专题8 一元二次方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）

这是一份专题8 一元二次方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
专题8 一元二次方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）
一、单选题
1．（2022·益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（2022·郴州）一元二次方程 2x2+x-1=0 的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（2022·常德）关于x的一元二次方程x2-4x+k=0无实数解，则k的取值范围是（　　）
A．k>4 B．k-94且k≠0 D．k≥-94且k≠0
9．（2022七上·长沙开学考）已知a是方程x2-2020x+4=0的一个解，则a2-2019a+8080a2+4+6的值为（　　）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
10．（2022九上·岳麓开学考）对于任意的实数x，代数式x2-5x+10的值是一个（　　）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
二、填空题
11．（2022·长沙）关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个不相等的实数根，则实数t的值为　 　.
12．（2022·岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　.
13．（2022·娄底）已知实数x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，则x1x2=　 　.
14．（2022·衡阳模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是 　 　.
15．（2022九上·道县期中）已知m是一元二次方程x2-3x+1=0的根，则代数式m2-3m-1的值为　 　．
16．（2022九上·道县期中）若(m+2)x|m|+(m-1)x-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　．
17．（2022九上·岳阳楼月考）若一元二次方程x2-2x-1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2-x1-x2的值为　 　．
18．（2022九上·长沙开学考）一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1，则另一个根是　 　．
19．（2022九上·溪湖开学考）若一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根为a，b，则a-ab+b的值为　 　．
20．（2022九上·长沙开学考）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+m=0的两个实数根，且满足x12+x22=m2-6，则m的值为　 　．
三、综合题
21．（2022·衡阳模拟）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于45元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
22．（2022九上·道县期中）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
23．（2022九上·岳麓开学考）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k-2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
24．（2022九上·溪湖开学考）已知：抛物线C1：y=ax2+bx+c(a>0)．
（1）若顶点坐标为(1，1)，求b和c的值(用含a的代数式表示)；
（2）当c0 ）与反比例函数 y=-cx （ c≠0 ）的“附中函数”的图象与x轴有两个交点分别是A（ x1 ，0），B（ x2 ，0），其中 a≤c≤3a ，点C（3，4），求△ABC的面积S△ABC的变化范围.

答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根 ，设另一个根为a，
-1+a=-1
解之：a=0，
∴方程的另一个根为0.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=-p，据此设另一个根为a，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
2．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵a=2 ， b=1 ， c=-1 ，
∴Δ=b2-4ac=12-4×2×(-1)=1+8=9>0 ，
∴ 一元二次方程 2x2+x-1=0 有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故确定a，b，c的值，代入判别式公式判断出△的符号即可得出结论.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+k=0无实数解，
∴Δ=16-4k4
故答案为：A.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意列出不等式，求解即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A选项中，△=b2-4ac=(-1)2-4×2×1=-70，
∴t0，
解得m＜1，
所以实数m的取值范围是m＜1.
故答案为：m＜1.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可.
13．【答案】-1
【解析】【解答】解：∵ 实数x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，
∴x1x2=-11=-1，
故答案为：-1.
【分析】根据根与系数的关系可得x1x2=ca，据此解答.
14．【答案】m≤7且m≠3
【解析】【解答】解：∵（m﹣3）x2+4x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣3≠0，
解得m≠3，
∵此一元二次方程有实数根，
∴42-4(m-3)×1≥0 ，
解得m≤7，
∴m的取值范围为m≤7且m≠3.
故答案为：m≤7且m≠3.
【分析】根据一元二次方程的概念可得m≠3，根据方程有实数解可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得m的范围，结合m≠3就可得到满足题意的m的范围.
15．【答案】-2
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2-3x+1=0的根，
∴m2-3m+1=0，即m2-3m=-1，
∴m2-3m-1=-1-1=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据方程根的定义，将x=m代入方程可得m2-3m=-1，然后整体代入即可得出答案.
16．【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得|m|=2且m+2≠0
解得m=2
故答案为：2．
【分析】形如ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）的方程就是一元二次方程，据此可得|m|=2且m+2≠0，求解即可得出答案.
17．【答案】-3
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-2x-1=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1x2=-1，
∴x1x2-x1-x2=x1x2-(x1+x2)=-1-2=-3．
故答案为：-3．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出x1+x2，x1x2的值，再将代数式转化为x1x2-（x1+x2），然后整体代入可求出结果.
18．【答案】-3
【解析】【解答】解：设方程的另一根为t，则1×t=-3，
解得，t=-3．
故答案为：-3.
【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系可得1×t=-3，求解可得t的值.
19．【答案】5
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根为a，b，
∴a+b=3，ab=-2，
则原式=(a+b)-ab=3-(-2)=3+2=5．
故答案为：5．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=3，ab=-2，然后整体代入即可求解.
20．【答案】-5
【解析】【解答】解：根据题意得Δ=32-4m≥0，
解得m≤94，
根据根与系数的关系得x1+x2=-3，x1x2=m，
∵x12+x22=m2-6，
∴(x1+x2)2-2x1x2=m2-6，
∴(-3)2-2m=m2-6，
整理得m2+2m-15=0，
解得m1=-5，m2=3，
∵m≤94，
∴m=-5．
故答案为：-5．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式可得m的取值范围；由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=-ba=-3，x1x2=m，将已知的等式变形得：（x1+x2）2-2x1x2=m2-6，把x1+x2=-3，x1x2=m代入变形后的等式可得关于m的方程，解方程并结合m的取值范围即可求解.
21．【答案】（1）解：设y=kx+b ，
将(25，70)，(35，50) 代入解析式，
可得：25k+b=7035k+b=50 ，
解得：k=-2b=120 ，
∴y=-2x+120 ；
（2）解：根据题意可得：(x-20)(-2x+120)=600 ，
整理得：x2-80+1500=0 ，
解得：x1=30，x2=50 ，
∵20≤x≤45 ，
∴x=30 ，
∴每件商品的售价应定为30元；
（3）解：w=(x-20)(-2x+120)
=-2x2+160x-2400
=-2(x-40)2+800 ，
∵20≤x≤45，
∴x=40 时，w取最大值，且最大值为800元.
∴当每件商品的售价定为40元时，每天销售利润最大，最大利润是800元.
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（25，70）、（35，50）代入求出k、b的值，据此可得y与x之间的函数关系式；
（2）根据(售价-进价)×销售量可得关于x的方程，求解即可；
（3）根据(售价-进价)×销售量可得w与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）解：设每件服装降价x元．
由题意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（2）解：不可能，理由如下：
依题意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
【解析】【分析】（1） 设每件服装降价x元 ，则每件的利润为（90-x-50）元，每天的销售量为（20+2x）件，根据单件的利润×销售数量=总利润建立方程，求解得出x的值，进而结合题意进行取舍即可得出答案；
（2）根据单件的利润×销售数量=2000建立方程，并整理成一般形式，算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值的正负即可判断得出答案.
23．【答案】（1）解： ∵ 一元二次方程 x2-2x+k+2=0 有两个实数根，
∴Δ=(-2)2-4×1×(k+2)≥0 ，
解得： k≤-1 ．
（2）解： ∵x1 ， x2 是一元二次方程 x2-2x+k+2=0 的两个实数根，
∴x1+x2=2 ， x1x2=k+2 ．
∵1x1+1x2=k-2 ，
∴x1+x2x1x2=2k+2=k-2 ，
∴k2-6=0 ，
解得： k1=-6 ， k2=6 ．
又 ∵k≤-1 ，
∴k=-6 ．
∴ 存在这样的 k 值，使得等式 1x1+1x2=k-2 成立， k 值为 -6 ．
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得k的范围；
（2） 根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=k+2，根据已知条件可得x1+x2x1x2=2k+2=k-2 ，求解可得k的值，然后利用k的范围进行取舍.
24．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为(1，1)，
∴y=a(x-1)2+1=ax2-2ax+a+1，
∴b=-2a，c=a+1
（2）解：∵y=ax2+bx+c，a>0，c0，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点，
∴|ax2+bx+c|≥0，
∴-2022|ax2+bx+c|≤0，
∴-2022|ax2+bx+c|-1≤-1，
∴函数y=-2022|ax2+bx+c|-1的最大值为-1；
（3）解：∵直线y=m(x-1)-m24与抛物线C1有且只有一个公共点，
∴方程组y=m(x-1)-m24y=ax2+bx+c只有一组解，
∴ax2+(b-m)x+m24+m+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴(b-m)2-4a(m24+m+c)=0，
整理得：(1-a)m2-2(2a+b)m+b2-4ac=0，
∵不论m为任何实数，(1-a)m2-2(2a+b)m+b2-4ac=0恒成立，
∴1-a=0-2(2a+b)=0b2-4ac=0，
∴a=1，b=-2，c=1．
此时，抛物线解析式为y=x2-2x+1=(x-1)2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，
∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，
∴分三种情况：k1，
①当k1，
∴k=3+52，
综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或3+52．
【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点式可得 y=a(x-1)2+1=ax2-2ax+a+1， 从而得解；
（2）由题意可得 Δ=b2-4ac>0， 易得 |ax2+bx+c|≥0， 故-2022|ax2+bx+c|-1≤-1， 从而求解；
（3）由直线与抛物线有且只有一个公共点，可得方程 ax2+(b-m)x+m24+m+c=0有两个相等的实数根， 即△=0，可得(1-a)m2-2(2a+b)m+b2-4ac=0， 进而可得 1-a=0-2(2a+b)=0b2-4ac=0， 从而求出a=1，b=-2，c=1，即得抛物线解析式为y=x2-2x+1=(x-1)2，由于抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，由于当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，可分三种情况：k＜0或0≤k＜1或k＞1，据此利用二次函数的性质分别求解即可.
25．【答案】（1）解：存在，
∵a＝3，b＝6，c＝9，
∴a+c=2b ，
∴存在“附中函数”为 y=3x2+6x+9 ；
（2）解：由题可知：a=1，1+c=2b，
∴c=2b－1，
∴“附中函数”为： y=x2+bx+2b-1 ，
∵“附中函数”的图象与直线 y=2x+7 有唯一交点，
∴x2+bx+2b-1=2x+7 ，即 x2+(b-2)x+2b-8=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=(b-2)2-4×1×(2b-8)=0 ，
解得： b1=b2=6 ，即b=6，
∴c＝11；
（3）解：由题可知：a－c=2b，
∴b=a-c2 ，
∴“附中函数”为： y=ax2+a-c2x-c ，
令 y=0 得： ax2+a-c2x-c=0 ，
解得： x1=c-a+a2+c2+14ac4a ， x2=c-a-a2+c2+14ac4a ，
∴AB=a2+c2+14ac2a ，
又∵点C(3，4)，
∴S△ABC=12×a2+c2+14ac2a×4=a2+c2+14aca ，
当c=a时， S△ABC=16a2a=4|a|a=4aa=4 ，
当c=3a时， S△ABC=52a2a=213|a|a=213aa=213 ，
∴4≤S△ABC≤213 .
【解析】【分析】（1）易得a=3，b=6，c=9，a+c=2b，然后利用“附中函数”的概念进行解答；
（2）易得“附中函数”为y=x2+bx+2b-1，联立y=2x+7可得关于x的一元二次方程，结合判别式=0即可求出b的值，进而可得c的值；
（3）由题可知：a-c=2b，表示出b，可得“附中函数”为y=ax2+a-c2x-c，令y=0，求出x，进而可得AB，利用三角形的面积公式表示出S△ABC，求出c=a、c=3a的S△ABC的值，进而可得S△ABC的范围