2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在实数，，，，，中，无理数的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    在平面直角坐标系中，点在(    )

A. 第二象限 B. 第四象限 C. 轴上 D. 轴上

3.    对于直线的描述正确的是(    )

A. 随的增大而增大 B. 与轴的交点是
C. 经过点 D. 图象不经过第二象限

4.    某班抽取名同学参加体能测试，成绩如下：，，，，，下列表述错误的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 极差是

5.    在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位长度，所得的函数的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.    已知方程组和有相同的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    下列图形中，表示一次函数与正比例函数为常数，且的图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.    如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离千米与甲车行驶的时间小时之间的函数关系如图所示，则下列结论：，两城相距千米；乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；乙车出发后小时追上甲车；当甲、乙两车相距千米时，或或或其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 实数的立方根是______ ．
12. 已知函数和的图象交于点，则根据图象可知，关于，的二元一次方程组的解是______．

13. 如图，，则 ______ ．

14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在、轴的正半轴上，，，为边的中点，是边上的一个动点，当的周长最小时，点坐标为______．

15. 如图所示，、分别为轴、轴上的点，为等边三角形，点在第一象限内，且满足，则的值______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16. 计算下列各式：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共6小题，共42.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，在直角坐标系内，已知点．
    图中点的坐标是______；
    点关于原点对称的点的坐标是______；点关于轴对称的点的坐标是______；
    在轴上找一点，使那么点的坐标为______．

19. 本小题分
    大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题：
    的整数部分是______，小数部分是______；
    如果的整数部分为，的小数部分为，求的值．
20. 本小题分
    某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知件甲种奖品和件乙种奖品共需元，件甲种奖品和件乙种奖品共需元．
    求甲、乙两种奖品的单价；
    根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共件，且甲种奖品不少于件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
21. 本小题分
    我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形．
    若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形填“是”或“不是”；
    若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______；
    如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长．

22. 本小题分
    如图，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线相交于点，若．
    求直线的解析式；
    求出四边形的面积；
    若为轴上一点，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
无理数有：，，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像每两个之间的个数依次加，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解本题的关键．
根据点的纵坐标为可得点在轴上．
【解答】
解：在平面直角坐标系中，点在轴上，
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小，选项A不符合题意；
B.当时，，
直线与轴的交点是，选项B符合题意；
C.当时，，
直线经过点，选项C不符合题意；
D.，，
直线经过第二、三、四象限，选项D不符合题意．
故选：．
A.由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小；利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线与轴的交点是；利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线经过点；由，，利用一次函数图象与系数的关系可得出直线经过第二、三、四象限．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、出现的次数最多，所以众数是，A正确；
B、把数据按大小排列，中间两个数为，，所以中位数是，B错误；
C、平均数是，C正确；
D、极差是，D正确．
故选：．
根据平均数，中位数，众数，极差的概念逐项分析．
此题考查学生对平均数，中位数，众数，极差的理解．
 

5.【答案】 

【解析】解：将函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数关系式为，
故选：．
根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
 

6.【答案】 

【解析】解：．，此选项错误；
B.，此选项错误；
C.，此选项计算正确；
D.，此选项计算错误．
故选：．
先化简二次根式，再计算减法即可判断；利用平方差公式和二次根式的性质计算可判断；先化简二次根式，再计算减法即可判断；分母有理化，再约分即可判断．
本题主要考查二次根式的混合运算和分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的性质、平方差公式及分母有理化的方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意，联立方程组得：，
解得：，
将代入含，的两个方程，可得，
解得，
．
故选：．
根据同解方程组，把和联立求出、，再代入其他两个方程即可解出、，进而求出结果．
本题考查了二元一次方程组的解，掌握同解方程组的概念是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当，，同号，同正时过一、二、三象限，同负时过二、三、四象限；过一、三象限；
当时，，异号，则过一、三、四象限或一、二、四象限；过二、四象限；
故选：．
根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论的符号，然后根据、同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
根据折叠可得：，
，
设，则，，
在中：，
解得：．
故选：．
首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，进而得到的长，再设，则，，再在中利用勾股定理可得方程：，解出的值，可得答案．
此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，
都正确；
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，
解得，
，
令可得：，
解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，
正确；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达城，；
综上可知当的值为或或或时，两车相距千米，
正确；
综上可知正确的有共四个，
故选：．
观察图象可判断，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断，再令两函数解析式的差为，可求得，可判断，可得出答案．
本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意是甲车所用的时间．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
的立方根为，
故答案为：
原式利用立方根定义计算即可得到结果．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据图象可知：函数和的图象的交点的坐标是，
方程组的解是．
故答案为：．
根据两图象的交点坐标，即可求出两函数的解析式组成的方程组的解．
本题考查了对一次函数和二元一次方程组的关系的理解和运用，能理解一次函数与二元一次方程组的关系是解此题的关键，图形较好，难度不大．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
本题利用平行线的性质以及三角形内角和外角的关系解答．
本题考查了平行线的性质以及三角形内角和外角的关系，找出各个角之间的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作关于轴的对称点，连接，连接交轴于，
的周长为，
为的中点，
，
和关于轴对称，
，
易得，，
设直线的解析式为，
把，分别代入解析式得，
，
解得，，
解析式为，
当时，，
故E点坐标为．
作出的对称点连接，将三角形的周长转化为，根据两点之间线段最短得到的长即为最短距离，求出的解析式，即可求出点坐标．
此题结合坐标系和矩形的性质，考查了轴对称---最短路径问题，作出的对称点，将三角形的周长转化为线段是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作轴，垂足为，
由、，得，，
为等边三角形，
由勾股定理，得，
，
又
，
，
由，得，
．
当在与交点的上方时，同理可求得
故答案为：或．
过点作轴，垂足为，根据、求、，利用勾股定理求，可得的面积，利用，列方程求．
本题考查了点的坐标与线段长的关系，不规则三角形面积的表示方法及等边三角形的性质和勾股定理．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并即可；
先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

17.【答案】解：，
，得，
解得，
把代入，得，
故方程组的解为；
方程组整理，得，
，得，
把代入，得，
故方程组的解为． 

【解析】用方程，消去未知数，求出未知数，再把的值代入求出即可；
方程整理后，利用加减消元法解答即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

18.【答案】      或 

【解析】解：过点作轴的垂线，垂足所对应的数为，因此点的横坐标为，
过点作轴的垂线，垂足所对应的数为，因此点的纵坐标为，
所以点；
故答案为：；
由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点关于原点对称点，
由于关于轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点关于轴对称点，
故答案为：，；
设点的坐标为，

因为，，
所以，
，
解得或，
的坐标为或．
故答案为：或．
根据坐标的意义即可得出点的坐标；
根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系可得出点关于原点对称的点的坐标，同理根据关于轴对称的两个点坐标之间的关系得出点关于对称点的坐标；
根据等底等高的三角形的面积相等求解即可．
本题考查点的坐标，关于轴、轴、原点对称的点坐标的关系，以及利用坐标求相应图形的面积，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．
 

19.【答案】  

【解析】解：，
的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
由题知，，，



．
根据的大小得出结论即可；
分别得出和的值，然后计算结果即可．
本题主要考查估算无理数的大小，根据无理数的大小判断其整数部分和小数部分是解题的关键．
 

20.【答案】解：设甲种奖品的单价为元件，乙种奖品的单价为元件，
依题意，得：，
解得，
答：甲种奖品的单价为元件，乙种奖品的单价为元件．
设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元，
甲种奖品不少于件，
．
依题意，得：，
，
随值的增大而增大，
当学校购买件甲种奖品、件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是元． 

【解析】设甲种奖品的单价为元件，乙种奖品的单价为元件，根据“购买件甲种奖品和件乙种奖品共需元，购买件甲种奖品和件乙种奖品共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为，由甲种奖品不少于件，可得出关于的取值范围，再由总价单价数量，可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式．
 

21.【答案】是  

【解析】解：，
此三角形是常态三角形，
故答案为：是；
是常态三角形，
设两直角边长为，，斜边长为，
，，
，
：：，
设，，
则，
此三角形的三边长之比为，
故答案为：；
是常态三角形，
，
，，
，
负值已舍，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
根据常态三角形的定义判定即可；
根据常态三角形的定义以及勾股定理得出：：，即可求解；
根据常态三角形的定义得出等式求出的长，再由勾股定理即可得出结果．
本题考查了勾股定理，新定义，正确理解新定义是解题的关键．
 

22.【答案】解：把代入得，解得，
，
，，
点坐标为，
把代入得，解得，
直线的解析式为；
解方程组得，
点坐标为，
当时，，
点坐标为，
四边形的面积

；
，，
，
当时，点的坐标为，点的坐标为；
当时，点的坐标为，
当时，点的坐标为，
综上所述，点的坐标为、、、． 

【解析】先把点坐标代入得到，则，再利用可得到点坐标为，则把点坐标代入可得到，即可求得直线的解析式；
通过解方程组得到点坐标，确定点坐标为，然后利用四边形的面积进行计算即可；
先利用、两点的坐标特征得到为等腰直角三角形，，然后分类讨论：当时，以点为圆心，画弧交轴于点和点，再写出它们的坐标；当时，点与点关于轴对称，即可得到它的坐标；当时，点为坐标原点．
本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．也考查了分类讨论思想的运用．