课后素养落实(九)　空间向量与垂直关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．u＝(2，－2,2)是平面α的一个法向量，v＝(1,2,1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是(　　)

A．α，β平行   B．α，β垂直

C．α，β重合   D．α，β不垂直

B　[u·v＝(2，－2,2)·(1,2,1)＝2×1－2×2＋2×1＝0，∴u⊥v，∴平面α⊥平面β．]

2．已知空间向量a＝(2,2，－3)，b＝(0,6，m)，若a⊥b，则m＝(　　)

A．    B．1    C．2    D．4

D　[a·b＝12－3m＝0，解得m＝4．]

3．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　)

A．相交   B．垂直

C．不垂直   D．成60°角

B　[因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥；因为·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD．]

4．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)

A．    B．－    C．    D．

B　[设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，

∵＝2，∴∴

∴D，＝，

∵⊥，∴·＝2＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．]

5．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)

A．EF至多与A1D，AC之一垂直

B．EF⊥A1D，EF⊥AC

C．EF与BD1相交

D．EF与BD1异面

B　[建立以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，

＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，

E，F，

＝，∴·＝0，·＝0，

∴EF⊥A1D，EF⊥AC．]

二、填空题

6．已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为________．

或　[三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)．

令平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，可得，

即，∴x＝y＝z，∵平面ABC的法向量n＝(x，y，z)为单位法向量，

∴x2＋y2＋z2＝1，解得x＝y＝z＝±，

故平面ABC的单位法向量是或．]

7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．

垂直　[由题意，a·b＝(－1,2，－4)·(2,3,1)＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，

∵根据平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，∴α⊥β．故答案为垂直．]

8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝________．

　[∵⊥，∴·＝0，∴3＋5－2z＝0，∴z＝4．

∵＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，

∴即

解得故＝．]

三、解答题

9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF．

[证明]　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M．

所以＝，＝(0，，1)，＝(，－，0)．

设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，

则n⊥，n⊥，

所以⇒

取y＝1，得x＝1，z＝－．则n＝(1,1，－)．

因为＝．

所以n＝－，得n与共线．

所以AM⊥平面BDF．

10．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点．求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1．

[证明]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，

由题意，知D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2，0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，

则＝(0，－，－4)，

＝(－，，0)．

设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)．

则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0，

得x＝y，z＝－y，令y＝1，得n＝．

易知平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)，

而n·＝1×(－2)＋1×2＋×0＝0，

即n⊥，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．

11．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论正确的有(　　)

A．AP⊥AB

B．AP⊥AD

C．是平面ABCD的法向量

D．∥

ABC　[由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以A、B、C正确，又＝－＝(2,3,4)．

∵＝(－1,2，－1)，不满足＝λ，

∴D不正确，故选ABC．]

12．(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是(　　)

A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)

B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)

C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)

D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)

AC　[∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1，0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；C中易证AC1⊥面B1CD1且＝(1,1,1)，∴C正确，D中，因＝(1,0,0)，∴·(0,1,1)＝0，又＝(0,1,1)，且(0,1,1)·(0,1,1)≠0，∴D不正确．]

13．已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________，若n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则x∶y∶z＝________．

　4∶4∶3　[设M(x，y，z)，∵＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意，得，

∴x＝－，y＝，z＝1，

∴点M的坐标为，

又＝(2,1，－4)．

n·＝x－y＝0且n·＝2x＋y－4z＝0，

令x＝1，则y＝1，z＝，∴x∶y∶z＝1∶1∶＝4∶4∶3．]

14．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________．

a或2a　[建立如图所示的空间直角坐标系，

则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，

D．

设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，

则＝(a，－a，z)，

＝(a,0，z－3a)，

＝．

又·＝a2－a2＋0＝0，

·＝2a2＋z2－3az＝0，

解得z＝a或2a．故AE＝a或2a．]

15．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BC的中点．

(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P⊥平面B1AE?

(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE?

[解]　(1)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点A，E，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，＝(0，－1，－1)，＝．假设存在点P(1，1，z)满足题意，于是＝(1,1，z－1)，

所以所以

解得矛盾．故在B1B上不存在点P使D1P⊥平面B1AE．

(2)假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．

设N(1，y，z)，则

因为＝(1，y，z－1)，所以

解得

故平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．