2022-2023学年浙江省杭州市临平区、余杭区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市临平区、余杭区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是(    )

A. 朝上一面的点数大于 B. 朝上一面的点数为
C. 朝上一面的点数是的倍数 D. 朝上一面的点数是的倍数

4.    若的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为(    )

A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 不能确定

5.    下列事件是必然事件的是(    )

A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 三点确定一个圆
C. 抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于 D. 必然事件发生的概率是

6.    若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有(    )

A.  B.  C.  D.

7.    已知，，是二次函数图象上的点，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，已知点，，依次在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    抛物线如图所示，对称轴是直线，下列结论：；；；中正确的个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10. 已知二次函数是常数，的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的(    )

A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数图象的表达式为______．
12. 甲、乙、丙三个人相互传一个球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则经过两次传球后，球回到甲手中的概率是______．
13. 如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ______ ．

14. 已知点，点是抛物线上两点，则该二次函数的最______值是______．
15. 如图，点，，，，都是上的点，，，则______

16. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：

若，两点都在该函数图象上，当时，的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，已知正方形，点在边上，点在边的延长线上，且以图中某一点为旋转中心，将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合．
    旋转中心是点______，旋转角的度数为______
    判断的形状并说明理由．

18. 本小题分
    已知中的弦，求证：．

19. 本小题分
    一个不透明的布袋中装有个只有颜色不同的球，其中个黄球、个红球．
    任意摸出个球，记下颜色后不放回，再任意摸出个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率要求画树状图或列表；
    现再将个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出个球是黄球的概率为，求的值．
20. 本小题分
    如图，抛物线分别经过点，，．
    求抛物线的函数解析式；
    求当时，自变量的取值范围．
21. 本小题分
    如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，．
    求证：点为的中点；
    若，，求的直径．

22. 本小题分
    在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长，宽的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区四块全等的矩形，空白区域为活动区，且个出口宽度相同，其宽度不小于，不大于设出口长均为，活动区面积为
    求关于的函数表达式；
    当取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
    若活动区布置成本为元，绿化区布置成本为元，布置场地的预算不超过元，当为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的值及此时的布置成本．

23. 本小题分
    已知二次函数为常数．
    若二次函数的图象经过点，求函数的表达式．
    若，当时，此二次函数随着的增大而减小，求的取值范围．
    若二次函数在时有最大值，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

2.【答案】 

【解析】解：的顶点坐标为．
故选：．
根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、朝上一面的点数大于的可能性的大小是，
B、朝上一面的点数是的可能性的大小是，
C、朝上一面的点数是的倍数的可能性为，
D、朝上一面的点数是的倍数的可能性为．
可能性最大的是，
故选：．
计算出各种情况的概率，然后比较即可．
本题主要考查了如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，两个独立事件的概率两个事件概率的积，难度适中．
 

4.【答案】 

【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，
，
点在内，
故选：．
根据半径和点到圆心的距离确定点与圆的位置关系即可．
本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：、相等的圆心角所对的弧相等，是随机事件，故A不符合题意；
B、三点确定一个圆，是随机事件，故B不符合题意；
C、抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于，是随机事件，故C不符合题意；
D、必然事件发生的概率是，故D符合题意；
故选：．
根据随机事件，概率的意义，概率公式，确定圆的条件，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，概率的意义，概率公式，确定圆的条件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的对称轴为轴，
点关于对称轴的对称点为，
点必在该图象上，
故选：．
根据二次函数的对称性即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为，
，与三点中，点离对称轴较近，点在对称轴上，点离对称轴较远，
．
故选：．
把原函数解析式化成顶点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断，，的大小．
本题主要考查了抛物线线上点坐标的特征，找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
利用三角形内角和定理得到，所以，再根据圆周角定理得到，所以，从而得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于正半轴，
，，
，
当时，，
；结论正确；
，，
，
，结论，正确；
当时抛物线有最大值，
，
即，结论正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，结论正确；
综上所述，正确的结论有．
故选：．
由抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与轴交点的位置，可得出，，，当时，进而可得出；
由抛物线的开口方向、对称轴，，，，；
由抛物线的开口方向、，间的关系及抛物线的顶点总坐标，可得出，进而可得出，即；
由抛物线与轴有两个交点，可得出，即．
本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，逐一分析各结论的正误是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，在直线上，
或是抛物线的顶点，
，的横坐标相同，
抛物线不会同时经过、点，
抛物线过点和两点，
把，代入得，
解得，
二次函数为，
顶点始终在直线上，
抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为，
令，则，
抛物线与轴交点纵坐标最大值为，
故选：．
先判断抛物线经过点、，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出平移后的抛物线的解析式，令，得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得结论．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数的顶点坐标为，
把点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，
所以平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：．
先确定抛物线的顶点坐标为，再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式．
本题考查了函数图象与几何变换：抛物线的平移转化为顶点的平移．
 

12.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中经过两次传球后，球回到甲手中的有种结果，
经过两次传球后，球回到甲手中的概率为，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过二次传球后，球仍回到甲手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：弦，，
，
对的圆周角是，圆心角是，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质和已知条件求出，根据圆周角定理求出，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
本题考查了三角形的外角性质，圆周角定理，平行线的性质等知识点，注意：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
 

14.【答案】大   

【解析】解：把点和点得，
，解得，
函数解析式为，
化为顶点式为，
可见，二次函数有最大值．
故答案为：大，．
利用待定系数法求出二次函数解析式，然后化为顶点式解答．
本题考查了二次函数最值，求出函数解析式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，
点、、、都是上的点，
，
，
，
，
点、、、都是上的点，
，
，
故答案为：．
连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：时，；时，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向上，，两点都在该函数图象上，且，
，
解得．
故答案为．
根据表中的对应值得到和时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线开口向上，且，所以到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，则，然后解不等式即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合，
，，
旋转中心是点，旋转角的度数为，
故答案为：，；
是等腰直角三角形，
理由如下：将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合，
，，
是等腰直角三角形．
由旋转的定义可直接求解；
由旋转的性质可得，，即可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：中的弦，
，

，
． 

【解析】由，得：，即可推出，即可推出．
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，关键在于运用数形结合的思想，结合相关的定理推论推出．
 

19.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有种，
两次摸出的球恰好都是红球的概率为；
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
． 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有种，再由概率公式求解即可；
由概率公式得出方程，解方程即可．
此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线的解析式为，
即；
把代入得，，
解得或，
交点为，，
抛物线开口向下，
当时，自变量的取值范围为． 

【解析】设交点式，然后把点坐标代入其即可；
结合函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

21.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
点为的中点；
解：，
，
在中，，
，
，
，
的直径为． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答；
利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得：


，
与的函数关系式为；
由知：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
当取时，活动区面积最大，最大面积是；
设布置场地所用费用为元，
则

，
令，
，
解得：或，
，
，
活动区域面积为，，对称轴为直线，
当时，活动区面积最大，此时的布置成本为元． 

【解析】根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得与的关系式；
根据二次函数的增减性可得结论；
根据列方程即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式组解决问题．
 

23.【答案】解：把代入，得，
解得：，
函数的表达式；
抛物线得对称轴为直线，，
抛物线开口向上，当时，二次函数随的增大而减小，
当时，此二次函数随着的增大而减小，
，即；
由题意得：，
二次函数在时有最大值
当 时，开口向上
当时，有最大值，
，
；
当 时，开口向下，
当时，有最大值，
，
，
综上，的值为或． 

【解析】把代入，即可求得的值；
由可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线，根据二次函数的性质得到，解得；
分两种情况讨论，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：把代入；根据二次函数的性质得到；分开口向上和开口向下两种情况讨论．