2022-2023学年浙江省温州市南浦实验中学、安阳实验中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省温州市南浦实验中学、安阳实验中学八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图标中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列长度的三条线段能构成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是(    )

A. 两个角分别为， B. 两个角分别为，
C. 两个角分别为， D. 两个角分别为，

5. 如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理是全等三角形的判定定理，其依据是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知≌，并且，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，的周长为，作的中垂线，交于点，连接，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，是等边三角形，过边上的点作的垂线交于点，作交于点，作交于点，，相交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上一点不与端点重合，过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点若，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 命题“如果，那么”的逆命题是______填“真命题“或“假命题”．
12. 如图，已知，请你添加一个条件，能运用直接说明≌，你添加的条件是______不添加任何字母和辅助线

13. 如图，一个等腰直角三角板恰好卡在垂直地面的两矮墙之间，，，已知墙高，，则两个墙脚之间的距离的长为______．
14. 一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，，在边上，点在边上，，相交于点，，，则的度数为______．
15. 如图，在中，平分交于点，，垂足为若，，则的面积为______．

16. 如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，，则______．
17. 等腰的直角边上有一点，连结，将沿着折叠，点落在边上，连结，则______．

18. 如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图所示，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，当伸缩杆完全收拢即时，如图所示，床高与之间的距离为，则此时伸缩杆的长度为______当成时，伸缩杆打开最大，此时的长度为，则固定钢架的长度为______．
     

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，在中，，平分，已知，，求的长．

20. 本小题分
    小明将下列题目梳理到自己的错题本中，题目为“如图，点，，，在同一条直线上，，且，求证：”，请你帮他完成题目的梳理过程．

21. 本小题分
    如图，在长、宽分别为和的长方形的边上取个标记点，它们连同个顶点将长方形的周长等分，请在三条边上各取一个标记点，按要求画出所需三角形．
    在图甲中，画出等腰三角形，但不是直角三角形．
    在图乙中，画出直角三角形，但不是等腰三角形．
     
22. 本小题分
    为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表：

第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．
第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
第三小组测得米，请你帮他们求出河宽．

23. 本小题分
    如图，在中，是钝角，延长至，使得过作于，连结交于，连结，．
    求证：为等腰三角形．
    若：，求的值．

24. 本小题分
    如图，为等腰三角形，，，点为的中点，过作于点点为射线上一点，为线段上一点不与点，重合，连结．
    求，的长．
    若，将点绕点逆时针旋转，得到点，当点落在的一边上时，求的长．
    当点与点重合时，在线段上取点，使点、关于成轴对称，求点到的距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
长度为，，的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
B、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：．
根据三角形的三边关系判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】根据锐角的概念判断即可．
解：当两个角分别为，时，这两个角都是锐角，和为，是直角，
则命题“两个锐角的和是锐角”是假命题，
故选：．
本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理，理由如下：
连接，
是，的中点，
，，
又与是对顶角，
，
在和中，
，
≌，
，
只要量出的长度，就可以知道工作的内径是否符合标准．
故选：．
卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理，因为、的中点连在一起，因此，，还有对顶角相等，所以用的判定定理是边角边．
本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：≌，，，
，
故选：．
利用三角形全等的性质，分清对应角，利用三角形内角和为便可求出结果．
牢固掌握全等三角形的性质，结合三角形内角和为进行做题是解答本题的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：，的周长为，
，
是线段的垂直平分线，
，
的周长，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、由作图可知，，
，本选项不符合题意；
B、由作图可知，，
，，
，本选项不符合题意；
C、由作图可知，点在线段的垂直平分线上，
，
，
，本选项不符合题意．
D、无法判断，．
故选：．
利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质一一判断即可．
本题考查作图复杂作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

是等边三角形，
，
，，，
，，，
，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
，
中，，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作于点，根据等边三角形的性质、解直角三角形求解即可．
此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，则，
为等腰直角三角形，，
，，
又为的中点，
，，
，，
四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
，
整理得，，
由题意知，






，
故选：．
设，，则，根据勾股定理得出关于和的代数式的值，然后用含有和的代数式表示出阴影部分的面积，进而求出阴影部分的面积即可．
本题主要考查直角三角形的知识，熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．
 

11.【答案】假命题 

【解析】解：如果，那么的逆命题是：如果，则是假命题．
故答案为：假命题．
直接利用绝对值的性质进而判断命题的正确性．
此题主要考查了命题与定理，正确写出逆命题是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：添加条件，理由如下：
在和中，
，
≌，
故答案为：．
根据全等三角形的判定定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，得，，，，
，．
．
，
在和中，
，
≌；
，，
，
．
两墙之间的距离的长为，
故答案为：．
根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明≌，根据全等三角形的性质进行解答．
此题主要考查了全等三角形判定与性质，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
 

14.【答案】． 

【解析】解：是直角三角形，，，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰直角三角形的性质可得，再由平外角性质进行求解即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
的面积．
故答案为：．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
连接，先证≌，得，再由勾股定理求出的长即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理，证明≌是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：将沿着折叠，点落在边上，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
过点作于，
，
，，
，
故答案为：．
根据折叠的性质得到，，，根据等腰直角三角形的性质得到，设，过于，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图，过点作于，交于，则．
，，
．
，
，即，
解得．
在中，，
．
在中，，
即此时伸缩杆的长度为．
如图，过点作于，过点作于，则，．
在中，，
在中，，
．
当成时，如下图，
，，，

，
是直角三角形，且，
，
在中，，
，
解得，
即固定钢架的长度为．
故答案为：，．
过点作于，交于，则由，根据平行线分线段成比例定理求出在中利用勾股定理得出，那么然后在中，利用勾股定理求出；当成时，画出图形，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得到，然后在中，利用勾股定理求出．
本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，平行线分线段成比例定理，理解题意将实际问题转化为数学模型是解题的关键．
 

19.【答案】解：，平分，
，，
，
，
故AC的长为． 

【解析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】利用证明≌，即可解决问题．
此题主要考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是找出证三角形全等的条件．
 

21.【答案】解：如图甲中，三角形即为所求答案不唯一；
如图乙中，三角形即为所求答案不唯一．
 

【解析】根据等腰三角形的定义画出图形即可；
根据直角三角形的定义画出图形即可．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，，
，
，
第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
我认为第二小组的方案可行，
证明：由题意得：
，，，
≌，
，
只要测得就能得到河宽；
由题意得：
，
，
，
，
米，
河宽为米．
根据题意可得，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等角对等边可得，即可解答；
根据题意可得：，，，从而可得≌，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答；
根据题意可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等角对等边可得米，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，，
，
，
为等腰三角形．
解：，
，
，
，
，
． 

【解析】根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，，
，
在中，，
，
；
当点在上时，如图，
过点作交于点，设与的交点为，
，，
，
，
，，
，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
；
当点在上时，
，，
≌，
；
综上所述：的长为或；
以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，
连接，
，，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
同理可得直线的解析式为，
设，，
可求得直线的解析式为，
点、关于成轴对称，
的中点，
将点代入，
可得，
解得，
，
，
，
解得舍或，
，
点到的距离为． 

【解析】利用勾股定理和等积法分别求、即可；
当点在上时，过点作交于点，设与的交点为，由，可得，求出，，再求出的长即可求；当点在上时，证明≌，即可得；
以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，连接，先求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，，再求出直线的解析式为，由对称性可求的中点，将点代入，可以确定，然后利用，确定，即可求点到的距离为．
本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．