2022-2023学年江苏省镇江市句容市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省镇江市句容市八年级（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共12小题，共36分）

1.    等边三角形的每个内角都等于______ 度．
2.    在等腰三角形中，它的顶角是，则它的底角为______．
3.    直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边中线的长是______．
4.    如图，中，，，为边中线，的面积为______．

5.    如图，≌，，，，度数为______

6.    如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来个黑色小方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有          个．
    

7.    如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是______结果保留

8.    如图，在等腰中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则______．

9.    如图，，，于点，于点，，，则的长______ ．

10. 如图，中，，，平分交于，于点，且，则的周长是______．

11. 如图，在四边形中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为______时，能够使与全等．
12. 如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形，已知的面积为，则图中阴影部分面积之和为______．

二、选择题 （本大题共8小题，共24分）

13. 下列学校的校徽图案是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

14. 若一个等腰三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长是(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

15. 在中，、、的对边分别为、、，下列条件能判断不是直角三角形的是(    )

A.  B.
C. ，， D. ，，

16. 如图，为上任意一点，分别以、为边在同侧作正方形、正方形，设，则为(    )

A.
B.
C.
D.

17. 如图，木工师傅做门框时，常用木条固定长方形门框，使其不易变形，这种做法的依据是(    )

A. 三角形稳定性
B. 长方形是轴对称图形
C. 两点之间线段最短
D. 两点确定一条直线

18. 如图所示，有一块地，已知米，米，，米，米，则这块地的面积为(    )

A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米

19. 如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，，求的长为(    )

A.
B.
C.
D.

20. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

三、解答题（本大题共7小题，共54分）

21. 如图，点，，，在一条直线上，，，求证≌．

22. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在格点上．
    作出与关于对称的图形；
    ______，______；
    在直线上找一个格点，使得为轴对称图形．

23. 如图，中，，平分，于，若，，．
    求的长；
    求的面积．

24. 如图，在中，点在上，且，为的中点，为的中点，连接交于点，连接．
    求证：；
    若，求证：．

25. 如图，中，，，，分别为，，上的点，且，
    
    求证：；
    若，求的度数．
26. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为秒．
    
    当为直角三角形时，求的值；
    当为等腰三角形时，求的值．
27. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
    
    初步尝试：如图，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形；
    理解运用：如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长；
    综合应用：如图，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：等边三角形各边长相等，
，
三角形内角和为，
．
故答案为：．
根据等边三角形各边长相等的性质即可求得，根据三角形内角和为的性质即可求得，即可解题．
本题考查了等边三角形各边长相等的性质，各内角为的性质，本题中求得是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据等腰三角形两底角相等，
底角为：
故答案为：．
由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理以及等腰三角形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：已知直角三角形的两直角边为、，
则斜边长为，
故斜边的中线长为，
故答案为．
已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
是等腰三角形，
，，
，
，
，
故答案为：．
由题意可得是等腰三角形，从而可得点是的中点，则有，利用勾股定理可求，则可求得的面积．
本题主要考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答的关键是由勾股定理求得的长度．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理和全等三角形的性质计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【解答】
解：如图所示：
，
共个．
故答案为：．
【分析】
本题考查利用轴对称设计图案，轴对称图形等知识，解题的关键是理解轴对称图形的定义，利用轴对称图形的定义可得答案．  

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
以为直径的半圆的面积是．
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长，再求出圆的半径，根据圆的面积公式即可求解．
本题考查勾股定理以及正方形的性质，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
周长，
，
腰长，
故答案为：．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出周长，再根据等腰三角形两腰相等可得，代入数据计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两腰相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
故答案为：．
由直角三角形的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是的平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
，
的周长




，
，
的周长是；
故答案为：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长，再根据，即可得出答案．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出的周长是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设点的运动时间为，运动的速度为，则，，，
点为的中点，
，
，
当，时，≌，
即，，
解得，舍去；
当，时，≌，
即，，
解得，；
综上所述，点的运动速度为时，能够使与全等．
故答案为：．
设点的运动时间为，运动的速度为，则，，，由于，当，时，利用“”可判断≌，即，；当，时，利用“”可判断≌，即，，然后分别解方程即可．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，
即，
图中阴影部分面积之和，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

14.【答案】 

【解析】解：当为底时，其它两边都为，、、不能构成三角形，
当为腰时，其它两边为和，因为，所以能构成三角形，
所以该三角形的周长是：．
故选：．
因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
 

15.【答案】 

【解析】解：、由条件，且，可求得，故是直角三角形；
B、由条件可得到，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、，，，，故是直角三角形；
D、，，，，故不是直角三角形．
故选：．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，
，
，
四边形、是正方形，
，，，
在和中，

≌，
．
故选：．
根据正方形的性质先表示出的度数，然后利用“”证明≌，证得即可求得答案．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的．
 

17.【答案】 

【解析】解：加上后，原不稳定的四边形中具有了稳定的，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：．
用木条固定矩形门框，即是组成，故可用三角形的稳定性解释．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
由勾股定理可知
，
又
是直角三角形
故所求面积的面积的面积
故选：．
连接，利用勾股定理可以得出和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积．
考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用．
 

19.【答案】 

【解析】解：作于，如图，

是的角平分线，，，
，
，
，
，
．
故选：．
作于，如图，根据角平分线的定义得到，再利用三角形面积公式得到，然后求出的长．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，在上截取，
的平分线交于点，
，
在与中，
，
≌，
．
，
欲求最小值，只要求的最小值，
当、、共线，时，最小，
，，
，
的最小值是．
故选：．
在上截取，先证明≌，推出欲求最小值，只要求的最小值，当、、共线，时，最小．
本题考查了轴对称最短问题、直角三角形度角性质等知识，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把进行转化，利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌． 

【解析】根据平行线的性质得出，进而利用证明≌即可．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
 

22.【答案】   

【解析】解：如图所示，即为所求；
，；
故答案为：，；
如图所示，点即为所求．
分别作出点、、关于直线的对称点，，结论；
根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式求得；
作线段的垂直平分线交直线于，点即为所求．
本题考查了作图轴对称变换，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：平分，，，
，
，
；
在中，，，，
由勾股定理，得，
的面积为． 

【解析】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
根据角平分线的性质得到；
根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算．
 

24.【答案】证明：连接，如图，

，为的中点，
，
为的中点，
；
证明：，
，
为的中点，
，
，
≌，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得；
根据“”证明≌，可得，进而可得结论．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活应用定理是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：证明：，，
．
，
．
又，
≌．
≌
．
是等腰三角形．

又在中，，
，

． 

【解析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．
由已知，，，可证≌；
由可得，即是等腰三角形，又因为在中，，可求出，即，从而求出的度数．
 

26.【答案】解：，，，
．
当为直角时，点与点重合，，
．
当为直角时，，，，
在中，，
在中，，
，
解得．
综上，当为直角三角形时，或．
解：当时，
．
当时，，
．
当时，，，，
在中，，
，
解得．
综上，当为等腰三角形时，或或． 

【解析】首先直接根据勾股定理求出的长度，再分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出此时的值即可；
当为等腰三角形时，分三种情况：当时；当时；当时，分别求出的长度，继而可求得值．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
 

27.【答案】 

【解析】解：如图中，在上截取，
中，，
，，
，

，
，
与不全等，
与为积等三角形，
当时，与为积等三角形；
故答案为：；
解：如图，延长至，使，连接，

与为积等三角形，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
为正整数，
或，
的长为或；
证明：如图，过点作，交延长线于点，

四边形和四边形均为正方形，
，，
，，
．
在和中，
，
≌．
，，
，
，
，
．
与为积等三角形．
利用三角形的中线的性质即可解决问题．
证明≌，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题．
过点作，交延长线于点，先证明≌，则，，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．