高中数学三角函数大题总结版练习题（有答案）

三角函数大题总结版

一.与向量结合

1．设函数，其中向量，且．

(1)求实数m的值；

(2)求函数的最小值．

2．已知向量，，函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值以及对应的的值.

通关题

3．设函数，其中向量．

(1)求函数的最大值和最小正周期；

(2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．

二.与零点对称中心结合

4．已知函数f(x)＝sin2ωx+cos2ωx+1（0＜ω＜5），将函数的图像向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，x＝是g(x)一个零点．

(1)求函数y＝f(x)的最小正周期；

(2)求函数y＝g(x)在上的单调区间．

5．已知函数．

(1)求函数的对称中心及最小正周期；

(2)若，，求的值．

通关题

6．已知函数的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式；

(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域；

(3)设，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.

三.最值问题

7．已知函数（，）．且 的最大值为1；其图像的相邻两条对称轴之间的距离为．求：

(1)函数的解析式；

(2)若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值．

8．已知函数．

(1)求图像的对称轴方程；

(2)若存在，使得成立，求m的取值范围．

通关题

9．已知是函数的两个相邻的对称中心的点的横坐标.

(1)若对任意，都有，求的取值范围；

(2)若关于的方程在区间上有两个不同的根，求的取值范围.

四.图像类

10．已知，函数的部分图象如图所示．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求函数在[0，]上的值域．

11．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.求函数在上的值域.

通关题

12．若函数的图像经过点，其导函数的部分图像如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若关于的方程在区间上有两个不同的解，，求的值及实数的范围.

五.与三角形结合

13．已知函数．

(1)求的单调递增区间；

(2)记分别为内角的对边，且，的中线，求面积的最大值．

14．已知向量，，.

(1)求函数的最小正周期，并求当时的取值范围；

(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的面积．

通关题

15．已知函数在区间上的最大值为3．

(1)求常数m的值；

(2)在△ABC中，若，求的最大值．

答案

1．设函数，其中向量，且．

(1)求实数m的值；

(2)求函数的最小值．

【答案】(1)1；

(2)．

【分析】(1)利用平面向量数量积的坐标表示求出f(x)，再结合即可求出值；

(2)根据辅助角公式化简f(x)解析式，进而根据正弦型函数的性质得到答案．

【详解】（1）向量，，，

，

又，∴，解得．

（2）由(1)得，

当时，的最小值为．

2．已知向量，，函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值以及对应的的值.

【答案】(1)

(2)时，，时，.

【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算以及三角函数辅助角公式，可得，再结合三角函数单调性，即可求得单调增区间.

（2）利用换元法，再结合三角函数图像性质，即可求解.

【详解】（1）

令，

∴函数的单增区间为.

（2）由（1）可知，，

令，

当即时，

当即时，.

3．设函数，其中向量．

(1)求函数的最大值和最小正周期；

(2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．

【答案】(1)的最大值为，最小正周期为

(2)

【分析】（1）利用数量积的坐标运算，二倍角公式以及辅助角公式对进行化简，即可求解；

（2）先求出的对称中心，可得，再通过要最小即可求解

【详解】（1）因为

所以，

所以，

所以的最大值为，最小正周期为；

（2）由可得即，

所以的对称中心为，

于是，，

因为为整数，要使最小，则只有，此时即为所求

4．已知函数f(x)＝sin2ωx+cos2ωx+1（0＜ω＜5），将函数的图像向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，x＝是g(x)一个零点．

(1)求函数y＝f(x)的最小正周期；

(2)求函数y＝g(x)在上的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调递增区间为；单调递减区间为；

【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的零点求出函数的关系式，进一步求出函数的最小正周期；

（2）利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调性的应用求出结果．

【详解】（1）函数；

将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，

由于，整理得：，

故或，

整理得或，

即ω＝6k+3或ω＝6k+5（k∈Z）；由于，

所以k＝0，ω＝3，故，

所以函数y＝f(x)的最小正周期为；

（2）由于函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，

令，

整理得；

由于，故函数的单调递增区间为；

令，

整理得；

由于，整理得函数的单调递减区间为．

所以函数y＝g(x)在上的单调递增区间为，单调递减区间为．

5．已知函数．

(1)求函数的对称中心及最小正周期；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)函数的对称中心为，，函数的最小正周期为；

(2).

【分析】(1)根据三角恒等变换公式化简函数的解析式，结合正弦函数性质求函数的对称中心及最小正周期；(2)由(1)可得，结合两角差正弦函数，二倍角公式，同角关系化简可求.

【详解】（1）

，

，

，

令，，可得，，

又，

所以函数的对称中心为，，

函数的最小正周期；

（2）因为，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

故，

所以，

所以或，

又，故.

6．已知函数的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式；

(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域；

(3)设，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.

【答案】(1)；

(2)；

(3)，

【分析】（1）先化简整理得，利用周期求得，即得；

（2）利用图像变换得，用换元法即可求出函数的值域；

（3），结合正弦函数的图像，求出与的值

【详解】（1），

∵相邻两对称轴间的距离为，则，∴，故

（2）函数的图像向右平移个单位长度得的图像，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得的图像，

当时，，则当时，取得最小值，为-2，当时，取得最大值，为，故函数的值域为

（3），由得，设，则，结合正弦函数的图像，

得在有5个解，即，其中，

即，整理得，

∴.

综上，，

7．已知函数（，）．且 的最大值为1；其图像的相邻两条对称轴之间的距离为．求：

(1)函数的解析式；

(2)若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先将用三角恒等变换公式化简，再根据最大值和相邻两条对称轴之间的距离分别求出a和代入即可；（2）根据三角函数图像变换规律，得到函数的解析式，再根据正弦函数的图像与性质求的最大值.

【详解】（1），

因为的最大值为1，的相邻两条对称轴之间的距离为

所以，，解得，，所以

（2）将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得函数的图像，再将其向右平移个单位可得函数的图像，所以，

因为，所以，

因为在区间上的最小值为，

所以，，解得．所以的最大值为．

8．已知函数．

(1)求图像的对称轴方程；

(2)若存在，使得成立，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知，根据题意先对函数进行化简，得到，然后令即可直接求解其对称轴方程；

（2）由已知，根据第（1）问化简后的函数，先求解时，函数的最大值，然后代入中，即可直接求解m的取值范围.

【详解】（1）．

令，解得．

故图像的对称轴方程为．

（2）因为，所以．

当，即时，取最大值，．

因为存在，使得成立，所以，

解得，故m的取值范围为．

9．已知是函数的两个相邻的对称中心的点的横坐标.

(1)若对任意，都有，求的取值范围；

(2)若关于的方程在区间上有两个不同的根，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三角恒等变换化简，根据周期为求出，得到解析式，不等式恒成立转化为求在给定区间上的最大值，利用正弦型函数的图象与性质求解即可；

（2）化简方程，求出自变量变化时的范围，再作出正弦函数的图象，数形结合求解即可

【详解】（1）

，

因为是函数相邻两个对称中心的横坐标，所以，解得，

，

若对任意，都有，只需，

由可得，故，

所以，

因此，即，解得或，

因此；

（2）关于的方程，化简后得

，，，

作出图象，如图，

由图可知，当，即时，有两根.

10．已知，函数的部分图象如图所示．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求函数在[0，]上的值域．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据图象可知，据此求出满足的条件，再由得解；

（2）由辅助角公式化简，根据所给角的范围，利用正弦函数性质求解.

【详解】（1）依题意可得，即，

则，即，

因为，所以，

故.

（2）由（1）知，

当时，，

则，

所以在[0，]上的值域为.

11．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.求函数在上的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据图像信息结合、、 的范围，分别求出、、 ，即可得到函数的解析式；

（2）先根据平移伸缩变换得到的表达式，再求函数在区间的最小值，即可得到实数的取值范围.

【详解】（1）由的部分图象可知，

，可得，所以，

由五点作图法可得，解得，

所以函数的解析式为.

（2）若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再把后者图象上所有点向左平行移动个单位长度，

得到函数的图象.

当时，，

所以.所以函数在上的值域为.

12．若函数的图像经过点，其导函数的部分图像如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若关于的方程在区间上有两个不同的解，，求的值及实数的范围.

【答案】(1)

(2)；

【分析】（1）结合图像及题目条件可得解析式，之后结合导数知识与题目已知可得答案.

（2）先由题目所涉变换得解析式，之后画出在间的图像.结合图像可得答案.

【详解】（1）根据图像可知，得，，

又图像过点，则，其中，

得，因，取，有，故.

注意到，其中C为常数.

则，

又过点，则，得.

所以；

（2）据题意及（1），

得.画出在图像.

关于的方程在区间上有两个不同的解，，

即在图像与直线有两个交点.由图，两交点关于对称.

则，得，

又结合图像有，∴实数的范围是.

13．已知函数．

(1)求的单调递增区间；

(2)记分别为内角的对边，且，的中线，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简可得，进一步可求得的单调递增区间；

（2）由题意先求出角，利用已知条件结合向量知识，可得，根据基本不等式可求得的最大值，进而得到面积的最大值．

【详解】（1）

由，

解得，

的单调递增区间为；

（2）因为，可得，

因为，所以即，

由及可得，

，

所以

所以

即，当且仅当时取到等号，

所以，

故面积的最大值为.

14．已知向量，，.

(1)求函数的最小正周期，并求当时的取值范围；

(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的面积．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用向量的数量积运算与倍角公式，逆用正弦的和差公式得到，进而可得其最小正周期与在上的值域；

（2）先利用图像的平移变换得到，进而求得，再利用余弦定理求得，最后利用三角形的面积公式即可求解.

（1）

∵，

∴函数的最小正周期；

当时，，所以，即，

∴的取值范围为：.

（2）

∵

∴，即，又∵，∴，

又∵在中，，

∴，即，即，

∴，

∴.

15．已知函数在区间上的最大值为3．

(1)求常数m的值；

(2)在△ABC中，若，求的最大值．

【答案】(1)；

(2)1

【分析】（1）由三角恒等变换得，讨论最值即可解出m；

（2）由（1）和解出，，则由三角恒等变换得，结合角的范围讨论最值即可

【详解】（1），

由，则，则，

则，解得．

（2），，所以，

，则．

，

由，则，

所以的最大值为1．