2022-2023学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了8cm2C，2元，每天可多售出40千克．，【答案】C，【答案】D，【答案】14等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期中数学试卷注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。  一、选择题（本大题共8小题，共24分）已知下列方程：；；；；；，其中一元二次方程有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个两个相似五边形的一组对应边的长分别是，，若它们的面积和是，则较大五边形的面积是(    )A.  B.  C.  D. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球次，其中次摸到黑球，你估计盒中大约有白球(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是(    )A. 测量四边形画框的两个角是否为
B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D. 测量四边形画框的四边是否相等若方程没有实数根，则值可以是(    )A.  B.  C.  D. 如图，若，则图中相似的三角形有(    )
 A. 对 B. 对 C. 对 D. 对在一幅长，宽的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是，设观光小道的宽为，那么满足的方程是(    )
 A.
B.
C.
D. 如图，正方形的边长为，为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，连接、，下列结论：；；；；其中正确结论有(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共24分）同时抛掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币正面都向上的概率是______ ．如图，，，，，则______．
某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______．如图，已知菱形的面积为，对角线，相交于点，且，则菱形的边长为______．
 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为______
 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的个红球和个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是______．九年级班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，则旗杆的高度为______
如图，在矩形中，，，将此矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则的长为______ ，的长为______ ．
 三、解答题（本大题共9小题，共74分）小明想利用一块三角形纸片裁剪一个菱形，要求一个顶点为，另外三个顶点分别在三角形的三边上，请你在原图上利用尺规作图把这个菱形作出来．
解下列方程：
配方法；
；
．已知，关于的一元二次方程．
若是该方程的一个根，求的值及另一个根；
若该方程有两个实数根，求的取值范围．小明和小亮用如图所示的两个转盘每个转盘被分成三个面积相等的扇形做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
已知：如图，在四边形中，，，，点，分别是，的中点．
求证：≌；
求证：四边形是菱形；
给三角形添加一个条件______，使得四边形是正方形，并证明你的结论．
如图，在中，，，点为边上一动点不与点，重合，过点作射线交于点，使．
求证：∽
当时，求的值；
当时，求的值．
水果专柜张经理发现，如果以每千克元的价格购进富士苹果若干，然后以每千克元的价格出售，每天可售出千克，后通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低元，每天可多售出千克．
若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销售量是______千克用含的代数式表示；
张经理现有资金元，如果希望通过降价销售销售这种水果每天盈利元，张经理需将每千克的售价降低多少元？定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”如图，在与中，，，且，所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为，连接，，则称为“关联比”．

下面是小颖探究“关联比”与之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
特例感知
当与为“关联等腰三角形“，且时，
在图中，若点落在上，则“关联比”______；
在图中，探究与的关系，并求出“关联比”的值．
类比探究

如图，
当与为“关联等腰三角形“，且时，“关联比”______；
猜想：当与为“关联等腰三角形”，且时，“关联比”______．
直接写出结果，用含的式子表示
迁移运用
如图，与为“关联等腰三角形”若，，点为边上一点，且，点为上一动点，求点自点运动至点时，点所经过的路径长．矩形中，，为对角线，，，为中点，动点从点出发沿方向，向点运动，动点同时以相同速度，从点出发沿方向向点运动，、的速度都是个秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．
时，求运动时间；
时，求运动时间；
当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似？
连接，的面积能否达到矩形面积的三分之一，若能求出的值；若不能，说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方程是分式方程，不符合题意；
方程是一元一次方程，不符合题意；
方程是一元二次方程，符合题意；
方程是一元二次方程，符合题意；
不是方程，不符合题意；
方程是二元一次方程，不符合题意．
是一元二次方程的有，即其中一元二次方程有个．
故选：．
根据一元二次方程的定义，可以找出是一元二次方程，进而可得出其中一元二次方程有个．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：两个相似五边形的一组对应边的长分别是，，
这两个相似五边形的相似比为：，
设较大的五边形的面积为，则较小的五边形的面积为，
，
解得，
即较大的五边形的面积为．
故选：．
两个相似五边形的一组对应边的长分别是，，则相似比为：，设较大的五边形的面积为，则较小的五边形的面积为，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方列式计算即可．
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
 3.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根，可根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数黑球个数白球个数“，“黑球所占比例随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”．
【解答】
解：设盒子里有白球个，
根据得：
，
解得：，
经检验得是方程的解，
答：盒中大约有白球个，
故选：．  4.【答案】 【解析】解：、测量四边形画框的两个角是否为，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；
C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量四边形画框的四边是否相等，能判定为菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定与性质、菱形的判定，矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
利用根的判别式的意义得到，然后解不等式得到的范围，从而可对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 6.【答案】 【解析】【分析】
题目中给的角相等，从而根据两个角对应相等的两个三角形互为相似三角形，从而找出图中的相似三角形．本题考查相似三角形的判定定理，关键是知道两个角相等的三角形互为相似三角形．
【解答】

解：，，
∽．
，，
∽．
，，
∽．
，，
∽．
所以有对．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：根据题意得：，
即，
故选：．
根据面积的和差列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，故正确；
如图，延长，交于点，过点作于，

点是中点，
，
，
，
又，
≌，
，
，
又，
，
，故正确；
≌，
，，
，
，
，
，
，
，故错误；
点不是的中点，
，
，
，
，
，故错误；
，
，
，
，
，
，故正确；
故选：．
由“”可证≌，可得，故正确；延长，交于点，由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可证，故正确；利用勾股定理可求的长，由面积法可求，故错误；由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，故错误；分别求出，的长，可得，故正确；即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：由树状图可知共有种可能，两枚硬币正面都向上的有种，所以概率是．
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 10.【答案】 【解析】解：，
．
，
∽．
．
．
故答案为：．
先由边长得到与边的比，再由平行得到两个三角形相似，最后利用相似三角形的性质得结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的比等于对应边的比”是解决本题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率是，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
该药品平均每次降价的百分率是．
故答案为：．
设该药品平均每次降价的百分率是，利用该药品经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
菱形的边长为．
故答案为：．
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求得菱形的边长．
本题考查了勾股定理、菱形的性质以及菱形面积和周长的计算；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解决问题的关键．
 13.【答案】或 【解析】解：分两种情况：
当时，
点是的黄金分割的点，，
，
；
当时，
点是的黄金分割的点，，
，
；
；
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
分两种情况：当时，当时，然后分别利用黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，分两种情况讨论是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有种，
两个球都是白球的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数和两个球都是白球的结果数，再利用概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：设与交于，
，，
，
∽，
，
即：，
，
，
．
故答案为：．
利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用∽，得出，把相关条件代入即可求得，于是得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．
 16.【答案】， 【解析】解：四边形是矩形，
，
，
；
连接，
，，，
，
，
，
在和中

≌，
，，
，
由题意知：；
设，则，
由勾股定理得：
，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为，．
根据折叠的性质即可求得；连接，根据勾股定理求得，证得≌，，根据勾股定理列出关于线段的方程，解方程求得的长，即可求得，根据相似三角形的性质即可求得．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、相似三角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题．
 17.【答案】解：如图，四边形即为所求．
 【解析】先作平分线，交于点，再作线段的中垂线，交于点，交于点，四边形即为所求．
本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和中垂线的尺规作图及菱形的判定与性质．
 18.【答案】解：，
，
，
，
，
或，
，；
，
，
，
，
或，
，；
，
整理得：，


，
，
，． 【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，公式法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 19.【答案】解：将代入一元二次方程得，
解得；
若一元二次方程有两个实数根，
且，
解得且，
即的取值范围是且． 【解析】把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可；
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 20.【答案】解：这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
所以小明胜的概率，小亮胜的概率，
而，
所以这个游戏对双方不公平． 【解析】先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平．
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
 21.【答案】 【解析】证明：，，
，
在和中，
，
≌；
证明：≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
点，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
，点是的中点，
，
平行四边形是菱形；
解：添加一个条件是．
，点是的中点，
，
即，
平行四边形是菱形，
四边形是正方形．
故答案为：．
根据可证明≌；
证出，，则可得出四边形是平行四边形，由直角三角形的性质证出，则可得出结论；
根据正方形的判定可得出结论．
此题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答．
 22.【答案】证明：，
，
，
，
∽；
解：，，，
，
∽，
，
，
；
解：如图，作于点，

则，
由得，
，
，
，
∽，
，
． 【解析】由等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理可得，可得结论；
由相似三角形的判定和性质可得，可求解；
通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 23.【答案】 【解析】解：将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是千克；
故答案为：；
根据题意得：，
解得：或，
当时，销售量是；
当时，销售量是斤．
每天售出斤，
．
答：张阿姨需将每斤的售价降低元．
销售量原来销售量下降销售量，据此列式即可；
根据销售量每斤利润总利润列出方程求解即可．
本题考查一元二次方程的应用，理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解．
 24.【答案】    【解析】解：当时，与为等腰直角三角形
，

故答案为：．
当时，与为等腰直角三角形
，，

∽

“关联比”的值为．

过点作于点

，
，
，

同理可证：，

即
∽

故答案为：．
过点作于点

中，

由的证明过程可得
故答案为：

过点作于点，连接
与为“关联等腰三角形”，，
与为等腰直角三角形，

由的证明过程可知∽
为一个定角
点所经过的路径是线段
时，“关联比”的值为
当点自点运动至点时，点所经过的路径长为
由可得与为等腰直角三角形，斜边，，而，，代入计算即求得．
由与为等腰直角三角形可得，减去公共角得，再加上两夹边成比例，证得∽，所以等于相似比．
过点作于点，由可得，所以得到的三边比，则，，进而有，代入计算即求得．
由可得，又因为，所以得，，根据的证明过程可得
过点作于点，根据等腰直角三角形的条件求得的长，即求得点自点运动至点时的长．连接，由的证明过程可知∽，所以为一个定角，即点所经过的路径是线段根据“关联比”的值为，求得．
本题考查了新定义的理解和应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用．解题关键是理解新定义并把性质进行运用，利用转化思想解决新问题．
 25.【答案】解：，
，
，
解得；

当时，，
，
，
，
，
经检验是分式方程的解．
时，运动时间；

与相似，
有两种情形：
当，即，
解得或．
经检验或是分式方程的解，不符合题意舍去，
．
当，即，
解得，
经检验是分式方程的解，不符合题意舍去，
．
综上所述，满足条件的的值为或．

能．理由如下：
连接由题意，
解得或舍去．
满足条件的的值为． 【解析】利用平行线分线段成比例定理构建方程求解；
由，可得，由此构建方程求解即可；
分两种情形：当，满足条件当，满足条件，分别构建方程求解；
能，构建方程求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．