2022-2023学年陕西省西安市高新逸翠园中学、高新三中、高新五中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市高新逸翠园中学、高新三中、高新五中九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，属于一元二次方程是(    )

A. 为常数 B.
C.  D.

2. 下列几何体中，其主视图、左视图、俯视图完全相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某蔬菜种植基地年的蔬菜产量为吨，年的蔬菜产量为吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为，则年平均增长率应满足的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知双曲线过点、、，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这是个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小明忘了中间的两个数字，他一次就能打开该锁的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若双曲线在第二、四象限，那么关于的方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 无实根

8. 如图，在边长为的正方形中，，分别是边，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 若实数是和的比例中项，则______．
10. 如图所示，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形图中阴影部分，如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是______．

11. 如图，甲楼高米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午时，物高与影长的比是，已知两楼相距为米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高______米．结果保留根号
     

12. 如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点若，则______．

13. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动含、两点，连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的长度的范围为______．

三、解答题（本大题共12小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
15. 本小题分
    如图，，，，，求的长．

16. 本小题分
    如图，在中，过点作一条直线交于点，使得∽要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明

17. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    请解答下列问题：
    画出关于轴成轴对称的，并直接写出点的坐标；
    以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点的坐标．

18. 本小题分
    傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，大树的顶端恰好与路灯的灯泡在同一水平线上，小华激动地说：“妈妈，我可以通过测量您的影长，计算出这棵大树的高度”小华让妈妈先站在处，测得妈妈的影长妈妈沿的方向到达点处，此时小华测得妈妈的影长已知妈妈的身高为即，点、、、在同一水平线上，，，求这棵大树的高度．

19. 本小题分
    为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团分别用字母，，，依次表示这四个社团，并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
    小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率是多少？
    小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率．
20. 本小题分
    如图，矩形的对角线，交于点，且，，连接求证：．

21. 本小题分
    在等腰中，，，是的两个根，试求的周长．
22. 本小题分
    某种规格的溱湖簖蟹养殖成本为元只，根据市场调查发现，批发价定为元只时，每天可销售只，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，一只蟹的批发价每降低元，每天销量可增加只．
    写出养殖户每天的销量只与降价元之间的函数关系．当降价元时，养殖户每天的利润为多少元？
    若养殖户每天的利润要达到元，并尽可能让利顾客，则定价应为多少元？
23. 本小题分
    如图，在四边形中，，，，，分别为，的中点，连接，，延长交的延长线于点．
    求证：四边形为矩形；
    若，，求的长度．结果可保留根号

24. 本小题分
    如图，反比例函数的图象与直线交于和，该函数关于轴对称后的图象经过点．
    求和的解析式及值；
    根据图象直接写出时的取值范围；
    点是轴上一动点，求当取得最大值时的坐标．

25. 本小题分
    问题提出
    如图，在中，，，为边上的一点，连接，若将面积平分，则______；
    如图，在中，，，为边上的一点，且，为边上的一点，连接当平分的面积时，求的长；
    问题解决
    如图，兴庆公园里有一块三角形的花丛，经测量得，米，米．园艺设计师想在边上找一点，从点出发，在三角形花丛内修一条笔直的小路，使得小路既将三角形花丛的面积平分又将周长平分，若点存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．小路的宽度忽略不计
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该选项可能等于，所以可能不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、该选项含有两个未知数且最高次数为，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、该选项为分式方程，故该选项不符合题意；
D、该选项的方程只含有一个未知数且最高次数为，所以是一元二次方程，故该选项符合题意．
故选：．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；是整式方程．据此解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不符合题意；
B.圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆带圆心，不符合题意；
C.三棱柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个三角形，不符合题意；
D.球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据已知条件和比例的性质得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，由已知条件得出是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据该种植基地年及年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在第二、四象限，
反比例函数的图象过点、、，
点、在第四象限，在第二象限，
，，
．
故选：．
根据的符号确定反比例函数图象所在的象限，根据反比例函数的性质即可得出答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，注意：当时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为密码由四个数字组成，如个位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是，则百位上的数字即有可能是中的一个，要试次，同样，假设十位上的数字是，则百位上的数字即有可能是中的一个，也要试次，依此类推，要打开该锁需要试次，而其中只有一次可以打开，所以一次就能打开该锁的概率是；
故选：．
计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开．利用概率公式进行求解即可．
本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：双曲线在第二、四象限，
，
关于的方程，
，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：．
由双曲线在第二、四象限，可得出，进而可得出，再利用根的判别式可得出于的方程有两个不相等的实数根．
本题考查了反比例函数图象与系数的关系以及根的判别式，牢记“的图象在二、四象限”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，连接，

四边形是正方形，
，，，
，分别是边，的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
点，分别是，的中点，
．
故选：．
连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：正数是和的比例中项，
，
，
故答案为：．
根据比例中项的概念，得，则可求出来．
本题考查了比例线段，熟练掌握比例中项的概念是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：依题意，在矩形中截取矩形，

则矩形∽矩形，
则，
设，得到：，
解得：，
则剩下的矩形面积是：．
故答案为：．
根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，

设于点，那么在中，，米．
物高与影长的比是：，
，
则米，
故DE米．
故答案为
设于点，那么在中，，根据物高与影长的比是可以求得的长，进而求得即可解题．
本题考查了相似三角似三角形的应用和平行投影，根据物高与影长的比是：，得出的值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设与轴交于点，连接、，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
故答案为：．
连接、，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，，进而求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当与重合时，最大，连接，如图：

，，
，，
，
将线段逆时针旋转到，
，
是等边三角形，
，
，即最大值是；
以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于，如图：

四边形是矩形，
，
是等边三角形，将线段逆时针旋转到，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
点在射线上运动，
，
，
，，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
综上所述，，
故答案为：．
当与重合时，最大，连接，可证是等边三角形，从而可得最大值是；
以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于，证明≌，有，可得，故点在射线上运动，由，，可得，根据垂线段最短可知，的最小值为，即可得到答案．
本题考查矩形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，能求出点的轨迹．
 

14.【答案】解：，
，
，
或，
，．
，
，
，即，
，
，． 

【解析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

15.【答案】解：，，，，
，
，
∽，
，
．
故CD的长为． 

【解析】由，，，，，即可证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

16.【答案】解：当时，且，
∽．

．
作的平分线交于即可． 

【解析】当时，且，故∽从而作的平分线交于即可．
本题主要考查了相似三角形的判定，尺规作图角平分线的作法等知识，熟练掌握基本作图方法是解题的关键，是中考常考题型．
 

17.【答案】解：如图所示，即为所求，；
如图所示，即为所求，．
 

【解析】利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：，
∽，∽，
，，
又，
，
，，
，，
，
，，
，
解得，．
答：这棵大树的高度是． 

【解析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．
 

19.【答案】解：小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率；
列表如下：

由表可知共有种等可能的结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数为种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率． 

【解析】直接利用概率公式求解；
通过列表展示所有种等可能的结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

20.【答案】证明：四边形为矩形，
．
，，
四边形为平行四边形．
，
平行四边形为菱形．
． 

【解析】利用，，可得四边形为平行四边形，由四边形为矩形可得，于是解得平行四边形为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论．
本题主要看出来了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定．利用菱形的对角线互相垂直是证明两条直线互相垂直的重要方法．
 

21.【答案】解：、是方程的两个根，
，
若为腰，则．
，即
解得，．
周长；

若为底，则．
．
，，
或舍去．
周长．
答：的周长为或． 

【解析】在等腰三角形中，要分清楚腰与底边，即，，都有可能是腰，本题应进行分类讨论．
本题主要是了解数形结合及分类讨论的思想．
 

22.【答案】解：依题意得：，
当时，，
养殖户每天的利润为元．
答：养殖户每天的销量只与降价元之间的函数关系为，当降价元时，养殖户每天的利润为元．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽可能让利顾客，
，
．
答：定价应为元． 

【解析】利用养殖户每天的销量每只降低的价格，即可得出关于的函数关系式，代入可求出值，再利用养殖户每天的利润每只的销售利润日销售量，即可求出结论；
利用养殖户每天的利润每只的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽可能让利顾客，即可确定的值，再将其代入中即可求出定价．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】证明：在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形；

解：，
，
为的中点，
．
在和中
，
≌，
，
四边形是矩形，
，，
为的中点，
，
在中，由勾股定理得：． 

【解析】先求出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；
求出，根据矩形的性质得出，求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出四边形是矩形是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
 

24.【答案】解：图象过点，
，
；
把点代入，
，
，
过点，，
把和代入得，
，
解得，
，
关于轴对称点在图象上，
；
由图象得或；
由得，，，点关于轴的对称点为，
射线交轴于点，连接，
，
，此时有最大值，
设的解析式为，
把，分别代入中，
，
，
的解析式为，
令，则，
当最大时的坐标为． 

【解析】将点代入即可求函数解析；将点代入，求出点坐标，再将点、点坐标代入，可求一次函数的解析式；求出点代入，可求的值；
根据图象，找到反比例函数比一次函数图象高的部分即为所求；
射线交轴于点，连接，此时有最大值，求出与轴的交点即为所求点．
本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，
 

25.【答案】 

【解析】解：如图中，

平分的面积，
，
，
，
．
故答案为：；

如图中，过点作于点，过点作于点．

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

不存在．理由如下：

假设线段平分的周长和面积，设米，则米，
，
，
，
，
方程无解，
不存在线段使得线段平分的周长和面积．
利用等腰三角形的性质，勾股定理求解即可；
如图中，过点作于点，过点作于点利用平行线分线段成比例定理求出，再利用三角形的面积公式求出，可得结论；
不存在，假设线段平分的周长和面积，设米，则米，构建方程，利用一元二次方程的判别式，解决问题即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．