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初中沪科版15.4 角的平分线教课ppt课件
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这是一份初中沪科版15.4 角的平分线教课ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了学习目标，本节要点，学习流程，知识点，作已知角的平分线，感悟新知，角的平分线的性质等内容，欢迎下载使用。
作已知角的平分线角的平分线的性质
1. 角的平分线的作法 (1)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线. (2)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线. (3)尺规作图法：保留作图痕迹，并指出结论.
2. 尺规作图步骤与图示已知∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线.作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB 于点N.
特别提醒1.“适当长为半径画弧”的目的是方便作图，不能太长也不要太短；
(2)分别以点M，N 为圆心，以大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C.
2.“以大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小于 MN 的长为半径，则画出的两弧不能相交；
(3)画射线OC. 射线OC 即为所求(如图15.4-1).
3.“画射线OC”不能叙述为“ 连接OC”， 因为角平分线是射线而不是线段；4. 依据作图可知△ OMC ≌ △ ONC，(SSS) 所以OC 平分∠ AOB.
如图15.4-2， 已知∠ AOB， 求作： ∠ AOM= ∠ AOB.
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可得原角的 四分之一角.
方法点拨 将一个角四等分，可先作这个角的平分线，将这个角二等分，再作分成的两个角的平分线，可将原角四等分.
解：作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F；(2)分别以点E，F 为圆心，以大于 EF 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部交于点C；(3)画射线OC；(4)同理，作∠ AOC 的平分线OM.∠ AOM 即为所求作的角(如图15.4-2).
1. 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. 角的平分线的性质的两个必要条件：(1)点在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离即点到角的两边垂线段的长度. 两者缺一不可.
2. 几何语言 如图15.4-3， ∵ OP 平分∠ AOB， PD ⊥ OA 于点D， PE ⊥ OB 于点E， ∴ PD=PE.
特别提醒 角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等). 利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”
[期末·烟台海阳] 如图15.4-4，AD 是△ ABC 的角平分线，DE ⊥ AC，垂足为E，BF ∥ AC 交ED 的延长线于点F，BC 平分∠ ABF，AE ＝ 2BF．(1)求证：DE ＝ DF；(2)若BF ＝ 2，求AB 的长．
方法点拨 运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线性质的模型(即两个必要条件)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题.
解题秘方：掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．解题中，通常过角平分线上一点作两边的垂线段，“角平分线，垂两边”.
(1)证明：如图15.4-4，过D 作DG ⊥ AB 于G，∵ AD 平分∠ CAB，DE ⊥ AC，∴ DE ＝ DG.∵ BF ∥ AC，∴∠ F ＝∠ CED ＝ 90°，即DF ⊥ BF.∵ BD 平分∠ ABF，∴ DF ＝ DG，∴ DE ＝ DF.
(2)解：在△ CDE 和△ BDF 中，∵ ∠CDE=∠BDF， DE=DF， ∠ CED= ∠ F， ∴△ CDE ≌△ BDF，(ASA)∴ CE ＝ BF，∠ C ＝∠ FBD.∵ AE ＝ 2BF， ∴ AE+CE ＝ 2BF+BF ＝ 3BF，即AC ＝ 3BF ＝ 6.∵∠ ABC ＝∠ FBD，∠ C ＝∠ FBD，∴∠ C ＝∠ ABC， ∴ AB ＝ AC ＝ 6．
[期末·淄博沂源] 如图15.4-5，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°，AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB 于点E，点F 在AC 上，且BD ＝ DF．(1)求证：CF ＝ EB；(2)请你判断AE，AF 与BE 之间的数量关系，并说明理由．
方法点拨 解决线段之间的和差问题，掌握角平分线的性质和三角形全等的判定和性质是解题的关键．
解题秘方：根据角平分线的性质得到线段相等，用线段 相等去证明三角形全等，再根据全等三角形的性质定理即可得证.
(1)证明：∵ AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB，∠ C ＝ 90°，∴ DC ＝ DE.在Rt △ DCF 和Rt △ DEB 中， DC=DE， DF=DB，∴ Rt △ DCF ≌ Rt △ DEB，∴ CF ＝ EB.
(2)解：AF+BE ＝ AE．理由如下：由(1)可知DC ＝ DE，又∵ AD=AD，∴ Rt △ DCA ≌ Rt △ DEA，(HL)∴ AC ＝ AE，∴ AF+FC ＝ AE，即AF+BE ＝ AE．
[模拟·济南章丘区]如图15.4-6，BD 平分∠ ABC 交AC 于点D，DE ⊥ AB 于E，DF ⊥ BC 于F，AB ＝ 6，BC ＝ 8，若S △ ABC ＝ 28，求DE 的长．
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和，可得出关于DE 的方程，求出即可．
方法点拨 求垂线段的大小，用等积法是首要选择，根据角平分线性质得出DE＝ DF 是解此题的关键．
解： ∵ BD 平分∠ ABC 交AC 于点D，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，∴ DE ＝ DF.∵ AB ＝ 6，BC ＝ 8，S △ ABC ＝ 28，∴ S △ ABC ＝ S △ ABD+S △ BCD ＝ AB•DE+ BC•DF ＝ DE•(AB+BC)＝ 28，即 DE×(6+8)＝ 28， ∴ DE ＝ 4．
1.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”： 如图，OC 平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F.
(1)角的相等关系：①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝ ∠PEF；②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝ ∠DFP＝∠EFP＝∠PDA＝∠PEB＝90°；③∠DPO＝ ∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.
2. 运用角的平分线的性质解决与面积有关的问题的方法： 首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关 系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边长 之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可 解决问题．
3. 过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最 常用的作辅助线的方法．
作已知角的平分线角的平分线的性质
1. 角的平分线的作法 (1)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线. (2)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线. (3)尺规作图法：保留作图痕迹，并指出结论.
2. 尺规作图步骤与图示已知∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线.作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB 于点N.
特别提醒1.“适当长为半径画弧”的目的是方便作图，不能太长也不要太短；
(2)分别以点M，N 为圆心，以大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C.
2.“以大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小于 MN 的长为半径，则画出的两弧不能相交；
(3)画射线OC. 射线OC 即为所求(如图15.4-1).
3.“画射线OC”不能叙述为“ 连接OC”， 因为角平分线是射线而不是线段；4. 依据作图可知△ OMC ≌ △ ONC，(SSS) 所以OC 平分∠ AOB.
如图15.4-2， 已知∠ AOB， 求作： ∠ AOM= ∠ AOB.
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可得原角的 四分之一角.
方法点拨 将一个角四等分，可先作这个角的平分线，将这个角二等分，再作分成的两个角的平分线，可将原角四等分.
解：作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F；(2)分别以点E，F 为圆心，以大于 EF 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部交于点C；(3)画射线OC；(4)同理，作∠ AOC 的平分线OM.∠ AOM 即为所求作的角(如图15.4-2).
1. 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. 角的平分线的性质的两个必要条件：(1)点在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离即点到角的两边垂线段的长度. 两者缺一不可.
2. 几何语言 如图15.4-3， ∵ OP 平分∠ AOB， PD ⊥ OA 于点D， PE ⊥ OB 于点E， ∴ PD=PE.
特别提醒 角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等). 利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”
[期末·烟台海阳] 如图15.4-4，AD 是△ ABC 的角平分线，DE ⊥ AC，垂足为E，BF ∥ AC 交ED 的延长线于点F，BC 平分∠ ABF，AE ＝ 2BF．(1)求证：DE ＝ DF；(2)若BF ＝ 2，求AB 的长．
方法点拨 运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线性质的模型(即两个必要条件)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题.
解题秘方：掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．解题中，通常过角平分线上一点作两边的垂线段，“角平分线，垂两边”.
(1)证明：如图15.4-4，过D 作DG ⊥ AB 于G，∵ AD 平分∠ CAB，DE ⊥ AC，∴ DE ＝ DG.∵ BF ∥ AC，∴∠ F ＝∠ CED ＝ 90°，即DF ⊥ BF.∵ BD 平分∠ ABF，∴ DF ＝ DG，∴ DE ＝ DF.
(2)解：在△ CDE 和△ BDF 中，∵ ∠CDE=∠BDF， DE=DF， ∠ CED= ∠ F， ∴△ CDE ≌△ BDF，(ASA)∴ CE ＝ BF，∠ C ＝∠ FBD.∵ AE ＝ 2BF， ∴ AE+CE ＝ 2BF+BF ＝ 3BF，即AC ＝ 3BF ＝ 6.∵∠ ABC ＝∠ FBD，∠ C ＝∠ FBD，∴∠ C ＝∠ ABC， ∴ AB ＝ AC ＝ 6．
[期末·淄博沂源] 如图15.4-5，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°，AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB 于点E，点F 在AC 上，且BD ＝ DF．(1)求证：CF ＝ EB；(2)请你判断AE，AF 与BE 之间的数量关系，并说明理由．
方法点拨 解决线段之间的和差问题，掌握角平分线的性质和三角形全等的判定和性质是解题的关键．
解题秘方：根据角平分线的性质得到线段相等，用线段 相等去证明三角形全等，再根据全等三角形的性质定理即可得证.
(1)证明：∵ AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB，∠ C ＝ 90°，∴ DC ＝ DE.在Rt △ DCF 和Rt △ DEB 中， DC=DE， DF=DB，∴ Rt △ DCF ≌ Rt △ DEB，∴ CF ＝ EB.
(2)解：AF+BE ＝ AE．理由如下：由(1)可知DC ＝ DE，又∵ AD=AD，∴ Rt △ DCA ≌ Rt △ DEA，(HL)∴ AC ＝ AE，∴ AF+FC ＝ AE，即AF+BE ＝ AE．
[模拟·济南章丘区]如图15.4-6，BD 平分∠ ABC 交AC 于点D，DE ⊥ AB 于E，DF ⊥ BC 于F，AB ＝ 6，BC ＝ 8，若S △ ABC ＝ 28，求DE 的长．
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和，可得出关于DE 的方程，求出即可．
方法点拨 求垂线段的大小，用等积法是首要选择，根据角平分线性质得出DE＝ DF 是解此题的关键．
解： ∵ BD 平分∠ ABC 交AC 于点D，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，∴ DE ＝ DF.∵ AB ＝ 6，BC ＝ 8，S △ ABC ＝ 28，∴ S △ ABC ＝ S △ ABD+S △ BCD ＝ AB•DE+ BC•DF ＝ DE•(AB+BC)＝ 28，即 DE×(6+8)＝ 28， ∴ DE ＝ 4．
1.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”： 如图，OC 平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F.
(1)角的相等关系：①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝ ∠PEF；②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝ ∠DFP＝∠EFP＝∠PDA＝∠PEB＝90°；③∠DPO＝ ∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.
2. 运用角的平分线的性质解决与面积有关的问题的方法： 首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关 系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边长 之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可 解决问题．
3. 过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最 常用的作辅助线的方法．
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