课后素养落实(二十六)　二项分布

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．“依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上”是n重伯努利试验

B．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)

C．某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)

D．从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B

BC　[A中由于四枚硬币的质地不同，即试验的条件不同，所以该试验不是n重伯努利试验；BC显然满足n重伯努利试验的条件，而D虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．]

2．已知随机变量ξ～B，则P(ξ＝2)等于(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[P(ξ＝2)＝C＝．]

3．设随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝3，D(X)＝2，则n＝(　　)

A．3    B．6    C．8    D．9

D　[∵随机变量X～B(n，p)，E(X)＝3，D(X)＝2，

∴

解得n＝9，p＝．]

4．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，

则每次取到次品的概率都是p＝＝，

X表示取得次品的次数，则X～B，

∴P(X≤2)＝1－P(X＝3)＝1－＝．]

5．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为(　　)

A．C·   B．C·

C．C·   D．C·

A　[甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，

其概率为P＝C××＝C×．]

二、填空题

6．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是________．

np　[依题意知，用电单位个数X～B(n，p)，∴E(X)＝np．]

7．在4重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为________．

　[设所求概率为p，则1－(1－p)4＝，得p＝．]

8．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．

或　[P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，

即p2(1－p)2＝·，

解得p＝或p＝．]

三、解答题

9．某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案．抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．

(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；

(2)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及E(ξ)的值．

[解]　(1)设“会徽”卡有n张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，所以有＝，n＝5，所以“五环”图案卡片的张数为4，故抽奖者获奖的概率为＝．

(2)由题意可知本题中的离散型随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B，

P(ξ＝0)＝C·＝，

P(ξ＝1)＝C·＝，

P(ξ＝2)＝C·＝，

P(ξ＝3)＝C·＝，

P(ξ＝4)＝C·＝，

ξ的分布列为

E(ξ)＝4×＝．

10．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．

(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？

(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？

[解]　(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，

则P＝＋C×××＝．

(2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则P＝＋C×××＋C×××＝．

11．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)

A．  B．C×

C．C×   D．C×C×

B　[如图，由题意可知，

质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为P＝C××＝C×．故选B．]

12．(多选题)若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．5

AB　[P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝C＝，

P(ξ＝2)＝C＝，

P(ξ＝3)＝C＝，

P(ξ＝4)＝C＝，

P(ξ＝5)＝＝，

∴当k＝1或2时，P(ξ＝k)最大．]

13．已知离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝q，则＋的最小值为(　　)

A．2    B．    C．    D．4

C　[离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，

E(X)＝4＝np，D(X)＝q＝np(1－p)，

所以4p＋q＝4，即p＋＝1(p>0，q>0)，

所以＋＝＝＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当q＝2p＝时取得等号．]

14．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为________．

　[∵随机变量ξ～B(2，p)，P(ξ≥1)＝，

∴1－Cp0·(1－p)2＝，∴p＝，∴η～B，

∴P(η≥2)＝C×＋C×＋C＝．]

15．根据国家《环境空气质量》规定：居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下．

(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程)；

(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

(3)将频率视为概率，监测去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ)．

[解]　(1)众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．

(2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为

7．5×0.1＋22.5×0.3＋37.5×0.2＋52.5×0.2＋67.5×0.1＋82.5×0.1＝40.5(微克/立方米)．

∵40.5>35，

∴去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．

(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)＝．

随机变量ξ的可能取值为0,1,2，且ξ～B．

∴P(ξ＝k)＝C  (k＝0,1,2)，即

∴E(ξ)＝np＝2×＝1.8，

D(ξ)＝np(1－p)＝2××＝0.18.