苏教版高中数学选择性必修第二册第7章章末综合提升课件+学案

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类型1　两个计数原理1．分类计数原理和分步计数原理是本部分的基础，“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情，“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情．2．较复杂的问题往往要同时用到两个原理，一般先分类，再分步．我们可以由题意合理画出示意图或列出表格，使问题的实质直观地显示出来．【例1】　如图，某市(A)有四个邻县(B，C，D，E)．现备有5种颜色，问有多少种不同的涂色方式，使每相邻两地不同色，且每地只涂同一种颜色？[解]　把问题分成三类：第一类：用五种颜色涂，共有A＝120(种)涂法；第二类：用四种颜色涂，选色的方法有C种，先选1种颜色涂A有C种方法，剩余的4块涂三种颜色，有且仅有一组不相邻区域涂同一种颜色，选1组不相邻区域的方法有2种，在余下的三种颜色中选一种颜色涂这不相邻区域有C种方法，最后剩下两种颜色涂2个区域有A种．由分步计数原理知，共有CC·2CA＝240(种)；第三类：用三种颜色涂，选色方法有C种，涂A时，有C种，涂B，D时有C种，涂E，C时只有一种．由分步计数原理知，共有CCC＝60(种)．综上所述，由分类计数原理知，共有120＋240＋60＝420种不同的涂色方法．1．现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．ABDC84　[先给A部分着色有4种方法，给B部分着色有3种方法，给C部分着色分为两类：当C与A着相同的颜色时，此时D有3种方法；当C与A着不相同的颜色时，C有2种着色方法，此时D有2种着色方法，故不同的着色方法有4×3×(3＋2×2)＝84(种)．] 类型2　组数问题组数问题是一类典型的排列组合问题，往往涉及排列特殊数，如奇数，被5整除的数等．需要注意以下几个问题：(1)首位数字不为0；(2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”；(3)若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类．【例2】　从1到9的九个数字中取3个偶数、4个奇数，问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？[解]　(1)分步完成：第1步：在4个偶数中取3个，可有C种情况；第2步：在5个奇数中取4个，可有C种情况；第3步：3个偶数，4个奇数进行排列可有A种情况；故符合题意的七位数共有CCA＝100 800个．(2)上述七位数中，将3个偶数排在一起有A种情况；故采用捆绑法求得3个偶数在一起的共有CCAA＝14 400个．2．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个．(用数字作答)324　[当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是CAC＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是AC＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个)．当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为CAC＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是CCAC＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个)．根据分类计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个)．] 类型3　分组与分配问题解决分组与分配问题的关键是正确判断是不是平均分组、有序分组，无序平均分组要除以组数的阶乘，有序平均分组是在无序平均分组的基础上再乘以组数的阶乘．【例3】　某次国际合作论坛，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有(　　)A．96种    B．100种    C．124种    D．150种D　[因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，共有两种方法，一种是按照1,1,3来分，另一种是按照2,2,1来分．当按照1,1,3来分时，不同的安排方法共有N1＝A＝60(种)；当按照2,2,1来分时，不同的安排方法共有N2＝A＝90(种)．根据分类计数原理，可得这样的安排方法共有N＝N1＋N2＝150(种)．]3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)A．12种    B．10种    C．9种    D．8种A　[将4名学生均分为2个小组，共有＝3种分法；将2个小组的同学分给两名教师共有A＝2种分法，最后将两个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2种分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．] 类型4　排列、组合的综合应用解排列、组合综合问题时要注意以下几点：(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．【例4】　有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？[解]　分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，　不同的排法有C·C·C·C·A种；第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种；第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种．故满足题意的所有不同的排法种数为C·C·C·C·A＋2C·C·A＝432种．4．现有9名学生，其中女生4名，男生5名．(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？(3)从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？[解]　(1)根据题意，分2种情况讨论：①选出的2名代表为1男1女，有CC＝20种选法．②选出的2名代表都为女生，有C＝6种选法．则必须有女生的选法有20＋6＝26种．(2)根据题意，从4名女生中任选2人的选法有C＝6种，从5名男生中任选2人的选法有C＝10种，则从中选出男、女各2名的选法有6×10＝60种．(3)根据题意，分2步进行分析：①从9人中任选4人，要求男生甲与女生乙至少有1人在内，有C－C＝91种选法；②将选出的4人全排列，对应四个不同岗位，有A＝24种情况，则有91×24＝2 184种安排方法． 类型5　二项式定理的应用对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项公式，求特定项或解决与系数有关的问题，二项式定理中的通项Tr＋1＝Can－rbr，r∈{0,1,2，…，n}，集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项，常数项，中间项，有理项，系数最大的项等)及其系数等方面有广泛的应用．第二类，需运用转化思想，化归为二项式定理来处理的问题，如整除问题．【例5】　已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．(1)求n的值；(2)求展开式中所有的有理项．[解]　二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝C·xn－r·＝C··x (r＝0,1,2，…，n)．(1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得C·＝C·2，即n＝，解得n＝5．(2)二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝C··x (r＝0,1,2，…，5)．当r＝0,2,4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T1＝C··x5＝x5，T3＝C··x5－3＝x2，T5＝C·x5－6＝．5．已知二项式展开式中的第7项是常数项．(1)求n；(2)求展开式中有理项的个数．[解]　(1)二项式展开式中的通项公式为 Tr＋1＝C·(－2)r·x，∴第7项C·64·x是常数项，∴＝0，∴n＝15．(2)要使展开式中的项为有理项，须为整数，故有r＝0,6,12，故展开式中有理项共有3项．1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)A．120种  B．90种  C．60种  D．30种C　[CCC＝60.]2．(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)A．5  B．10  C．15  D．20C　[因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cx5－ryr，所以(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15.故选C.]3．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)A．60种  B．120种  C．240种  D．480种C　[根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)．]4．(2021·北京高考)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.5　10　[(x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5；a2＝C(－1)1＋C＝3；a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.]5．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．36　[由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．]6．(2020·全国卷Ⅲ)的展开式中常数项是________．(用数字作答)240　[展开式的通项Tr＋1＝C(x2)6－r＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为C24＝240．]