2022-2023学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列函数中是二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是(    )

A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 不能确定

3. 下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 义乌明年元旦会下雨 B. 一个三角形三内角的和为
C. 任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 D. 有一匹马奔跑的速度是米秒

4. 如图，一根排水管的截面是一个半径为的圆，管内水面宽，则水深为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的．有、、三个点都在横线上，若，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的(    )
    

A. 当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的概率是
B. 若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率一定是
C. 随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是
D. 当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率一定是．

8. 如图，已知为中边上的中线，过重心作，交于点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，，是的两条直径，，点是劣弧上任意一点，过点作的垂线，交、所在直线于点、，过点作的垂线，交、所在直线于点、，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是(    )

A.
B.
C. 当平分弧时，四边形为菱形
D. 当≌时，
 

10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，且平行于轴，当函数的图象在矩形内部的部分均为随的增大而减小时，下列选项中符合条件的的取值范围为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 若，则的值为______．
12. 一个不透明的袋中装有只有颜色不同的个红球和若干个白球，从袋中摸出红球的概率为，那么这个袋中一共装有______个球．
13. 两个相似多边形的周长之比为：，则它们的面积之比为______．
14. 为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为______米．

15. 已知，抛物线上有两点，，将抛物线沿水平方向平移，平移后点的对应点为，点的对应点为，且四边形刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为______．
16. 商场卫生间旋转门锁的局部如图所示，如图锁芯固定在距离门边处即，在自然状态下，把手竖直向下把手底端到达旋转一定角度，把手底端恰好卡住门边时，底端、的竖直高度差为当把手旋转到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度把手底端到门边的垂直距离______，当把手旋转到时，，此时有效的固定长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知二次函数的图象经过点．
    求的值：
    自变量在什么范围内时，随的增大而增大？
18. 本小题分
    如图，、是的两条弦，且，，，垂足分别为、，．
    求证：四边形是正方形；
    若，求的半径．

19. 本小题分
    “勤拼好学、刚正勇为、诚信包容”的义乌精神由世世代代义乌人民在生产生活之中凝练而成．现将质地大小完全相同，上面依次标有“义”“乌”“精”“神”字样的四个彩球放入同一个不透明的袋子．
    小伊在袋子中随机摸出一个彩球，摸中“义”这个彩球的概率为______；
    若小伊在袋子中随机摸出一个彩球不放回，再摸出一个彩球．请用树状图或者列表法分析可能出现的结果，并求出两次摸球能拼出“义乌”的概率是多少？
20. 本小题分
    如图在的正方形网格中，每一个正方形的顶点都称为格点，的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图．
    在图网格中作格点三角形，使与相似，且相似比不等于；
    如图，将绕点逆时针旋转得到点对应点，画出．

21. 本小题分
    某商店购进了个冬奥纪念品，进价每个元，原计划以每个元的价格每天销售个，三天可以售完．实际销售中，销售价格与销售数量都有变化，市场调研显示，该产品每降低元，可多售出个，设第二天的销售单价降低元，这批旅游纪念品三天的销售总利润为元，三天的销售情况如表：请解决以下问题：

用含的代数式表示第二天的销售数量；
求这批旅游纪念品三天的销售总利润关于的函数表达式；
若第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，求这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是多少？

22. 本小题分
    如图，为的边上一动点，且与，不重合，过点作的平行线交于，作的平行线交于点．
    求证：∽；
    若，的面积为．
    若：：时，求四边形的面积；
    若，试探究当点在运动过程中，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出该值：若不存在，请说明理由．

23. 本小题分
    某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
    获得图象：
    计算与的几组对应值，列表如下：

如图，在直角坐标系中画出了函数将这个图象补画完整．
探究性质：
根据函数图象，写出该函数的一个正确结论：解决问题：
若过定点的直线与函数的图象只有一个交点，请结合函数图象求出的取值范围．

24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点坐标为，点是射线上不与点重合的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到，连结、．
    求证：；
    如图，连结，，当与相似时，求的长；
    当点关于直线的对称点落在正方形的边上时，求点的坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是二次函数，故A符合题意；
B、，是一次函数，故B不符合题意；
C、，是反比例函数，故C不符合题意；
D、，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：．
根据二次函数的定义：形如为常数且，逐一判断即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
【解答】
解：的半径为，点到圆心的距离为，
，
点与的位置关系是：点在圆内，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、义乌明年元旦会下雨，是随机事件，不符合题意；
B、一个三角形三内角的和为，是必然事件，符合题意；
C、任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地，是随机事件，不符合题意；
D、有一匹马奔跑的速度是米秒，是不可能事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，
由题意知，交于点，
，
，
在中，
，，
，
．
故选：．
由题意知，交于点，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论．
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：线段，点是线段的黄金分割点，
，
故选：．
由黄金分割点的定义，知是较长线段，再由黄金分割的公式计算即可．
此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，

由题意得：
，，
，
，
，
故选：．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，由题意得：，，然后进行计算即可解答．
本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的频率是，概率不一定是，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率不一定是，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率不一定是，故D选项不符合题意．
故选：．
根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：是重心，
：：，
，
：：：，
，
，
，
故选：．
根据重心的概念得到：：，根据平行线分线段成比例定理解答．
本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的倍．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
故选项正确，不符合题意；
B.∽，
，
，
，
故选项正确，不符合题意；
C.连接，

当平分弧时，则，
，
，
，
，
和都是等边三角形，
，
四边形为菱形，
故选项正确，不符合题意；
D.当≌时，则，
，，
为等边三角形，
，
，
此时、则与点重合，

，
设，则，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故选项错误，符合题意；
故选：．
A.根据三角形内角和定理证明，再通过三角形相似的判定定理得∽，由相似三角形的性质可判断；
B.由相似三角形的性质得便可判断；
C.连接，由圆的性质得，再证明和都是等边三角形，得出，便可判断；
D.≌时，则，再证明为等边三角形，得，此时、则与点重合，作出示意图，设圆的半径为，用表示与四边形的面积便可求得比值，从而判断．
本题是主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆的性质，全等三角形的性质等知识．综合应用这些知识解题是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线顶点在抛物线上，
由题意得点坐标为，点坐标为，
如图，当抛物线对称轴与重合时符合题意，

此时，
解得，
将点代入得，
解得，

时符合题意．
将点代入得，
解得，

将点代入得，
解得，

符合题意，
综上所述，或．
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线开口方向及顶点坐标，从而可得抛物线顶点的运动轨迹，结合图象求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是比例的性质的有关知识，熟练应用比例的合比性质．已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．
【解答】
解：根据比例的合比性质，已知，
则．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：设有白球个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则这个袋中一共装有：个球．
故答案为：．
有白球个，根据概率公式求出的值，再加上红球的个数，即可得出答案．
本题考查了概率公式：某随机事件的概率这个随机事件发生的情况数除以总情况数．
 

13.【答案】： 

【解析】解：相似多边形的周长的比是：，
周长的比等于相似比，因而相似比是：，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为：；
故答案为：：．
根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
本题考查相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
∽．
，
米，米，米，
．
．
故答案是：．
根据题意得到∽，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是判定相似三角形∽．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
．
四边形为菱形，
，
，
顶点为，
向右平移各单位的抛物线的顶点为
故答案为：
利用待定系数法求得函数的解析式得到顶点坐标，由四边形为菱形，得出，即可得出向右平移各单位的得到新抛物线，进而即可求得平移后的抛物线的顶点坐标．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，求得抛物线的解析式是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图，作于，

设，
则，，
，
在中，，
，
解得：，
，
．
连接，交于，作，，

，，
，
又，，
，，
，
中，，且是中点，
，
中，，
又，
∽，
，
，
，
，
，，
到的距离长等于的长，为．
故答案为：；．
作于，设，在中利用勾股定理求出，利用得到，连接，交于，作，，求出，，和，证明∽，可得，可得，即可得到到的距离．
本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是读懂题意，结合实际理解旋转门锁的运行原理．
 

17.【答案】解：二次函数的图象经过点，
，
；
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大． 

【解析】把点代入得到关于的方程，解方程即可求得；
根据二次函数的性质即可求得．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：证明：于，于，
，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是正方形，
，
为直径，
，
，
，
的半径为． 

【解析】先根据垂径定理，由，得到，，且，加上，则可判断四边形是矩形，由于，所以，于是可判断四边形是正方形；
由，得为直径，根据勾股定理得，所以的半径为．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的判定．
 

19.【答案】 

【解析】解：袋子中有标有“义”“乌”“精”“神”字样的四个彩球，从中随机取出一球，共有种可能出现的结果，
其中取出“义”的只有种，
所以在袋子中随机摸出一个彩球，摸中“义”这个彩球的概率为，
故答案为：；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中两次可以拼成“义务”的有种，
所以两次摸球能拼出“义乌”的概率是．
根据概率的定义直接可得答案；
用列表法表示所有可能写成的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求． 

【解析】根据相似三角形的性质即可得到结论；
根据旋转的性质作出图形即可．
本题考查作图相似变换，作图旋转变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】 

【解析】解：产品每降低元，可多售出个，
第天的销售量为，
故答案为：；
根据题意得：

，
关于的函数表达式为；
根据题意得：，
解得，
又，
，
由知，，
，
当时，随的增大而减小，
当时，最大，最大值为，
答：这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是元．
根据每个元的价格每天销售个，产品每降低元，可多售出个．列出代数式即可；
根据销售总利润三天的销售利润之和列出函数解析式即可；
根据第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的以及求出的取值范围，并根据中解析式，由函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
∽．
解：：：，
，
，，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
四边形的面积是．
四边形的面积存在最大值，
，，
，
，，
，，
，
，
当时，，
四边形的面积的最大值是． 

【解析】由，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽；
由：：，得，由∽，，则；由∽，得，则，所以；
由，，得，则，，所以，，则，所以当时，，即四边形的面积存在最大值，最大值是．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、根据图形面积的相等关系求函数关系式、二次函数的性质等知识与方法，正确地用含的代数式表示、及四边形的面积是解题的关键．
 

23.【答案】解：描点、连线画出函数的图象如图，

观察函数图象，该函数有最大值；
把代入得，解得，
，
直线一定过点，
由图象可知，过定点的直线与函数的图象只有一个交点，则． 

【解析】描点、连线画出函数的图象即可；
观察函数图象，该函数有最大值；
根据图象即可求得．
本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与直线的交点，正确的识别图象是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图中，四边形是正方形，
，关于对称，
，
线段绕点顺时针旋转得到，
，
；

解：如图中，设叫点，过点作于点．

，
，，
与相似，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；

如图中，当点落在上时，

由对称性可知，，，
，
，
，
，
，
，
；
当点在上时，与点重合，满足条件，此时；
如图中，当点落在上时，同法可证，可得．

当点与重合时，与重合，满足条件，此时．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 

【解析】利用正方形是轴对称图形，旋转变换的性质证明即可；
如图中，设叫点，过点作于点证明平分，推出，再根据，可得，求出即可；
分四种情形：如图中，当点落在上时，当点在上时，与点重合，如图中，当点落在上时，当点点与重合时，与重合，分别求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．