专题17 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）

这是一份专题17 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
专题17 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）
一、单选题
1．（2022·岳阳）下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
2．（2022·长沙）如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB=128°，则∠P的度数为（　　）

A．32° B．52° C．64° D．72°
3．（2022·怀化）下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4．（2022·娄底）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（　　）

A．3π18 B．318 C．3π9 D．39
5．（2022·邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（　　）

A．32 B．32 C．3 D．52
6．（2022·株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（　　）

A．115° B．118° C．120° D．125°
7．（2022·湘西）一个正六边形的内角和的度数为（　　）
A．1080° B．720° C．540° D．360°
8．（2022·益阳）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　　）

A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心 D．I到A，B，C三点的距离相等
9．（2021·湘西）如图，面积为18的正方形 ABCD 内接于⊙O，则 AB 的长度为（　　）

A．9π B．92π C．3π2 D．94π
10．（2021·娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙ A 与直线 l：y=512x 只有一个公共点时，点A的坐标为（　　）

A．(-12，0) B．(-13，0) C．(±12，0) D．(±13，0)
二、填空题
11．（2022·长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为　 　.

12．（2022·岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，AB=8，BD为弦，过点A的切线与BD的延长线交于点C，E为线段BD上一点（不与点B重合），且OE=DE.

（1）若∠B=35°，则AD的长为　 　（结果保留π）；
（2）若AC=6，则DEBE=　 　.
13．（2022·郴州）如图，点A，B，C在 ⊙O 上， ∠AOB=62° ，则 ∠ACB=　 　度.

14．（2022·衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了 120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了　 　 cm .（结果保留 π）

15．（2022·株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为　 　丈.

16．（2022·衡阳模拟）圆锥体的高为4cm，圆锥的底面半径为3cm，则该圆锥的表面积为　 　.
17．（2022·永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC=30°，则∠BOC=　 　度.

18．（2022·郴州）如图，圆锥的母线长 AB=12cm ，底面圆的直径 BC=10cm ，则该圆锥的侧面积等于　 　cm2 .（结果用含 π 的式子表示）

19．（2022·怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为　 　.

20．（2021·娄底）如图所示的扇形中，已知 OA=20，AC=30，AB=40 ，则 CD=　 　.

三、综合题
21．（2022·湘西）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．

（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若CF＝2，sinC＝35，求AE的长．
22．（2022·常德）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F.

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=8，AE=1，求ED、EF的长.
23．（2022·长沙）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF.

（1）求证：△ABE∽△DCE；
（2）当DC=CB，∠DFE=2∠CDB时，则AEBE-DECE=　 　；AFAB+FEAD=　 　；1AB+1AD-1AF=　 　.（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S1，S2，若满足S=S1+S2，试判断，△ABE，△CDE的形状，并说明理由.
②当DC=CB，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，n，p的式子表示AE⋅CE.
24．（2022·郴州）如图，在 △ABC 中， AB=AC .以AB为直径的 ⊙O 与线段BC交于点D，过点D作 DE⊥AC ，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.

（1）求证：直线PE是 ⊙O 的切线；
（2）若 ⊙O 的半径为6， ∠P=30° ，求CE的长.
25．（2022·湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB.

（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式.
26．（2022·衡阳）如图， AB 为 ⊙O 的直径，过圆上一点 D 作 ⊙O 的切线 CD 交 BA 的延长线与点 C ，过点 O 作 OE∥AD 交 CD 于点 E ，连接 BE .

（1）直线 BE 与 ⊙O 相切吗？并说明理由；
（2）若 CA=2 ， CD=4 ，求 DE 的长.
27．（2022·永州）如图，已知AB，CE是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点D在EA的延长线上，AC，OD交于点F，∠MBC=∠ACD

（1）求证：∠MBC=∠BAC；
（2）求证：AE=AD；
（3）若△OFC的面积S1=4，求四边形AOCD的面积S.
28．（2022·益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．

（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A选项符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B选项不符合题意；
C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C选项不符合题意；
D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质可判断A；根据平行四边形的性质可判断B；根据内心的概念可判断C；根据全等三角形的判定定理可判断D.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠AOB=128°，
则∠P=360°-90°-90°-128°=52°.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°，然后结合四边形内角和为360°进行计算.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；
B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；
C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；
D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角互为对顶角，据此可判断A；根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断B；根据“外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点”可判断C；根据线段垂直平分线的性质“ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ”可判断D.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，

令BC=2a，则BD=a，
在等边三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD=12∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=3a，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=33a，
∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比为π(33a)2×1212×2a×3a=3π18.
故答案为：A.
【分析】令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，由题可知：圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠OBD=30°，利用勾股定理可得AD，根据三角函数的概念可得OD，然后结合圆的面积公式进行计算.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：作直径AD，连接CD，如图，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，
∴∠DAC=30°，
∴CD=12AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(12AD)2+32，
∴AD=23，
∴OA=OB=12AD=3.
故答案为：C.
【分析】作直径AD，连接CD，根据等边三角形的三个角都等于60°，可得∠B=60°，根据圆周角定理可得∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=12AD，结合勾股定理求出AD，据此可得⊙O的半径.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠DFE=180°-∠A=120°，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠DFE=180°，据此计算.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为（6-2）×180°=4×180°=720°.
故答案为：B.
【分析】利用n边形的内角和为（n-2）×180°，代入计算求出结果.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵BD平分∠ABC，I是BD上的一点
∴I到AB，AC边的距离相等，故A不符合题意；
B、由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点I，
∴CI平分∠ACB，故B不符合题意；
C，∵I是△ABC的三个角的平分线的交点，
∴I是△ABC的内心，故C不符合题意；
D、∵I到AB，AC，BC的距离相等，
∴I不是到A，B，C三点的距离相等，故D符合题意
故答案为：D.
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可对A作出判断；由作图可知，AE是∠BAC的平分线，根据三角形三条角平分线交于一点I，可对B作出判断；再根据三角形的三个角的平分线的交点是三角形的内心，可对C作出判断；利用角平分线的性质，可对D作出判断.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：连接BD、AC，

∵四边形 ABCD 是正方形，且面积为18，
∴∠AOB=90°，BD2=36 ，
∴BD=6 ，
∴OB=12BD=3 ，
∴AB 的长度为 nπr180=90×3×π180=3π2 ；
故答案为：C.
【分析】连接BD、AC，由正方形ABCD的面积为18，可求出BD=6，根据正方形的性质∠AOB=90°，OB=12BD=3，利用弧长公式计算即得结论.
10．【答案】D
【解析】【解答】如下图所示，连接 AB ，过 B 点作 BC//OA ，

此时 B 点坐标可表示为 (x，512x) ，
∴OC=512|x| ， BC=|x| ，
在 Rt△OBC 中， OB=BC2+OC2=x2+(512x)2=1312|x| ，
又∵⊙A 半径为5，
∴AB=5 ，
∵BC//OA ，
∴△AOB∽△OBC ，
则 OABO=ABOC=OBBC ，
∴OA1312|x|=5512|x| ，
∴OA=13 ，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为 (±13，0) ，
故答案为：D.
【分析】连接 AB ，过 B 点作 BC//OA ，此时 B 点坐标可表示为 (x，512x) ，从而求出OC、BC、OB，证明△AOB∽△OBC ，可得OABO=ABOC=OBBC，代入相应数据可求出OA，由于左右两侧都有相切的可能，据此求出点A坐标.
11．【答案】7
【解析】【解答】解：如图，连接OB、AC，

∵ A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，
∴AD=DB，
∵ D为OC的中点，
∴OD=DC，
∴四边形AOBC是菱形，
∴BC=AO=7.
故答案为：7.
【分析】连接OB、CA，根据垂径定理可得AD=DB，由中点的概念可得OD=DC，推出四边形AOBC为菱形，然后结合OA的值可得BC的值.
12．【答案】（1）14π9
（2）2539
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOD=2∠ABD=70°，
∴AD的长=70⋅π⋅4180=14π9；
故答案为：14π9；
（2）连接AD，

∵AC是切线，AB是直径，
∴AB⊥AC，
∴BC=AB2+AC2=82+62=10，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥CB，
∴12⋅AB⋅AC=12⋅BC⋅AD，
∴AD=245，
∴BD=AB2-AD2=82-(245)2=325，
∵OB=OD，EO=ED，
∴∠EDO=∠EOD=∠OBD，
∴△DOE∽△DBO，
∴DODB=DEDO，
∴4325=DE4，
∴DE=52，
∴BE=BD-DE=325-52=3910，
∴DEBE=523910=2539.
故答案为：2539.
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD=70°，然后结合弧长公式进行计算；
（2）连接AD，根据切线的性质可得AB⊥AC，由勾股定理可得AC，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，然后根据△ABC的面积公式可求出AD，由勾股定理可得BD，根据等腰三角形的性质可得∠EDO=∠EOD=∠OBD，证明△DOE∽△DBO，根据相似三角形的性质可得DE，由BE=BD-DE可得BE，据此求解.
13．【答案】31
【解析】【解答】解：由圆周角定理可知： ∠ACB=12∠AOB=12×62°=31°
故答案为：31.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案.
14．【答案】4π
【解析】【解答】解：由题意可知物体上升的距离就是半径为6cm，圆心角为120°的弧长，
∴120π×6180=4π
故答案为：4π.
【分析】由题意可知物体上升的距离就是半径为6cm，圆心角为120°的弧长，再利用弧长公式进行计算.
15．【答案】（8-22）
【解析】【解答】解：如图，

设⊙O与AD边的切点为点C，连接OC，
则OC=2（丈），OC⊥AD，
由正方形的性质知∠EAD=90°，对角线AB平分∠EAD，
∴∠OAC=12∠EAD=45°，
∴AO=OCsin∠OAC=2sin45°=2×22=22（丈），
∴AN=ON+AO=2+22（丈），
∴BN=AB-AN=10-(2+22)=8-22（丈）.
故答案为：（8-22）.
【分析】设⊙O与AD边的切点为点C，连接OC，则OC=2丈，OC⊥AD，根据正方形的性质可得∠EAD=90°，对角线AB平分∠EAD，则∠OAC=45°，根据三角函数的概念可得AO，由AN=ON+AO可得AN，然后根据BN=AB-AN进行计算.
16．【答案】24πcm2
【解析】【解答】解：∵圆锥体的高为4cm，圆锥的底面半径为3cm，

∴SA=OA2+OS2=32+42=5cm，
∴该圆锥的表面积=πrl+πr2=15π+9π=24πcm2，
故答案为：24πcm2.
【分析】根据圆锥的高、底面圆的半径与母线长构成直角三角形，结合勾股定理可得SA的值，然后根据S表=S侧+S底=πrl+πr2进行计算.
17．【答案】120
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°.
故答案为：120.
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠AOC的度数，再利用邻补角的定义求出∠BOC的度数.
18．【答案】60π
【解析】【解答】解：根据题意，
∵圆锥的母线长 AB=12cm ，底面圆的直径 BC=10cm ，
∴圆锥的侧面积为：
S=10π×122=60π ；
故答案为：60π.
【分析】根据圆锥的侧面积S=πrl（l为母线长，r为底面圆的半径）进行计算即可.
19．【答案】5
【解析】【解答】解：连接OC，

∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=32-22=5.
故答案为：5.
【分析】连接OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，即∠OCA=90°，然后利用勾股定理进行计算.
20．【答案】100
【解析】【解答】解：设扇形圆心角度数为n°，
∵OA=20，AB=40 ，
∴在扇形 AOB 中， AB=2π·OA·n360 ，
解得： n=360π ，
∴在扇形 COD 中， OC=OA+AC=20+30=50 ，
CD=2π·OC·n360=2π×50×360π360=100
故答案为：100.
【分析】先求出扇形圆心角度数360π，再求出OC=OA+AC=50，利用弧长公式计算即可.
21．【答案】（1）证明：连接OE，

方法一：
∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：
∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，

∵CF＝2，sinC＝35，
∴OEOF+CF=35，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝3，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC•sinC＝8×35＝245，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cos∠OAE＝cos∠BAE，即ABAE=AEAF，∴245AE=AE3+3，
解得AE＝1255（舍去负数），
∴AE的长为1255．
【解析】【分析】（1）方法一：连接OE，利用角平分线的定义可证得∠BAC＝2∠OAE，利用圆周角定理可证得∠FOE＝2∠OAE，由此可推出∠FOE＝∠BAC，利用平行线的性质可证得OE⊥BC，然后利用切线的判定定理可证得结论；方法二：利用角平分线的定义可证得∠OAE＝∠BAE，利用等边对等角可知∠OAE＝∠OEA，由此可推出∠BAE＝∠OEA，利用平行线的判定定理可证得OE∥AB，再利用平行线的性质可证得OE⊥BC；然后根据切线的判定定理可证得结论.
（2）连接EF，利用解直角三角形可求出OF，OE的长，即可求出AC的长；再利用解直角三角形求出AB的长；由∠OAE=∠BAE，可得到cos∠OAE＝cos∠BAE，利用锐角三角函数的定义，可得到关于AE的方程，解方程求出AE的长.
22．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：

∵AD∥OC
∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC
∵OA=OD
∴∠ADO=∠DAO
∴∠DOC=∠BOC
∵OD=OB，OC=OC
∴△ODC≌△OBC
∴∠OBC=∠ODC
∵BC⊥AB
∴∠OBC=∠ODC=90°
∵OD为经过圆心的半径
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：如图所示：作DM⊥BC交BC于点M

∵AB=8，AE=1，
∴OA=OB=OD=12AB=4，OE=OA-AE=3
DE=BM=OD2-OE2=7
令CM=x，CB=CD=x+7，BE=DM=7
∴在Rt△DMC，CM2+DM2=CD2
∴(x+7)2=72+x2，解得：x=37
∴BC=47
∵DE∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴EFBC=AEAB=18=EF47
∴EF=72
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质可得∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，根据等腰三角形的性质可得∠ADO=∠DAO，则∠DOC=∠BOC，利用SAS证明△ODC≌△OBC，得到∠OBC=∠ODC=90°，据此证明；
（2）作DM⊥BC交BC于点M，由题意可得OA=OB=OD=4，OE=OA-AE=3，利用勾股定理可得DE，令CM=x，则CB=CD=7x，根据勾股定理可得x，据此可得BC，易证△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
23．【答案】（1）证明：∵AD=AD，
∴∠ACD=∠ABD，
即∠ABE=∠DCE，
又∠DEC=∠AEB，
∴△ABE∽△DCE
（2）0；1；0
（3）解：①记△ADE，△EBC的面积为S3，S4，
则S=S1+S2+S3+S4，
∵S1S3=S4S2=BEDE，
∴S1S2=S3S4①
∵S=S1+S2，
即S=S1+S2+2S1S2，
∴S3+S4=2S1S2②
由①②可得S3+S4=2S3S4，
即(S3-S4)2=0，
∴S3=S4，
∴S△ABE+S△ADE=S△ABE+S△EBC，
即S△ABD=S△ADC，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠BAC，∠CDB=∠DBA，
∵∠ACD=∠ABD，∠CDB=∠CAB，
∴∠EDC=∠ECD=∠EBA=∠EAB，
∴△ABE，△DCE都为等腰三角形；
②∵DC=BC，
∴∠DAC=∠EAB，
∵∠DCA=∠EBA，
∴△DAC∽△EAB，
∴ADEA=ACAB，
∵AB=m，AD=n，CD=p，
∴EA⋅AC=DA×AB=mn，
∵∠BDC=∠BAC=∠DAC，
∴∠CDE=∠CAD，
又∠ECD=∠DCA，
∴△DCE∽△ACD，
∴CDAC=CECD，
∴CE⋅CA=CD2=p2，
∴EA⋅AC+CE⋅AC=AC2=mn+p2，
则AC=mn+p2，EC=CD2AC=p2mn+p2，
∴AE=AC-CE=mnmn+p2，
∴AE⋅EC=mnp2mn+p2
【解析】【解答】解：（2）∵△ABE∽△DCE，
∴ABDC=BECE=AEDE，
∴AE⋅CE=BE⋅DE，
∴AEBE-DECE=AE⋅CE-BE⋅DEBE⋅CE=0，
∵∠CDB+∠CBD=180°-∠BCD=∠DAB=2∠CDB，
∵∠DFE=2∠CDB，
∴∠DFE=∠DAB，
∴EF∥AB，
∴∠FEA=∠EAB，
∵DC=CB，
∴∠DAC=∠BAC
∴∠FAE=∠FEA，
∴FA=FE，
∵EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB，
∴EFAB=DFAD，
∴AFAB+FEAD=EFAB+AFAD=DFAD+AFAD=ADAD=1，
∵AFAB+AFAD=AFAB+EFAD=1，
∴AFAB+AFAD=1，
∴1AB+1AD-1AF=0
故答案为：0，1，0；
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得∠ACD=∠ABD，即∠ABE=∠DCE，由对顶角的性质可得∠DEC=∠AEB，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据相似三角形的性质可得AE·CE=BE·DE，对AEBE-DECE进行通分可得可得第一空的答案；根据内角和定理、圆内接四边形的性质可得∠CDB+∠CBD=180°-∠BCD=∠DAB=2∠CDB，结合已知条件可得∠DFE=∠DAB，推出EF∥AB，由平行线的性质可得∠FEA=∠EAB，根据圆周角定理可得∠DAC=∠BAC，进而得到FA=FE，证明△DFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得AFAB+FEAD=EFAB+AFAD=DFAD+AFAD=ADAD，据此可得第二空的答案；根据AFAB+AFAD=AFAB+EFAD=1可得AFAB+AFAD=1，据此可得第三空的答案；
（3）①记△ADE、△EBC的面积为S3、S4，则S=S1+S2+S3+S4，易得S1S2=S3S4，根据已知条件可得S3+S4=2S1S2，则可推出S3=S4，结合面积间的和差关系可得S△ABD=S△ADC，推出CD∥AB，结合平行线的性质以及圆周角定理可得∠EDC=∠ECD=∠EBA=∠EAB，据此证明；
②根据圆周角定理可得∠DAC=∠EAB，∠DCA=∠EBA，证明△DAC∽△EAB，△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得EA·AC=DA·AB=mn，CE·CA=CD2=p2，然后表示出AC、EC，由AE=AC-CE可得AE，据此求解.
24．【答案】（1）证明：连接AD、OD，记 ∠ABD=∠1 ， ∠ODB=∠2 ，

∵DE⊥AC ，
∴∠CED=90° .
∵AB=AC ，
∴∠1=∠C .
∵OB=OD ，
∴∠1=∠2 ，
∴∠C=∠2 ，
∴OD∥AC ，
∴∠ODE=∠CED=90° ，
∴PE⊥OD ，
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线PE是⊙O的切线.
（2）解：连接AD，

∵AB是直径，
∴∠ADB=90° ，
∴AD⊥BC .
又∵AB=AC ，
∴CD=12BC ，
∵∠P=30° ， ∠PEA=90° ，
∴∠PAE=60° ，
又∵AB=AC ，
∴△ABC 为等边三角形，
∴∠C=60° ， BC=AB=12 ，
∴CD=12BC=6 ，
在 Rt△CDE 中，∵cosC=CECD ，
∴CE=CDcos60°=6×12=3
【解析】【分析】（1）连AD、OD，记∠ABD=∠1，∠ODB=∠2，由等腰三角形性质得∠1=∠C，∠1=∠2，则∠C=∠2，推出OD∥AC，由平行线的性质可得∠ODE=∠CED=90°，据此证明；
（2）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，结合等腰三角形的性质得CD=12BC，易得△ABC 为等边三角形，得到∠C=60°，BC=AB=12，CD=12BC=6，然后根据三角函数的概念就可求出CE.
25．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
则0=3k+bb=4，
解得k=-43b=4，
∴y=-43x+4，
∵⊙P分别与x轴和y轴相切，
设P（a，a），
∴a=-43a+4，
解得：a=127，
∴P（127，127），
设反比例函数解析式为：y=mx，
∴m=xy=127×127=14449，
∴y=14449x；
（2）解：∵AM=OA=3，AB=OA2+OB2=5，
∴BM=AB-AM=2，
∵∠BMN=∠AOB=90°，∠ABO=∠MBN，
∴△BMN∽△BOA，
∴MNOA=BMOB，
即MN3=24，
解得MN=32，
∴ON=NM=1.5，
∴N(0，32)，
设经过A、N两点的一次函数表达式为y=kx+32，
∴0=3k+32，
解得k=-32，
∴y=-12x+32.
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出直线AB的解析式，设P（a，a），将其代入解析式求出P点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
(2)利用勾股定理求出AB长，证明△BMN∽△BOA，根据相似比的性质求出MN长，则可得出ON长，从而得出N点坐标，再根据待定系数法求直线AN的解析式即可.
26．【答案】（1）解：证明：连接 OD .

∵CD 为 ⊙O 切线，∴∠ODC=∠ODE=90° ，
又∵OE∥AD ，∴∠DAO=∠EOB ， ∠ADO=∠EOD ，
且 ∠ADO=∠DAO ，∴∠EOD=∠EOB ，
在 △ODE 与 △OBE 中；
∵OD=OB∠EOD=∠EOBOE=OE ，
∴△ODE≌△OBE ，
∴∠OBE=∠ODE=90° ，
∴直线 BE 与 ⊙O 相切.
（2）解：设半径为 r ；
则： r2+42=(2+r)2 ，得 r=3 ；
在直角三角形 CBE 中， BC2+BE2=CE2 ，
(2+3+3)2+DE2=(4+DE)2 ，解得 DE=6 .
【解析】【分析】（1）连接OD，利用切线的性质可证得∠ODC=∠ODE=90°，可得到OE∥AD，利用平行线的性质及等边对等角可证得∠DAO=∠EOB，∠ADO=∠EOD，∠ADO=∠DAO，可推出∠EOD=∠EOB；再利用SAS证明△ODE≌△OBE，利用全等三角形的性质可得到∠OBE=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）设圆的半径为r，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；在Rt△CBE中，利用勾股定理可得到关于DE的方程，解方程求出DE的长.
27．【答案】（1）证明：∵CE是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，
∴∠ABC+∠MBC=90°，∠ACB=90°
∴∠ABC+∠BAC=90°
∴∠MBC=∠BAC
（2）证明：∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACE
∵∠MBC=∠ACD，∠MBC=∠BAC
∴∠ACD=∠ACE
∵CE是直径，∴∠EAC=∠DAC=90°
∵AC=AC，∴△AEC≌△ADC(ASA)
∴AE=AD
（3）解：∵∠BAC=∠ACD∴AB∥DC
∴AODC=EOEC=12
∴AODC=FODF=AFCF=12
∵S△OFC=4
∴S△AOF=2，S△ADF=S△COF=4，S△CDF=8
∴S四边形AOCD=S△AOF+S△ADF+S△COF+S△CDF=2+4+4+8=18
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用切线的性质可证得∠ABC+∠MBC=90°，然后利用三角形的内角和定理和余角的性质可证得结论.
（2）利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACE，可推出∠ACD=∠ACE；利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠EAC=∠DAC=90°；然后利用ASA证明△AEC≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）易证AB∥CD，可推出△AEO∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式；利用相似三角形的性质可求出△AOF，△COF，△CDF的面积，然后求出四边形AOCD的面积.
28．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝12AB＝2，AC＝3BC＝23，∴S△ABC＝12BC•AC＝12×2×23＝23，∴阴影部分的面积是12π×(AB2)2﹣23＝2π﹣23，答：阴影部分的面积是2π﹣23．
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可知∠ACB=90°，利用圆的切线垂直于过切点的半径，可证得∠OCP=90°，利用余角的性质可证得结论.
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，结合已知条件可证得∠ABC＝2∠ACO，利用等腰三角形的性质可得到∠ACO＝∠A，由此可推出∠ABC＝2∠A，利用三角形的内角和定理求出∠A和∠ABC的度数；再求出∠BCP的度数，然后利用三角形的外角的性质，可求出∠P的度数.
（3）利用解直角三角形求出AC，BC的长；再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；然后利用半圆的面积减去△ABC的面积，可求出阴影部分的面积.