高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列课前预习ppt课件

课后素养落实(二十五)　离散型随机变量的方差与标准差

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知离散型随机变量X的概率分布列为

则其方差D(X)＝(　　)

A．1  B．0.6  C．2.44  D．2.4

C　[∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，

∴0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3，

所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，

所以D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.]

2．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表，其中射击比较稳定的运动员是(　　)

A.甲   B．乙

C．一样   D．无法比较

B　[E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56，D(η)<D(ξ)，所以乙射击比较稳定．]

3．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝(　　)

A.0.36  B．0.52  C．0.49  D．0.68

C　[由随机变量分布列的性质得p＝.

由E(ξ)＝0×＋1×＋x＝1.1，得x＝2.

所以D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.]

4．已知随机变量X的分布列如下：

若E(X)＝，则D(X)的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

C　[由分布列的性质可知a＋b＋＝1，又E(X)＝－a＋＝，解得a＝，b＝，D(X)＝－1－2×＋0－2×＋1－2×＝.]

5．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列为

那么，当p在(0,1)内增大时，D(ξ)的变化是(　　)

A．减小  B．增大

C．先减小后增大  D．先增大后减小

B　[根据题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，

D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，

∴当p在(0,1)内增大时，D(ξ)的变化是增大．]

二、填空题

6．已知随机变量ξ的分布列为

若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.

　[由E(ξ)＝1×0.5＋2x＋3y＝，整理得：2x＋3y＝，

由0.5＋x＋y＝1，即x＋y＝，

∴x＝，y＝，

D(ξ)＝1－2×0.5＋2－2×＋3－2×＝.]

7．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.

　[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得

所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.]

8．已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(a∈R，n＝1,2,3)，则D(X)＝________.

　[因为P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，

所以a＋＋＝1，解得a＝，

所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，

所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝，

D(X)＝1－2×＋2－2×＋3－2×＝.]

三、解答题

9．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．试求E(ξ)，E(η)，D(ξ)，D(η)并比较大小．

[解]　当n＝3时，ξ的可能取值为1,2,3，

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，

∴E(ξ)＝＋2×＋3×＝2，

D(ξ)＝＋＝，

当n＝4时，η可取1,2,3,4，

P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝，P(η＝3)＝＝，P(η＝4)＝＝，

∴E(η)＝＋2×＋3×＋4×＝，

D(η)＝×1－2＋×2－2＋×3－2＋×4－2＝，

∴E(ξ)＜E(η)，D(ξ)＜D(η)．

10．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y.

求：(1)X所取各值的概率；

(2)随机变量X的均值与方差．

[解]　(1)P(X＝0)＝＝；

P(X＝1)＝＝；

P(X＝2)＝＝；

P(X＝4)＝＝.

(2)X的分布列如下：

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.

D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝.

11．(多选题)已知随机变量ξ的分布列是

随机变量η的分布列是

则当p在(0,1)内增大时，下列选项中正确的是(　　)

A．E(ξ)＝E(η)  B．D(ξ)＝D(η)

C．E(ξ)增大  D．D(η)先增大后减小

BC　[对于A，∵η＝ξ＋2，∴E(η)＝E(ξ)＋2，故A错误；

对于B，∵η＝ξ＋2，∴D(ξ)＝D(η)，故B正确；

对于C，∵E(ξ)＝－＋p，

∴当p在(0,1)内增大时，E(ξ)增大，故C正确；

对于D，∵E(η)＝＋2×＋3×＝＋，

∴D(η)＝－－2×＋－2×＋－2×＝－(p－2)2＋，

∴当p在(0,1)内增大时，D(η)单调递增，故D错误．]

12．(多选题)设0<a<1，随机变量X的分布列是

则当a在(0,1)内增大时，(　　)

A．E(X)增大

B．D(X)减小

C．D(X)先增大后减小

D．D(X)先减小后增大

AD　[由分布列可得：E(X)＝0×＋a×＋1×＝a＋，所以当a在(0,1)内增大时，E(X)增大，故选项A正确；

D(X)＝0－a＋2×＋a－a＋2×＋1－a＋2×＝(a2－a＋1)＝a－2＋，

当0<a<时D(X)减小，当<a<1时D(X)增大，

所以D(X)先减小后增大，故选项D正确，故选AD.]

13．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于________，此时直线mx＋ny＝2的斜率为________．

0　－1　[由分布列的性质，得a＋＝1，a＝.

∵E(X)＝2，∴＋＝2.∴m＝6－2n.

∴D(X)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.

∴n＝2时，D(X)取最小值0，此时m＝6－2×2＝2，mx＋ny＝2的斜率为－1.]

14．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为________．

3　[x1，x2满足

解得或

∵x1<x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.]

15．某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；

项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．

[解]　对于项目一，该项目年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和，设按该项目投资，获利为ξ万元，

则随机变量ξ的分布列为

∴E(ξ)＝300×－150×＝200(万元)，

D(ξ)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000.

对于项目二，该项目年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和，设按该项目投资，获利为η万元，

则随机变量η的分布列为

∴E(η)＝500×＋0×－300×＝200(万元)，

D(η)＝(500－200)2×＋(0－200)2×＋(－300－200)2×＝140 000.

∵E(ξ)＝E(η)，D(ξ)<D(η)，

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．

综上所述，建议该公司选择项目一投资．