2022-2023学年广东省深圳大学附中福田创新学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳大学附中福田创新学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳大学附中福田创新学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分）   如图，由个棱长为的相同小立方体组成的几何体，关于其视图以下说法正确的是(    )A. 主视图和左视图面积相等
B. 主视图和俯视图面积相等
C. 俯视图和左视图面积相等
D. 俯视图面积最大   方程经配方后，可化为(    )A.  B.  C.  D.    一个不透明的袋子中装有个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于，则小英估计袋子中白球的个数约为(    )A.  B.  C.  D.    顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点，所形成的四边形是(    )A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形   下列说法正确的是(    )A. 有一个角等于的两个等腰三角形相似
B. 两个矩形一定相似
C. 有一个角等于的两个等腰三角形相似
D. 相似三角形一定不是全等三角形   如图，在中，点、和点、分别是边、的三等分点，的面积为，则四边形的面积为(    )
 A.  B.  C.  D.    一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为(    )A.  B.  C.  D.    如图，在▱中，：：，连接，交于点，，则为(    )
 A.  B.  C.  D.    如图，在长为米、宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使小路的面积为平方米，设道路的宽为米，则可列方程为(    )
A.  B.
C.  D. 如图，在正方形中，点是上一点不与，两点重合，连接，过点作于点，交对角线于点，交边于点，连接．
下列结论：；；当点是的中点，；当时，其中正确结论的个数是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） ，则______．已知操场上的篮球架上的篮板长米，高米，当太阳光与地面成角投射到篮板时，它留在地面上的阴影部分面积为______．设，分别为一元二次方程的两个实数根，则______．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的像是设点的横坐标是，则点对应的点的横坐标是______ ．
如图，在矩形中，点，分别是，上的点，，，，，则的长度为______．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）解下列方程
；
．四川省某地区为了了解年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：读普通高中，读职业高中，直接进入社会就业，其他如出国等，进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图．
该地区共调查了______名九年级学生；
将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
老师想从甲、乙、丙、丁位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表法求选中甲同学的概率．
 如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子；则表示一个圆形的凳子的主视图．
请你在图中标出路灯的位置，并画出的影子要求保留画图痕迹，光线用虚线表示；
若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子的最大跨度为，求路灯与地面的距离．
 如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件．
若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？如图，在矩形中，，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发．沿向点移动，设、两点移动后，的面积为
在、两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由；
当运动时间为多少秒时，与相似．
如图，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到易证：≌，从而得．
【实践探究】
在图条件下，若，，则正方形的边长是______．
如图，点、分别在边、上，且点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，连结，，已知，，求的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：这个几何体的三视图如图所示：

因此，主视图与俯视图的面积相等，
故选：．
画出三视图，通过面积比较得出答案．
考查三视图的画法，掌握主视图、左视图、俯视图的画法是正确解答的前提．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 3.【答案】 【解析】解：设袋中白球有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
所以小英估计袋子中白球的个数约为个，
故选：．
根据袋子中装有个红球和若干个白球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、、、分别是、、、的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
故选：．
根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若邻边互相垂直，那么所得四边形是矩形．
本题考查的是三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
 5.【答案】 【解析】解：、有一个角等于的两个等腰三角形相似，因为只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；
B、两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意；
C、有一个角等于的两个等腰三角形相似，错误，角可能是顶角，也可能是底角，本选项不符合题意；
D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为时，是全等三角形，本选项不符合题意．
故选A．
根据相似图形的定义一一判断即可．
本题考查相似图形，全等三角形的判定．
 6.【答案】 【解析】解：点、、、分别是边、的三等分点，
，：：：：，
∽∽，
：：：：，
的面积为，
，，
四边形的面积为．
故选：．
由点、、、分别是边、的三等分点，可得，：：：：，即可证得∽∽，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得：：的值，再根据的面积为，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．
 7.【答案】 【解析】解：，
因式分解得：，
解得：或，
A.，符合三角形三边关系定理，
B.，符合三角形三边关系定理，
C.，符合三角形三边关系定理，
D.，不符合三角形三边关系定理，
故选：．
先求出方程的解，再根据三角形三边关系定理判断即可．
本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出一元二次方程的解是解此题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：在▱中，，，
：：，
，

，
，，
∽，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的对边相等可得，然后求出，再根据相似三角形的性质求出、的比，然后求解即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出、的比是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：设道路的宽米，则
．
故选C．
设道路的宽米，小路的面积一个长宽的矩形面积一个长宽的矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．
 10.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，．
，
，
，
，即．
在和中，
，
≌，
．
故正确；
≌，
，
四边形是正方形，是的角平分线，
，
点到边与边的距离相等，
即中边的高与中边的高相等，
又，
，
故正确；
设正方形的边长为，
当是的中点时，，，
由勾股定理得：
，
，
，，
∽，
，

，，
∽，
，
即，
，
，
，
，
．
当是的中点时，，
故正确；
当时，，
，，
，
∽，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确．
综上所述，正确的有个．
故选：．
通过证明≌推出，；
利用角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，可证中边上的高与中边上的高相等，通过“等底等高”证明；
先证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当是的中点时，；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
整理，得：，
，
故答案为：．
利用比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行判断．
本题主要考查比例的基本性质，掌握由可得是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：因为太阳光线是平行光线，
所以篮板在地面上的阴影部分为矩形，此矩形的长等于篮板长，为，
由于太阳光与地面成角，则矩形的宽等于篮板宽，为，
所以篮板长留在地面上的阴影部分面积
故答案为．
根据平行投影，篮板在地面上的阴影部分为矩形，此矩形的长等于篮板长，为，由于太阳光与地面成角，根据等腰直角三角形的性质得矩形的宽等于篮板宽，为，然后根据矩形得面积公式求解．
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．太阳光线是平行光线．
 13.【答案】 【解析】解：为一元二次方程的根，
，
即，
，
，分别为一元二次方程的两个实数，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，再把化为，接着根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
 14.【答案】 【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
∽，
，
由题意得，，
，
解得，，
，
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，根据相似三角形的性质得到，代入计算即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 15.【答案】 【解析】解：延长，交于点，过点作于点，如图，

则，
，
为等腰直角三角形．
四边形是矩形，
，，．
设，则，，

．
，，
．
在和中，
，
≌．
，．
．
，，
∽．
．
．
．
．
故答案为：．
延长，交于点，过点作于点，设，利用已知条件中的特殊角得到，，，通过证明≌，得到，，，利用∽，得出比例式即可求得线段，则结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，利用已知条件作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 16.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
，
或，
，． 【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 17.【答案】解：；
如图所示：











由题意可得：

由树状图可知，共有种等可能的结果，选中甲同学有种结果，
所以，即选中甲同学的概率是． 【解析】解：该地区调查的九年级学生数为：名，
故答案为：；
去向的学生有：人，
去向所占的百分比为：，
补全的统计图如图所示，











见答案．

根据统计图可以得到本次调查的九年级学生数；
根据题目中的数据可以得到统计图中未知的数据，从而可以解答本题；
根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得选中甲同学的概率．
本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 18.【答案】解：如图，连接、并延长，它们的交点即为路灯的位置，
再连接、，并延长交地面于点、，连接，则为的影子，
所以点和为所作；

如图，过点作交于点，交于点，
由题可得，，，
，
∽，
：：，即：：，
解得．
答：路灯与地面的距离为． 【解析】连接、并延长，它们的交点即为路灯的位置，然后再连接、，并延长交地面于点、点，连接，则为的影子；
如图，过点作交于点，交于点，由题可得，，，证明∽，利用相似比等于对应高的比，计算出即可得到路灯与地面的距离．
本题考查了中心投影：由同一点点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影，中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．也考查了相似三角形的判定与性质．
 19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；

解：，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
由勾股定理得：． 【解析】根据矩形的性质得出，，，求出，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定推出≌，根据全等三角形的性质得出，求出，根据菱形的判定得出即可；
求出是等边三角形，求出，求出，求出，求出，根据勾股定理求出答案即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 20.【答案】解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是．
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元． 【解析】设月平均增长率是，利用月份的销售量月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 21.【答案】解：在矩形中，
，，
，，，
，
过点作于点，
则，
根据题意，得 ，
解得：，．
答：的面积等于时，的值为或．

如答图，当时，，
，，，，，
∽，
，即，解得秒；
如答图，当时，，
，，
∽，
，即，解得秒．
综上所述，为秒与秒时，与相似． 【解析】在矩形中求出对角线的长度，然后表示出、的长度，过点作于点，然后在中表示出的长度，根据面积为，列方程求解．
分与两种情况进行讨论即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答时要注意分类讨论．
 22.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，
由旋转得：≌，
，，，，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，
．
在中，，
则，
设正方形的边长为，则，，
，
解得：，
即正方形的边长是；
故答案为：；

，
理由如下：如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，

，，，，
，
，
，
又，，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
；

如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，

则四边形是正方形，
，
设，则，
，
∽，
，
，
，
由得：，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长是．
由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证≌，得出证出在中，由勾股定理得出，则，设正方形的边长为，则，，得出方程，解方程即可；
将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求，由勾股定理可求解；
延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，则四边形是正方形，得出，设，则，由平行线得出∽，求出，得出，由得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．