2022-2023学年山东省聊城市临清市、东阿县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省聊城市临清市、东阿县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在中，，，，则是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 点，是边，边上的两个点，请你再添加一个条件，使得∽，则下列选项不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知两个相似三角形的周长比为：，若较大三角形的面积等于，则较小三角形的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，点在上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 在中，，，，以点为圆心，以长为半径画圆，若与边只有一个公共点，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

7. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，点、、都在格点上，点在的外接圆上，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，▱中，是延长线上一点，交于点，且：：，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是(    )

A.  B. ： C.  D. ：

11. 如图，在等边中，点，分别在边，上，，若，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点下列结论：∽；平分；，其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，在中，点，分别在边，上，若，，，则的长为______．

14. 某滑雪运动员沿坡度为：的斜坡滑下米，那么他下降的高度为______米．
15. 的斜边为，其内切圆的半径等于，则的周长等于______．
16. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接、若，则的大小为______．

17. 如图，一块三角形余料，它的边，高现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    求下列各式的值：
    ；
    ．
19. 本小题分
    如图所示，小华在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
    在图中标出与的位似中心点的位置，并写出点的坐标；
    若以点为位似中心，请你帮小华在轴左侧画出的位似图形，且与的位似比为：．
20. 本小题分
    如图，在中，，，，求长．

21. 本小题分
    中，是直角，过斜边中点而垂直于斜边的直线交的延长线于，交于，连．
    求证：∽；
    ．

22. 本小题分
    如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连结．
    求证：．

23. 本小题分
    如图，图分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底座矩形的高，宽，底座与支架所成的角，支架的长为，篮板顶端到篮筐的距离与地面垂直，支架与地面垂直，支架与垂直，篮板底部支架与支架所成的角，求篮筐到地面的距离精确到参考数据：，，，，，

24. 本小题分
    如图，是的直径，是的弦，于点，交于，与过点的直线交于点，且．
    求证：是的切线；
    若的半径为，，求的长．

25. 本小题分
    如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．
    在中，．
    如图，若，请过顶点画出的“形似线段”，并标注必要度数；
    如图，若，，则的“形似线段”的长是______；
    如图，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
故选：．
直接根据正切的定义求出结果．
本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
故A选项不符合题意；
B.由，不能判定∽，故B选项符合题意；
C.，，
∽，
故C选项不符合题意；
D.，，
∽．
故D选项不符合题意．
故选：．
根据相似三角形的判定可得出答案．
此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：两个相似三角形的周长之比为：，
两个相似三角形的相似比是：，
两个相似三角形的面积比是：，
又较大三角形的面积等于，
较小三角形的面积为，
故选：．
根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
 

4.【答案】 

【解析】解：，点在上，
，
故选：．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出的度数．
本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：．
利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．
根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【解答】
解：，，，
．
如果以点为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，
过点作于点，
当直线与圆相切时，，圆与斜边只有一个公共点，圆与斜边只有一个公共点，

，
当半径，如图所示，此时圆与斜边也可以有一个交点，
，
故答案为：或．  

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，
∽，
：：，
：：，，
：：：，
：：，
：：，
，
：：．
．
故选：．
由平行四边形的性质可得，，，，则可判定∽，从而可得比例式，结合，及：：，可得答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，设的半径为，则，，

，过圆心，，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，，
，
，
故选：．
连接，设的半径为，则，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，得出，求出，再求出，最后根据勾股定理求出即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接、；
因为、切圆于、，
所以，；
又因为，
，
所以≌，
故；
又为等边三角形，
，
，
：：．
故选：．
作出辅助线、，证明为直角三角形且为，即可求出、的比．
此题将等边三角形的内切圆半径和外接圆半径综合考查，找到直角三角形，将三角形内切圆和三角形外接圆联系起来是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设的长为，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，

．
故选：．
利用，证明∽，得出，再根据已知条件，，求出即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将以点为中心逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
平分，
符合题意；
，，
∽，
符合题意；
，
，
，
∽，
，
，
符合题意；
故选：．
由旋转的性质得出，，，，进而得出，得出，得出平分，可判断结论符合题意；由，，得出∽，可判断结论符合题意；由，得出，由相似三角形的旋转得出，进而得出，可判断结论符合题意；即可得出答案．
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握旋转的性质，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据得∽，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设他下降的高度为米，
斜坡的坡度为：，
他滑行的水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：负值舍去，
他下降的高度为米，
故答案为：．
设他下降的高度为米，根据坡度的概念用表示出他滑行的水平距离，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，三边分别切圆于点，，，

得四边形是正方形，
，
，，
，
，
．
的周长等于．
故答案为：．
根据切线的性质可得，进而可以解决问题．
此题主要考查三角形内切圆与内心，掌握切线长定理是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
是直径，
，
．
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质，圆周角定理解答即可．
本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设正方形零件的边长为，
在正方形中，，
∽，
是高，
，即，
，
答：正方形的边长为．
故答案为：．
根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即∽，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答．
本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．
 

18.【答案】解：


；



． 

【解析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答；
把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，点为所作，点的坐标为；

如图，为所作． 

【解析】连接A、C、，它们的交点为点，然后写出点的坐标；
把、、点的横纵坐标都除以得到点、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了位似的性质．
 

20.【答案】解：作于，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由锐角的正弦，余弦定义即可求解．
本题考查锐角的正弦，余弦定义，关键是作出上的高，构造直角三角形．
 

21.【答案】证明：是直角，，
，
，
∽；
是直角，，
，
，
点为直角斜边的中点，
，；
而，
∽．
，
． 

【解析】先证明，再由公共角，便可得∽；
首先证明，再由，得∽，写出比例式问题即可解决．
本题主要考查了相似三角形的判定及其性质定理，解题的关键是证明三角形相似．
 

22.【答案】证明：如图，连接，

点是的内心，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形，
． 

【解析】连接，根据点是的内心，可得，，然后证明，即可得到结论．
本题考查了三角形的内角圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆周角定理得到．
 

23.【答案】解：延长交地面于点，过点作，垂足为，如图：

则，，，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
篮筐到地面的距离约为． 

【解析】延长交地面于点，过点作，垂足为，则，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
是直径，
是的切线；
解：的半径为，
，，
，，
，
，，
∽，
，即，
． 

【解析】由等腰三角形的性质，对顶角的性质得出，，由垂线的性质得出，进而得出，即可证明是的切线；
先由勾股定理求出，再证明∽，由相似三角形的性质即可求出．
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质，垂线的性质，切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

25.【答案】或 

【解析】解：如图中，线段即为所求；

如图中，当时，线段是“形似线段”，

，，，
，，
，
．
当平分时，线段是“形似线段”，
在中，．
综上所述，的“形似线段”的长是或；

如图中，

当∽时，，
，
，
当∽时，，
，
，
．
根据，“形似线段”的定义画出图形即可；
如图中，当时，线段是“形似线段”，当平分时，线段是“形似线段”，分别求出，即可；
当∽时，，当∽时，，分别求出即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，“形似线段”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．