课后素养落实(三)　共面向量定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　)

A．共面向量

B．共线向量

C．不共面向量

D．既不共线也不共面的向量

A　[因为2a－b能够用向量a，b来表示，由共面向量定理可知三个向量a，b,2a－b，它们一定共面．]

2．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为(　　)

A．    B．－    C．    D．－

A　[＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－．

又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，

∴－x－＝1，解得x＝．]

3．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y，其中真命题的个数是(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

B　[①若p＝xa＋yb，则p与a，b肯定在同一平面内，正确；

②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；

③若＝x＋y，则，，三个向量在同一平面内，P，M，A，B共面，正确；

④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．

所以真命题的个数为2．]

4．若a，b，c是三个不共面的向量，则(　　)

A．b＋c，b－c，a不共面   B．b＋c，b－c,2b不共面

C．b＋c，a，a＋b＋c不共面   D．a＋c，a－2c，c不共面

A　[∵2b＝(b＋c)＋(b－c)，

∴b＋c，b－c,2b共面，

∵a＋b＋c＝(b＋c)＋a，∴b＋c，a，a＋b＋c共面，

∵a＋c＝(a－2c)＋3c，∴a＋c，a－2c，c共面．]

5．(多选题)下列命题中错误的是(　　)

A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0

B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件

C．若，共线，则AB∥CD

D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面

BCD　[显然A正确；

若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故B错误；

若，共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；

只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．]

二、填空题

6．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系为________．

AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE　[由＝λ＋μ(λ，μ∈R)及共面向量定理可知：向量与向量、共面，即直线AB可能在平面CDE内，也可能和平面CDE平行．]

7．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x＝________．

　[已知＝x＋＋　且M，A，B，C四点共面，

则x＋＋＝1，解得x＝．]

8．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝________．

－1　[由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1．]

三、解答题

9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面．

[证明]　∵＝－，＝＋＝－，＝＝(＋)，

∴＝－＝(＋)－＝(－)＋＝＋，

∴与，共面．

10．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．

[解]　∵＝，＝，

∴＝2，＝2．

又∵＝＋＋＝＋＋(＋)

＝(＋)＋＋(＋)＝(＋)，①

又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，

∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω．

代入①式，得＝(2λ＋2ω)＝λ＋ω．

∴，，共面．

∴M，N，P，Q四点共面．

11．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[由点A，B，C，D共面得x＋y＝，

又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，

联立方程组解得x＝，y＝，所以x＋3y＝．]

12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必(　　)

A．在平面BAD1内   B．在平面BA1D内

C．在平面BA1D1内   D．在平面AB1C1内

C　[＝＋7＋6－4＝＋＋6－4

＝＋＋6－4

＝＋6(－)－4(－)

＝11－6－4，

于是M，B，A1，D1四点共面．]

13．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．

　[根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝．]

14．已知正三棱锥P­ABC的侧棱长为2 021，过其底面中心O作动平面α交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点，则＋＋＝________．

　[设|PM|＝x，|PN|＝y，|PS|＝z．

则＝·，＝·，＝·．

由O为底面△ABC中心，

＝＋＝＋×(＋)

＝＋[(－)＋(－)]＝

＝×·＋×·＋×·＝·＋·＋·，

又因为S，M，N，O四点共面，所以＋＋＝1且||＝||＝||＝2 021．

所以＋＋＝1，即＋＋＝，

即＋＋＝．]

15．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；

(2)用向量法证明：BD∥平面EFGH；

(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．

[解]　(1)如图，连接BG，因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则＝2，＝2，

则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，

由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．

(2)因为＝－＝－＝(－)＝．

所以EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH．

(3)连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，

由(2)知＝，同理＝，

所以＝，EH∥FG，EH＝FG，

所以EG、FH交于一点M且被M平分，

所以＝(＋)＝＝(＋＋＋)．