2)已知等腰三角形顶角的平分线,则它垂直平分底边; (3)已知等腰三角形底边上的高,则它平分底边,平分顶 角.
2.等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等、 线段相等和线段垂直.在遇到等腰三角形的问题时,尝 试作这条辅助线,常常会有意想不到的效果.
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