中职数学高教版（2021）基础模块上册第2章 不等式2.3 一元二次不等式教案

《一元二次不等式》教案

授课题目：2.3一元二次不等式

选用教材：高等教育出版社《数学》（基础模块上册）

授课时长：3课时

授课类型：新授课

教学目标：能知道二次函数的图像，会分析一元二次方程的解与一元二次不等式的解集之间的关系，逐步提高直观想象和和逻辑推理等核心素养；能根据情况，选择求根公式法、因式分解法或配方法等求解一元二次方程，结合二次函数的图像解一元二次不等式，逐步提高数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养．

教学重点：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系，一元二次不等式的解法

教学难点：一元二次不等式的解法

教学过程：

1、情境引入

我们知道，当 a＞0 时，关于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 和二次函数 y＝ax2＋bx＋c 之间有表 2-4 所示结论．

由表中函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像可以看出，图像在轴上方的部分所对应的函数值y>0，即ax2＋bx＋c＞0，图像在轴下方的部分所对应的函数值y<0， 即 ax2＋bx＋c＜0．

像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为ax2＋bx＋c＞0(a ≠0）

上面不等式中的  “> ”也可以换成 “< ”、“≥”或“≤”.

 如x2-9>0,3x2-2x-2≤0,-2x2+5x+4<0等都是一元二次不等式．

提问：我们知道，一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，那么我们是能否借助它们之间的关系求解形如

ax2＋bx＋c＜0 或 ax2＋bx＋c＞0这样的一元二次不等式呢？

教师活动：带领学生回顾旧知，展示方程与函数关系，引导学生观察分析方程解与图像与函数交点关系，数形结合分析各情况。

学生活动：观察情境思考问题，分析，回答问题并学会用语言表达自己的想法

设计意图：从学生已经了解的一元二次方程和二次函数之间的关系入手，利用数形结合，提出新问题，引导学生主动思考，培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养．

2、探索新知

下面就先来尝试分析一元二次不等式x2-2x-3<0和二次函数y=x2-2x-3、一元二次方程x2-2x-3=0之间的关系。

如图(1)所示，二次函数 y=x2-2x-3的图像与 x 轴交于两点，方程

x2-2x-3=0 的解是 x1=1，x2=3，也就是抛物线与 x 轴交点(-1,0)和

(3,0)的横坐标．

从图中我们可以看出，抛物线与 x 轴的两点交点将 x 轴分成了三部分． 如图(2)所示，当-1<x<3 时，函数的图像位于 x 轴的下方，此时 y<0. 如图(3)所示，当 x<-1 或 x>3 时，函数的图像位于 x 轴的上方，此时 y>0.

由此得到，不等式x2-2x-3<0的解集为(-1,3),不等式x2-2x-3>0 

 的解集为(-∞，-1)∪(3,+∞)．

按照上面的分析，我们就可以得到一般的一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a>0)和 ax2＋bx＋c<0(a>0)的求解方法：

先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与 x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．

根据一元二次方程判别式的不同取值情况，将二次函数图像、一元二次方程的解和一元二次不等式的解集列表如下，见下表，假设 x1<x2

教师活动:提出要求，数形结合分析问题，并进行归纳总结

学生活动：理解定义并识记，思考老师提出的问题，明确目标

设计意图：师生通过具体的实例，共同总结二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系，并利用数形结合进一步来分析和解决问题，归纳总结出一元二次不等式的解法，培养学生直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养

3、例题解析

例 1求下列一元二次不等式的解集：

（1）x2-x-6<0   (2)x(x-3)≥0   (3)2x2-4x+3<0

解（1）因为不等式的二次项系数 1＞0，对应方程x2-x-6=0的解为 x1=-2,x2=3，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式x2-x-6<0 的解集为(-2,3)．

（2）因为不等式的二次项系数为 1>0，对应方程 x(x-3)=0 的解为x1=0,x2=3 ，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式 x(x-3)≥0的解集为(-∞,0]∪[3,+∞)

（3）因为不等式的二次项系数为 2>0，对应方程2x2-4x+3=0无实数根对应二次函数图像如图所示，所以不等式 2x2-4x+3<0的解集为∅.

 例2 若有意义，试求 x 的取值范围．

解 要使 有意义， x 应该满足不等式≥0,

因为不等式的二次项系数 3>0，对应方程=0的解为

X1=,x2=1,对应的二次函 数图像如图所示，所以不等式≥0的解集为(-∞,]∪[1,+∞)

即当 x(-∞,]∪[1,+∞)时，有意义

教师活动：教师巡视指导，并对学生的回答给予指导

学生活动：认真思考并答题

设计意图：通过例题帮助学生掌握一元二次不等式的解法，培养学生的数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养

4、巩固练习

教师活动：提问 、巡视指导、及时指出学生的问题

学生活动：思考问题、动手做题求解答案、与小组同学交流

设计意图：通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺

5、归纳总结

6、布置作业

1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；

2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾；

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．