2022-2023学年江苏省盐城市阜宁县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市阜宁县八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列四个图形中，不是轴对称图形的为(    )

A.  B.
C.  D.

2.    如图，≌，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

3.    在中，，，，下列条件能得到≌的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4.    如果等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

5.    在中，、、的对边分别为、、，下列条件不能判断是直角三角形的是(    )

A.  B.
C. ，， D. ，，

6.    如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，在中，平分，，垂足为，，垂足为若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，点、、都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”，使点、、、组成一个轴对称图形，这样的点共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.    角是轴对称图形，______是它的对称轴．
10. 一个等腰三角形的顶角为，则它的一个底角为______．
11. 如图，在和中，，，只需补充条件______，就可以根据“”得到≌．

12. 如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，连接则的周长为______．

13. 如图，是等边三角形，若，，，则______

14. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为______．

15. 如图，中，，平分，，，则的长是______ ．

16. 如图，四边形中，，，连接、是的中点，连接、若，则的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，已知，用尺规作图，作一点，使保留作图痕迹，不写作法

18. 本小题分
    如图，，求证：
    ≌；
    ．

19. 本小题分
    已知：如图，点、、、在一条直线上，，，．
    求证：≌；
    ．

20. 本小题分
    如图，在中，，，，将沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕与交于点．
    试用尺规作图作出折痕；要求：保留作图痕迹，不写作法．
    连接，求线段的长度．

21. 本小题分
    如图，在中，于，于，为的中点．
    求证：是等腰三角形；
    若，，求的度数．

22. 本小题分
    勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，古今中外已有几百种证明方法．年世界数学家大会在中国北京举行，大会的会标选用验证勾股定理的“弦图”，它标志着我国古代数学的成就．“弦图”由个全等的直角三角形拼成大正方形如下图示设直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，请你利用“弦图”验证勾股定理．

23. 本小题分
    如图，某小区有两个喷泉，，两个喷泉的距离长为现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
    求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
    求喷泉到小路的最短距离．

24. 本小题分
    如图，在中，，，是中线，点在的延长线上，且．
    求证：≌；
    证明：；
    求的面积．

25. 本小题分
    【问题发现】
    如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，容易发现：的度数为______；线段、之间的数量关系为______；
    【类比探究】
    如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，试探究的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由；
    【问题解决】
    如图，，，，，求的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
≌，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：≌，
，，，
，
故选：．
利用全等三角形的性质解决问题即可．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
等腰三角形的腰长为，底边长为，
周长．
故选：．
根据三角形三边关系推出腰长为，底边长为，即可推出周长为．
本题主要考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质，关键在于根据三角形的三边关系推出腰长和底边长．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，且，，故是直角三角形；
B、，，故是直角三角形；
C、，，，，故是直角三角形；
D、，，，，故不是直角三角形；
故选：．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，
则正方形的面积，
故选：．
根据勾股定理求出，根据正方形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、正方形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

7.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】分析
此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的定义可得符合题意的答案．
详解
解：如图所示：
点、、、组成一个轴对称图形，这样的点共有个．
故选D．
 

9.【答案】角平分线所在的直线 

【解析】

【分析】
本题考查了角的对称轴，需要注意轴对称图形的对称轴是直线，此题容易说成是“角平分线”而导致出错．
根据角的对称性解答．
【解答】
解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．
故答案为：角平分线所在的直线．  

10.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的顶角为，
它的一个底角为．
故填
由已知顶角为，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．
此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：补充条件：．
在和中，
，
≌．
故答案为：．
根据直角三角形全等的判定方法解决此题．
本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线分别交于，交于，，
，
在中，，，
的周长为：．
故答案为：．
由的垂直平分线分别交于，交于，可得，继而可得的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
由等边三角形性质得出，，再由证得≌，得出，由三角形内角和定理求出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图可得，
正方形的面积正方形的面积中间正方形的面积，
正方形、、的面积依次为、、，
中间正方形的面积，
由图可得，
正方形的面积正方形的面积中间正方形的面积，
正方形的面积，
故答案为：．
根据图形和题意，可以发现正方形的面积正方形的面积中间正方形的面积，正方形的面积正方形的面积中间正方形的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查正方形的面积、正方形与直角三角形的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作于，
在中，，，，
，
平分，
，
，即，
解得，
．
故答案为：．
过作于，根据勾股定理可得，根据角平分线性质可得，根据三角形面积公式求出，即可求出．
本题考查了勾股定理，三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：，是的中点，
，
，，，
由三角形的外角性质得，，
，
，
四边形中，，，
，
，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得，，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，即可得是等腰直角三角形，即可求解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】证明：在与中，
，
≌；
≌，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
．
在和中，
，
≌．
≌，
，
． 

【解析】根据，即可得出根据即可判定≌，
由全等三角形的性质可得到，进而得出．
本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示，线段即为所求；
沿折叠，点落在边上的点处，
，，，
，，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：． 

【解析】根据角平分线的作法作出线段即可；
由折叠的性质得到，，，于是得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，角平分线的定义，勾股定理，正确的作出角平分线是解题的关键．
 

21.【答案】证明：于，为的中点，
，
同理，
，
是等腰三角形；

解：，
，
同理，
，
，
． 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
根据等边对等角求出，，再根据三角形的内角和定理求出，，然后利用平角等于列式计算得出．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记性质并求出、与的关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意有，
大正方形面积：，
小正方形面积：，
个直角三角形面积之和：，
大正方形面积等于小正方形的面积与个直角三角形面积之和，
，
． 

【解析】用等面积法，大的正方形面积等于小正方形的面积与个直角三角形面积之和，列等式化简即可证明．
本题考查了勾股定理的证明，用等面积法列出等式，并化简是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
 

23.【答案】解：在中，，
，
，
在中，，
，
供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
，，，
，
是直角三角形，
，
喷泉到小路的最短距离是． 

【解析】根据勾股定理解答即可；
根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答．
 

24.【答案】证明：是中线，
，
在和中，
，
≌；
证明：由可知，≌，
，
，，
，
，
；
解：≌，
． 

【解析】根据三角形的中线的概念得到，利用定理证明≌；
根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理的逆定理证明即可；
根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：和为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：；
由可知，≌，
，
故答案为：；
，，理由如下：
，和均为等腰直角三角形，
，，，，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
；
如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
则，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
设，则，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
由等边三角形的性质得到，，，则，再证≌，即可解决问题；
由“”可证≌，得，，即可求解；
过点作，交的延长线于点，过点作于点，由“”证≌，得，，设，再由列方程得的值，然后由勾股定理可求解．
本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．