高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用教学课件ppt

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课后素养落实(七)　直线的方向向量与平面的法向量(建议用时：40分钟)一、选择题 1．若A(－1,0,2)，B(1,4,10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)A．(1,2,4)   B．(1,4,2)C．(2,1,4)   D．(4,2,1)A　[由已知得＝(1,4,10)－(－1,0,2)＝(2,4,8)＝2(1，2,4)，故选项A中的向量与共线，是直线l的一个方向向量．]2．(多选题)在空间直角坐标系O­xyz中，下列向量中是y轴方向向量的是(　　)A．(0,1,0)   B．(0，－1,0)C．(1,2,0)   D．(0,1,1)AB　[y轴方向向量可以表示为(0，k,0)(k≠0)，所以(1,2,0)，(0,1,1)不是y轴方向向量．]3．已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是(　　)A．6和－10   B．－6和10C．－6和－10   D．6和10A　[由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行，即＝＝，所以x，y的值分别是6和－10.]4．已知点A(1,2,1)，B(2,3,1)，C(3,0,2)，若直线l⊥平面ABC，直线l的方向向量为a＝(2，m，k)，则实数m等于(　　)A．－2  B．－1  C．1  D．2A　[由题意知＝(1,1,0)，＝(2，－2,1)．由a⊥，a⊥得所以]5．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则y＋z等于(　　)A．－3  B．0  C．1  D．3B　[由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0.]二、填空题6．在空间直角坐标系O­xyz中，平面xOy的一个法向量是________．(写出一个即可)(0,0,1)　[答案不唯一，只要与向量(0,0,1)平行的非零向量都可以．]7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________________．或　[设单位法向量n0＝(x，y，z)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．由|n0|＝1，n0·＝0，且n0·＝0，得解得或]8．在空间直角坐标系O­xyz中，已知平面α的一个法向量是n＝(1，－1,2)，且平面α过点A(0,3,1)．若P(x，y，z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是________．x－y＋2z＋1＝0　[由题意知·n＝0，即x－y＋2z＋1＝0.]三、解答题9．在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,0)，B(1,2,3)，P是线段AB上的一点，且满足AP∶PB＝1∶2.试求AB的一个方向向量和点P的坐标．[解]　＝(－1，－1,3)是直线AB的一个方向向量，由AP∶PB＝1∶2，得＝.设点P(x，y，z)，则(x－2，y－3，z)＝(－1，－1,3)．x－2＝－，y－3＝－，z＝1，∴x＝，y＝，z＝1.∴P.10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：是平面B1D1C的法向量．[证明]　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1，1,1)，C1(0,1,1)，所以＝(－1,1,1)，＝(1,1,0)，＝(1,0,1)，所以·＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0，·＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0，所以⊥，⊥，即AC1⊥D1B1，AC1⊥CB1，又B1D1∩CB1＝B1，B1D1，CB1⊂平面B1D1C，所以AC1⊥平面B1D1C，所以是平面B1D1C的法向量．11．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)A．(1，－4,2)   B.C.   D．(0，－1,1)D　[因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.]12．(多选题)已知向量＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)A.   B.C.   D.AB　[设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，则由题意得取z＝1，得x＝，y＝－1，则n＝，|n|＝，所以平面ABC的一个单位法向量是或.]13．已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．　[∵A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，∴＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)．∵⊥，⊥，∴·＝(－x,1，－z)·(－1，－1,1)＝0，·＝(－x,1，－z)·(2,0,1)＝0，∴∴∴点P的坐标为.]14．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为________．90°　[建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝2，则AB＝2，点B(0，－，0)，C1(0，，2)，B1(0，－，2)，A(－，0,0)，＝(，－，2)，＝(0,2，2)，·＝0－4＋4＝0，所以AB1与C1B所成角的大小为90°.]15．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．(1)求BM，BN的长；(2)求△BMN的面积．[解]　以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N.(1)∵＝(1，－1,1)，＝，∴||＝＝，||＝＝.故BM的长为，BN的长为.(2)∵cos∠MBN＝cos〈，〉＝＝＝，∴sin∠MBN＝＝，故S△BMN＝·|BM|·|BN|·sin∠MBN＝×××＝.即△BMN的面积为.