课后素养落实(十三)　分类计数原理与分步计数原理的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　)

A．25　    B．20　    C．16　    D．12

C　[分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16．]

2．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)

A．24种　    B．30种　    C．36种　    D．48种

D　[由题意知本题是一个分步计数问题，

需要先给最上面一块着色，有4种方法，

再给中间左边一块着色，有3种方法，

再给中间右边一块着色有2种方法，

最后给下面一块着色，有2种方法，

根据分步计数原理知共有4×3×2×2＝48种方法．]

3．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　)

A．6种　    B．7种　    C．8种　    D．9种

D　[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类计数原理知，共有9种不同的选派方法．]

4．从集合{1,2,3}和{1,4,5,6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为(　　)

A．12　    B．11　    C．24　    D．23

D　[先在{1,2,3}中取出一个元素，共有3种取法，再在{1,4,5,6}中取出一个元素，共有4种取法，取出的两个数作为点的坐标有2种方法，由分步计数原理知不同的点的个数有N＝3×4×2＝24个．又点(1,1)被算了两次，所以共有24－1＝23个．]

5．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少出现一次，这样的四位数的个数是(　　)

A．20　    B．16　    C．14　    D．12

C　[因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以符合题意的有2×2×2×2－2＝14个．]

二、填空题

6．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同分法的种数是________．

720　[由题意知，本题是一个分步计数问题，因为3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，所以第一张有10种不同的分法，第二张有9种不同的分法，第三张有8种不同的分法，根据分步计数原理知有10×9×8＝720种不同的分法．]

7．用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2 000大的四位奇数________个．

120　[按末位是1,3,5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类：末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类：末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类计数原理知共有48＋36＋36＝120个．]

8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有________种．

420　[如图，四棱锥S­ABCD，按S→A→B→C→D依次染色，当A，C同色时有5×4×3×1×3＝180种．

当A，C不同色时，有

5×4×3×2×2＝240种．

因此共有180＋240＝420种．]

三、解答题

9．用0,1,2,3，…，9十个数字可以组成多少个不同的：

(1)三位数；

(2)无重复数字的三位数；

(3)小于500且没有重复数字的自然数．

[解]　(1)由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，

所以不同的三位数共有9×10×10＝900个．

(2)百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法，个位数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648个无重复数字的三位数．

(3)一位自然数有10个，二位自然数有9×9＝81个，三位自然数有4×9×8＝288个．

所以共有10＋81＋288＝379个小于500且无重复数字的自然数．

10．用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，

要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方法．

[解]　法一：分类：

第一类，A，D同色，有6×5×4＝120种涂法，

第二类，A，D异色，有6×5×4×3＝360种涂法，

共有120＋360＝480种涂法．

法二：分步：先涂B区，有6种涂法，再涂C区，有5种涂法，最后涂A，D区域，各有4种涂法，

所以共有6×5×4×4＝480种涂法．

法三：以四个区域涂n种颜色为标准分类，可知至少用三种颜色，最多用四种颜色．

第一类：用三种颜色着色，A，D区域必须是同种颜色，

有6×5×4＝120种涂法．

第二类：用四种颜色着色，四个区域的颜色均不相同，

有6×5×4×3＝360种涂法．

所以共有120＋360＝480种不同涂法．

11．(多选题)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为(　　)

A．1　    B．2　    C．3　    D．4

BD　[设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．若任意两位同学之间都进行交换，共进行5＋4＋3＋2＋1＝15次交换，现共进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能有两种情况：

(1)由3人构成的2次交换，如a—b和a—c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人．选B．

(2)由4人构成的2次交换，如a—b和c—e之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人，选D．故选BD．]

12．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有(　　)

A．50种　    B．49种　    C．48种　    D．47种

B　[以A中最大的数为标准，进行分类讨论．A中最大的数可能为1,2,3,4，共四种情况．

按分类计数原理做如下讨论：

①当A中最大的数为1时，B可以是{2,3,4,5}的非空子集，即有24－1＝15种方法．

②当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{1,2}，B可以是{3,4,5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14种方法．

③当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，B可以是{4,5}的非空子集，即有4×(22－1)＝12种方法．

④当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，B可以是{5}，即有8×1＝8种方法．

故共有15＋14＋12＋8＝49种方法．]

13．用数字1,2,3,4,5,6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列，这个数列的项数为________，这个数列的第90项为________．

120　532　[第一步确定百位数，有6种方法，第二步确定十位数有5种方法，第三步确定个位数有4种方法，根据分步计数原理知共有N＝6×5×4＝120个三位数．所以该数列的项数为120．

百位是1,2,3,4的共有4×5×4＝80个，百位数是5的三位数中，十位是1或2的共有4＋4＝8个，故第88个为526、第89个为531、第90个为532．]

14．对于各数互不相等的正数数组(i1，i2，…，in)(n是不小于2的正整数)，如果在p<q时有ip<iq，则称“ip与iq”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组(2,4,3,1)中有顺序“2,4”“2,3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组(a1，a2，a3，a4，a5)的“顺序数”是4，则(a5，a4，a3，a2，a1)的“顺序数”是________．

6　[根据题意，各数互不相等的正数数组(a1，a2，a3，a4，a5)的“顺序数”是4，假设a1<a2，a1<a3，a1<a4，a1<a5，且后一项都比前一项小，因此可以判断出a2>a3，a3>a4，a4>a5，则(a5，a4，a3，a2，a1)的“顺序数”是6．]

15．用1,2,3,4四个数字(数字可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．

(1)写出这个数列的前11项；

(2)若an＝341，求项数n．

[解]　(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133．

(2)比an＝341小的数有两类：

故共有：2×4×4＋1×3×4＝44(项)．因此an＝341是该数列的第45项，即n＝45．