2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    点关于轴对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5.    一个多边形的内角和是外角和的倍，这个多边形是(    )

A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形

6.    如图，≌，和，和是对应边．若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，中，，平分交于点，点为的中点，若，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，正方形纸片：
   先对折使与重合，得到折痕；
   折叠纸片，使得点落在的点上，沿和剪下．
   则判定为等边三角形的依据是(    )
    

A. 三个角都相等的三角形是等边三角形
B. 有两个角是的三角形是等边三角形
C. 三边都相等的三角形是等边三角形
D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形

9.    如图，网格中的每个小正方形边长均为，的顶点均落在格点上，若点的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 老师布置的作业中有这么一道题：

甲同学认为，，这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使窗框不变形，这样做的数学原理是______

12. 等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为______．
13. 如图，点、、、在同一条直线上，，，要使≌，则可以补充一个条件：______．

14. 如图，在中，，，为的平分线，则______．

15. 如图，在三角形中，，于点，，且，那么______．

16. 如图，中，、分别是、的垂直平分线，，则的周长是______，______

17. 如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发沿射线运动，二者速度之比为：，当点运动到点时，两点同时停止运动．在射线上取一点，使与全等，则的长为______．

18. 如图，等腰中，，，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，则下列结论：；；是等边三角形；其中正确的是______．

三、解答题（本大题共9小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，已知，，求证：．

20. 本小题分
    如图，平分，，，求与的度数．

21. 本小题分
    已知：如图，点是边上的一定点其中，
    求作：，使其满足：点在射线上，．
    下面是小兵设计的尺规作图过程．
    作法：
    作线段的垂直平分线，直线交射线于点；
    以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点；
    连接，则即为所求三角形．
    根据小兵设计的尺规作图过程，
    使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
    完成下面的证明．
    证明：直线为线段的垂直平分线，
    ______，填推理的依据
    ______，
    ；
    ，
    ______，填推理的依据
    ．

22. 本小题分
    如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点若，，，求的长．

23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，．
    若与关于轴对称，画出；
    若直线上存在点，使最小，则点的坐标为______，的最小值为______．

24. 本小题分
    在学习完全等三角形及轴对称的知识后，小明经过思考得出猜想：“如果一个三角形一边上的中点到另两条边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形”．
    老师说小明的猜想是正确的．请你帮助小明完成以上猜想的证明．
    已知：
    求证：
    证明：
25. 本小题分
    如图，在中，，，垂足为，判断、和这三条线段的数量关系用等式表示，并证明．

26. 本小题分
    在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，过点作，且这样得到的点称为点关于点的“伴随点”．
    
    如图，当点的坐标为时，请在图中画出点关于点的“伴随点”，并写出“伴随点”的坐标：______；
    在下列各点中：，，，能成为点关于点的“伴随点”的是______填序号；
    若点坐标为，直接写出点关于点的“伴随点”的坐标用表示．
27. 本小题分
    在中，为锐角，，，作外角的平分线，在上找一点，使得，过点作交于点．
    在图中，依题意补全图形；
    直接写出的值______；
    如图，当为钝角时，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据轴对称图形的定义：轴对称图形沿一条直线对折两边能够完全重合可知，
选项A、、中的图形都是轴对称图形，
只有选项C中的图形不是轴对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
点关于轴对称点的坐标为．
故选D．
两点关于轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
本题考查两点关于轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论．
【解答】
解：是边上的高，故此选项符合题意；
B.不是三角形的高，故此选项不合题意；
C.不是三角形的高，故此选项不合题意；
D.是边上的高，故此选项不合题意；
故选A．  

4.【答案】 

【解析】解：连接，
根据三角形的三边关系可得，
即，
故选：．
根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，计算出的取值范围可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于，边形的内角和为，此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】
解：设所求多边形边数为，
由题意得

解得．
则这个多边形是六边形．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理．根据相等关系，把已知条件转到同一个三角形中然后利用三角形的内角和来求解是解决这类问题常用的方法．根据全等三角形的对应角相等、三角形的内角和是度来解答．
【解答】

解：≌，和，和是对应边，
，
又，
；
，，
；
故选D．

 

7.【答案】 

【解析】解：过作于，
，
，
平分，，
，
点为的中点，，
，
的面积，
故选：．
过作于，由角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
由翻折变换可得，，
，
是的垂直平分线，
，
，
是正三角形，
故选：．
根据正方形的性质，翻折变换的性质可得，因为是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，可得，又根据折叠的性质可知，故BH，因此是正三角形．
本题考查翻折变换，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的判定，掌握正三角形的判定方法是正确解答的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：平面直角坐标系如图所示，与的垂直平分线的交点为点，
到三个顶点距离相等的点的坐标为，

故选：．
到三个顶点距离相等的点是与的垂直平分线的交点，进而得出其坐标．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，延长到，使得，
则，
延长到使得，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
即，
，
，
的长不可能是；
过作交的延长线于，
则，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，
即，
，
，
的长不可能是；
综上所述，甲说法错误，乙和丙说法正确．
故选：．
延长到使得，利用倍长中线模型证明≌得到，再由三角形三边的关系即可判断乙同学的说法；过作交的延长线于，证明≌，得，，再由三角形三边的关系即可判断丙同学的说法．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形三边的关系等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】三角形的稳定性 

【解析】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
 

12.【答案】或 

【解析】解：
当腰为时，则三角形的三边为、、，满足三角形三边关系，此时三角形的周长为；
当腰为时，则三角形的三边为、、，满足三角形三边关系，此时三角形的周长为；
综上可知该等腰三角形的周长为或．
故答案为：或．
分腰长为和腰长为两种情况，再结合三角形三边关系进行验证，再求其周长即可．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意分类讨论．
 

13.【答案】 

【解析】解：补充条件：．
，
．
在和中，
，
≌．
故答案为：．
根据平行线的性质，由，得，从而解决此题．
本题主要考查全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定、平行线的性质是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
而为的平分线，
，
．
故答案为．
由，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理得到，然后利用角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理可求出．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等．也考查了三角形的内角和定理．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
利用含角的直角三角形的性质求解的长，再利用计算可求解．
本题主要考查含角的直角三角形的性质，求解的长是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：在中，、分别为、的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，
的周长，
故答案为：，．
由在中，、分别为、的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得，，继而求得，，又由，即可求得，则可得的度数，继而求得；由，，即可得的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解决问题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况：
情况一：当，时，
，，
，
解得：，
；

情况二：当，时，
，，
，
解得：，
，
综上所述，或．
故答案为：或．
设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得，可得；情况二：当，时，列方程解得，可得．
本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，，
，，
，
，
，
，，
，故正确；
由知：，，
点是线段上一点，
与不一定相等，
则与不一定相等，故不正确；
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，故正确；
如图，在上截取，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，故正确；
故答案为：．
利用等边对等角得：，，则，据此即可求解；
因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；
证明且，即可证得是等边三角形；
证明≌，则，得．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：，
．
，，
≌．
． 

【解析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
利用判定≌，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得．
 

20.【答案】解：平分，
．
，
．
，
．
． 

【解析】根据角平分线的定义，由平分，得根据三角形外角的性质，得，故根据平角的定义，得，那么根据三角形外角的性质，得．
本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．
 

21.【答案】线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等    等边对等角 

【解析】解：如图，即为所求．


直线为线段的垂直平分线，
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，
，
，
，
等边对等角，
．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，，等边对等角．
根据要求作出图形即可．
利用线段的垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：是边的中点，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
又，
，
． 

【解析】由证≌，得，再证，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图，即为所求；
如图，点即为所求．，最小值为，
故答案为：，．

利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可；
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长．
本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】已知：在中，点为的中点，点到边和的距离相等，
求证：是等腰三角形．
证明：作于点，作于点，
则，
由题意可得，，，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】根据题意写出已知，求证，然后根据题意，作出合适的辅助线，再根据可以证明≌，从而可以得到，再根据等角对等边得到，从而可以判段的形状．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出已知、求证和证明过程．
 

25.【答案】解：，
证明：在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】在截取，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，即可证得，根据三角形的外角的性质证得，即可证得，从而证得．
本题考查的是等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

26.【答案】或   

【解析】解：如图，点和点为所作，“伴随点”的坐标为或；
故答案为：或；

当点坐标为时，点关于点的“伴随点”可以为；当点坐标为时，点关于点的“伴随点”可以为；
故答案为：；
点关于点的“伴随点”的坐标为或．
利用网格作得到点关于点的“伴随点”和，然后写出点和的坐标；
利用“伴随点”的定义进行判断；
利用等腰直角三角形的性质，把点向左或右平移个单位，再向下或上平移个单位可得到点坐标．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质．
 

27.【答案】 

【解析】解：如图所示：

如图，在射线上截取，连接，

平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，在射线上截取，连接，

平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
又，
，
，
．
依照题意补全图形；
在射线上截取，连接，由“”可证≌，可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解；
在射线上截取，连接，由“”可证≌，可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．